Exponentiations, Logarithms and Sets (指数、对数与集合)在线视频

同学们 让我们继续学习微积分

在上一讲中

我们温习了实数的运算等等

这些基本知识

今天我们还是要温习

主要温习

指数 对数 集合 区间等等

以及他们相应的英文术语

应该说这些概念 在今后的学习中

特别重要

希望同学们能够熟练掌握

好的同学们 让我们正式进入讲课

好的同学们 这一单元的名称

叫做 Exponentiations Logarithms and Sets

意思是 指数 对数 与集合

这些都是我们在中学时候

接触过的概念

我们再仔细温习一下

Section 1 Exponentiations and Roots

指数与方根

好的先看定义

所谓指数 英语的名称叫做

exponentiations 也可以说成

幂 power 或者直接说 exponents

看一下定义

假设有一个p 这是一个正整数

另外呢 我们有一个数a

它是一个real number

把这个数a连乘p次

也就是 p-tuples of the Product of a

这个结果呢 我们把它记成 a的p次方

怎么读呢 读成

a to the p-th power

其中的这个p就叫做指数

而a叫做底数

我们这里要说一个注记

刚才我们约定p是一个正整数

也就是说p是不包括0的

如果p等于0 我们有一个约定

任意实数的0次幂等于1

但是要注意a不要等于0

0的0次幂通常我们是不定义的

好 下一个定义

我们给出什么叫做负幂指数

也就是 negative exponents

假设还是刚才的p是一个正整数

底还是a 但这时候

a不要等于0 我们定义什么呢

定义 a的负p次幂

a to the minus p-th power

把它定义成 a的p次方分之一

这个读作

the reciprocal of a to the p-th power

举个简单例子 比如说2的负3次方

two to the minus third power

它等于什么呢 它等于

2的三次方分之1

也就是8分之1

可以读作one eighth

下面我们定义什么叫做

P次方根

这里的p还是正整数

请看 如果有某一个x

if for some x we have

x to the p-th power equals N

这时候我们就把x叫做

N的p次方根

we call x a p-th root of N

有两种情况我们要注意

第一 如果p是一个奇数

if p is an odd number

这时候 我们把这个解x

可以唯一的解出来

就是n的p次方根

它的记号就是

p-th root of N 或者

直接写成N的p分之一次幂

另外一种情况 就是p是一个偶数

if P is an even number and

N is positive or zero

这时候呢 我们可以找到一个

大于等于0的p次方根

就把这个记成N的p次方根

或者N的p分之一次幂

另外一个 有一个是小于等于0的根

我们就不给它特别的记号

好 我们继续讲分数指数

假设现在有两个整数

assume that we have m n and

they are integers

还要求什么呢

they are relatively prime

就是它们两个要互质

这时候我们可以定义

N的m除以n次幂

是什么意思呢 就是

先做N的m次幂再开n次根

注意这里加了一句话

叫做 if it exists

这是为什么呢

因为 这个过程我们最后需要开n次根

刚才我们说过了 开n次根时候

要小心 是不是存在的问题

好 比如说 负8 的三分之二次幂

minus eight to the two thirds power

它等于多少呢 等于4 这是可以

根据刚才的定义直接算出来的

但是呢 如果我们试图计算

负8的二分之三次幂 也就是

minus eight to the three over two –th power

这个呢 is not defined

同学们想想这是为什么

好 我们这里还有一个注记

就是 实数的指数

它是怎么定义的 real exponents

一般而言 对于一个指数p属于R

我们可以定义N to the p-th power

要求这个N大于0 就可以了

但是这个定义通常非常复杂

so we have to omit the strict definition

as it is very complicated

非常的复杂 为什么呢

因为这需要我们学习一些

数学分析的知识

包括实数的完备性等等

才能够给出这个数的严格定义

这门课 我们就不深究了

Section Two Logarithms

对数

什么是对数呢

我们还是回顾一下定义

假设现在我们有两个数

分别是a和N

他们都是大于0的实数

if for some p in R we have

a to the p-th power equals N

这个时候呢 我们就把p

叫做N的对数相对于底a而言

记号呢是 p equals log of N

with respect to the base a

可以直接念作

log of N to the base a

例如 log of thirty six to the base six

equals two 为什么呢

因为6的平方等于36

再比如 log of square root of two

to the base two 等于二分之一

二分之一可以读作 a half

这个原因很简单 同学们想一想

接下来 我们讲一个特殊的数

哪个数呢 就是e

它是一个无理数 约等于2.71828

这是什么数呢

这就是自然对数函数的底数

the base of the natural logarithm

这个常数也叫做纳皮尔常数

also known as Napier’s constant

但是这个e的定义

实际上是非常复杂的

尽管我们在中学的时候

接触过这个数

从来没有认真仔细地追究过

它的严格定义

但是这个严格定义我们只能

在下一章给出了

好 我们还有一个注记

就是说 如果刚才的对数中

我们取底为10的话

这个对数就叫做 常用对数

the common log 通常把它记作lg

直接写lg 不写底下那个10了

lg of N 读作lg N

另外呢 如果把这个底取成e

这个时候呢 叫做 natural log 自然对数

它有一个特殊的记号

