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《力学与现代生活-

开启科学人生》课堂！

今天我们讲解第三章的第四节：

弹性体(的)“材料力学”。

在 这节课里面 我们将以‘拉-压杆’

作为 对象，给大家讲解一下：

应力分析与强度计算的方法，

希望通过两个实际例子

使大家初步掌握

结构材料的基本应力、应变，

包括变形，

它的分析计算方法，

以及如何 判别刚度、强度

失效的简单方法，

讲解这一部分 我们计算 还是判别，

我们分四个方面的工作：

首先 先规定："杆件的轴向内力"--

它哪些是属于正的、哪些是负的？

这个‘正/负’呢，请大家注意：

它不是我们前面 像‘刚体模型的静力学’--

不是‘方向’的问题！

它是‘性质’的问题！

属于 使得这个杆件‘拉长’变形--

它属于‘正的’；

使得杆件有‘压缩’效应的内力--

我们把它规定为‘负的’。

这个图片我们看到：

这个截面 拉杆件 把它规定为‘正’；

这个截面 压这个截面 把它规定为‘负’。

从‘性质’上确定！

规定好 '正、负' 性质之后,

我们第二步呢 就是"画轴力图"--

轴力图的具体的方法和步骤 是这样的：

第1 我们先 确定外力--

外部的载荷、外部的约束力；

第2步 我们确定‘分段点’和‘控制面’；

第3步 我们就用 所谓的“截面法”

来确定‘轴力的大小 和方向’。

那么经过这样处理以后 我们到了第三步--

计算应力、应变 以及 杆件的变形量--

就是根据“胡克定律”，还有“物性关系曲线”等等，

比如说 我们常用的应力公式，

我们算得了轴力 FN，

如果 是均匀分布的截面，

直接除以面积，可以得到x方向的正应力，

还有应变--

就是Δl 除以 它原来的原长度 l。

那么 变形量呢 我们可以由这个公式来算--

就是“胡克定律”，

相当于弹簧的变形量一样的--

等于FN 轴力 乘上它的原长 除以杨氏模量，

再除上S，

实际上就是 σx 除以E 杨氏模量，

把这个σx 代进去就可以了，

就是用这个变形量的计算公式。

那么 最后呢 我们可以进行失效的判别以及设计--

我们根据“失效判据”，

当然 有的是 我们先规定：

超过这个应力--

超过多少，或者变形超过多少，

就算是失效。

还有呢 是工程上的一些标准，

确定 杆件 是不是失效。

如果 最大应力 或者最大变形

超过了许可的极限值，

那么 就算是它失效了，

这样就要重新设计杆的结构。

下面我们以这样的一个例子：

这是一个 钢制的直杆，

从A 到B 到C 是一个直的均匀杆，

它的弹性模量 E 给你了--

210 GPa 也就是 1兆帕 再多一千倍，

它的长度 L 告诉你 是1米，

那么截面积 也告诉你 25平方毫米，

上端部 A端 固定起来，

在B、C 两个地方

分别有两个集中的外载荷：F1、F2--

分别是5kN 和10kN，

规定的整个杆件 承受的最大的应力

是300兆帕，

许可的长度变形 是2毫米。

那么现在我们的目标：一个是

画出杆件的 轴力图，

并且判断这个刚杆 是否会失效。

首先 我们看第一步--

确定 A处的约束力。

因为整个杆件

除了两个已知的外载荷 F1、F2

集中力以外呢

唯一不知道的未知力 就是

A处 有一个端部的约束力，

我们要把它确定下来。

这时候 我们可以 把整个杆件

作为刚体来对待，

把这个约束解除掉以后，

在A端呢 有一个未知的约束力 FA，

我们假设它朝上 它是个未知的。

那么 在确定未知力之前，

我们先要建立一个坐标系，

那么这是一个直杆，

所以 我们 假设：朝下的方向是X 正向。

我们只要列一个 平衡方程--

就是 ΣFx等于0 就可以了，

因为 ΣFy 等于0 没有意义，

转矩 为0 也没有意义。

由这个 X方向的合力等于0，

我们可以直接求到：A处的

约束未知力 FA--5kN，

大家可以自己求一求。

第二步 我们确定‘控制面’--

我们看看 有多少个控制面？ 从A 到C

我们知道：集中力的两侧 像B点 和C点

或者一侧， 在A处有个约束力--

也是集中力，

因为它在端部，

所以只取它的 材料的内部一侧 A一撇，

作为这个‘控制面’；

还有 B点的两侧 B一撇和B两撇，

作为两个‘控制面’；

还有C 内部的一侧 C一撇，

作为另外一个‘控制面’。

所以一共有4个(口误）‘控制面’、

A、B、C 三个‘分段点’。

然后 第三步 我们运用所谓的‘截面法’

来求这个控制面上的 轴力--

我们先把这个 A一撇、B两撇、B一撇

和C一撇 这些控制面上的 内力 FN--

也是轴力 FN 把它确定下来，

这时候 我们其实就可以把

每一段控制面 两侧所辖的材料呢

把它作为刚体模型来对待，

再利用 平衡方程 就把力 给它求出来。

首先 我们来看

考察 A一撇 到C 这一段，

我们把它单独取出来，

A一撇 到C段 这么一个刚体模型，

它受到的力的分析 我们看

有 A一撇 这个控制面，

我们现在已经不是约束力了，

是内力 FNA 和 一个已知的集中力 F1，

还有 C 端部的F2，

那么 就受这3个力的作用，

列一个 ΣFX等于0 的话，

我们就可以得到 FNA--

它的力的大小呢 是5kN，

这个A一撇控制面上的内力、轴力

就确定下了，

大于0 说明它是一个‘拉的性质’的力。

再考察：B两撇 这个面 到C 这一段，

我们把它单独拿出来，

这时候 这一段 它受到的

一个F1 集中外力、F2 集中外力，

还有一个 B两撇上面的

我们假设的 一个轴的内力，

我们都是先设它为拉力 也就是朝上的，

我们 再建立平衡方程，

也可以得到这个面上的轴力 也是5kN，

也是个正的， 说明它的确是‘拉的性质’。

好 我们再看看 另外一个控制面--

从B一撇 到C 这一段，

这时候 这个集中力 F1 已经没有了，

因为 B一撇 已经在B面之下，

所以呢 只有 我们假设的 B一撇上面

轴力 NB一撇，

以及 C 这一端部的F2 这个外部集中力，

这两个力 再列一个平衡方程--

ΣFx等于0，

这样呢 我们可以得到：

NB一撇的内(口误)力 也等于F2 就等于10kN。

我们看看 C、C一撇 这一段，

也列一个方程 我们可以得到：

FNC 是10kN。

我们把这些所有的控制面上的 内力 FN

求出来以后，我们就可以画出

FN 随着X坐标变化的轴力图。

我们看 这样画出来的 它的单位是kN，

那么 这是x方向。

每一个控制面--

A一撇到B一撇 这一段是正的，

B一撇到C一撇内部 也都是正的 10kN，

那么 都是关于内力的 跟外力已经没有关系了，

所以 它都是拉性质的 正的内力。

接下来 第五步 我们再计算最大应力、

最大应变，还有 产生的最大变形。

应力 σmax 当然是最大的轴力

除以 (因为截面积都一样)

S （都是25平方毫米）

上面 10kN 最大。

在这个里面 我们看看最大值 也就是

BC这一段。

那么 算下来呢 就是 4乘 10的 8次方，

每平方米 牛顿。

大家注意：这里面毫米应该化成米、

kN化成牛顿，

所以 每平方米牛顿，

算下来就是 400兆帕。

我们看 最大变形量--

显然也是 最大的轴力

乘上 它相对应的长度 l，除上 ES，

我们因为是两段，

所以呢 一段是10kN的、一段是5kN的，

其他量都一样的，

那么算下来呢 总的这个变形量呢 约等于1.43毫米。

那么 我们 问题里面 前面已经给了：

许用的 应力 是300兆帕，

我们算得最大正应力 是400兆帕，

它超过了我们许用应力，

应该说：在正应力这一块呢 它是失效的！

那么 变形这一块呢，

我们的许用变形 是2毫米，

所以呢 这个1.43呢 小于2毫米，

所以 从这个变形来说 它是不失效的！

那么我们正应力失效，

那么需要 重新设计这个构件--

我们可以 增大 横截面积，

这是一个最简单的办法！

这是第一个例子。

那么中间 我们在这里 给大家一个思考题：

像：这么一个变截面的杆件，是两段，

而且每一段呢 像AB段 它的材料不一样

像：AE这一段 是 铜，

还有 EC 这一段 是 钢，

那么 它们的弹性模量是不一样的，

各段的长度、尺寸， 以及受到的外载荷 Fp，

像：左端 A端 有2倍的Fp，

右端呢 有一个 1倍的Fp，

那么中间 D和B呢 有分别向左的集中力 Fp，

还有2Fp 在这里。

在它们这些外力作用下，

我们看看 整个杆件的横截面上，

绝对值最大的正应力是多少？

还有 总的变形量是多少？

大家可以根据我们前面的方法

来自己求一下。

当然 这里我们把答案给大家，

回去可以 自己试一试：

轴力分布：在AB段 都是负的--

也就是压缩性质的；

在BC段 是正的，

大小 是60 是拉伸性质的；

总的变形量呢 我们在这里给大家--

是负的 1.228 微米，

那么 负的 表示是 被压缩了。

那么 其他类型的 这种 杆件结构 它的应力计算，

我们也可以看看 这种圆周扭转的杆件，

在电动系统里面，

经常有这个 发动机、发电机、汽轮机，

它们轴 有受到外力 扭转的作用。

它的主要分析--

像：两个大小相等、方向相反的外力偶作用下，

产生 圆轴扭转，

那么扭转的时候 在这个轴的每一个横截面都有

切应力的分布，

它没有正应力了，

那么切应力分布 有这么一个公式，

大家可以去(查阅) 更多的这方面的计算呢，

还有相关的理论。

那么 像‘梁的弯曲’，在工程上也很多！

像：火车这个轴 左边到右边，

也是 属于一个 受到横向力的作用，

它会产生弯曲；

像：高楼大厦 还有高塔，

那么受 横向的风的吹的作用，

它也会产生弯曲变形；

那么 桁车 也一样的，

只要是受到横向的集中外载荷作用的话，

它可能都会产生弯曲作用。

那么 关于梁的弯曲的变形、

应力、应变分布啊 是比较复杂的！

相关的书籍，

材料力学有关的公式 和计算方法描述，

我们在这里都 不再详细讲解。

那么 另外呢 关于对复杂一点的结构，

它的局部的材料

内部单元 受到的内力和外力，

以及相关的应力、应变分析，

我们前面呢 也给了一个简单的图示--

就是 进入到材料内部，

这时候 我们 采取微单元的 这种 取出来分析--

比如说 我们这里面 取一个很小的微单元，

把它取出来以后，

这个微小单元，

它的各个面 有正应力和切应力的分布，

那么 我们再把中间的这一部分呢

取一个‘斜尖坯’出来，

我们要分析这个斜尖坯 这个斜面上

也就是 跟这个水平x轴成θ角的法线方向，

(它的法线是n),

那么这个面上，

它受到的 这些应力、应变的关系，

我们有一个 所谓的通用的公式，

在这里。我们可以看到

这些公式 在 研究

属于广义的应力、应变分析的计算公式，

那么 在现代的纳米材料，

这些微观的结构研究里面，

这个公式显然 就会更复杂！

目前呢 我们还不涉及到这一块的研究分析！

那么 整个材料力学部分呢 我们先介绍到这里。