就是 ln N 读作ln N

好 我们看几个例子

比如说 lg1000 等于3

为什么呢 because

ten to the third power equals one thousand

another example lg of zero point one

equals minus one

为什么呢

因为10的-1次幂恰好等于0.1

再看 ln e 等于多少呢

恰好等于1

ln of one over e equals minus one

还有呢 ln one equals zero

Section Three Sets

集合

集合是一个比较抽象的数学语言

我们快速的会回顾一下

第一个定义我们就给出什么叫集合

用一句话说就是

a set is a collection of distinct objects

一个集合就是一些互相能够

分开的对象的全体

这里我插一句话

我们这个定义不是特别严格的定义

在数学中或者在逻辑学中

定义集合其实是比较复杂的

同学们可以参考一些集合论的书

去了解一下 我们这里就不深究了

好 第二个定义 什么叫集合的元素

elements 给定一个集合它里边

所包含的东西我们就叫做elements

请看定义

the individual objects of a set

are called elements

集合有它的子集 subset

它的定义是

any part of a set is called

a subset of the given set

意思就是说 任何一个集合

其中的任何一部分都可以叫做

这个集合的子集

好 关于集合有很多运算

我们看第一个运算

Unions 并集 这个符号

同学们以前可能见过

就是一个向上开口的U

它表示 the union of sets

集合的并集

什么叫集合的并集呢

the union o sets is the set composed of

all distinct elements from each set

意思就是说 很多集合的并

实际上就是把它们中全部的元素

放在一起 好 看一个例子

比如说 一个集合是 one two three six

another one is two four six

好了 我们把它们并起来

the union of these two sets is

the set of elements one two three four six

你看 其中有2和6 这两个元素是

公共元素 我们就不重复记了

好 下面我们看一下 intersections 交集

交集的符号是这样的

是一个向下开口的U

表示intersection 什么叫 intersection呢

给定两个sets given two sets A and B

the intersection of them is the set

composed of all common elements of A and B

意思就是说

A与B中的公共元素的全体

还是一个例子

1 2 3 6 刚才这个集合

和另外一个集合2 4 6

the intersection of these two sets

is the set that collects two and six

好的 我们看一下 empty set

什么叫做空集

空集是一个特别特殊的集合

a set consisting of no elements

不存在元素的集合就叫做空集

empty set 它也叫什么呢

也叫null set 它的符号比较特殊

就是0划一个slash 表示空集

例如一个集合 two and four

another one one and three

the intersection is nothing

因为这两个集合

没有任何公共的元素

所以他们的交集是 empty set

再例如 这样的集合 就是

全体 R2 平面上的x y

满足 x square plus y square equal minus one

因为每一个实数的平方

都是大于等于0的

这样的x y 是不存在的

So this set is in fact empty

但是呢 我强调一下 如果这里把

(x，y) 属于 R2 改成

(x, y) 属于别的集合的话

这可不一定就是一个空集了

比如我们后面要说的复数集

的情况下 这个集合

就有可能不是空集了

好 接下来我们看一个 example

这个 example 是这样描述的

这里我们复习一下描述集合的一些符号

such x 属于Q 什么意思呢

就是这样一个集合它由特定的

有理数构成 such x in Q

满足什么条件呢 就是说

the number x 它应该怎么样呢

如果是这个集合的元素的话

它必须满足 要么它的平方小于2

x square is less than two

或者呢 x is less than zero

或者x小于0

注意我们这里用到了这样一个符号

就是开口向上的V 它的意思是

逻辑关系 或

好的 我们再看一个

跟刚才例子有点像的一个例子

这样的y in Q 它满足

y square is bigger than or equal to two

这个符号读作 and

and y 大于0 什么意思呢

意思就是说

这个集合

由某些有理数构成

certain rational numbers

什么样的y呢 y要满足

the square of y is greater than or equal to

要大于等于2 而且

and y is greater than zero

注意

这里我们遇到了一个特殊的符号

就是开口向下的V

它是逻辑运算的意思

意思是说 与 it means and

好 我们再看一个定义

什么叫做补集

The complement

The complement of a set S

它有一个特殊记号 记作 Sc

S在指数的位置写一个c

这是对集合而言的特殊符号

它表示补集 什么是补集呢

is the set R backslash S

就是除去S以外的那些数的集合

例如 零的补集 就是全体非零数

可以这么记

从负无穷到0

并上从0到正无穷

这个区间的符号

我们后面还会再复习一下

再比如 Z的余集

也叫Z的补集

the complement of Z 是什么东西呢

是全体 从n到n+1这样的开区间的并集

这个开区间的符号

我们待会马上复习一下

好的 比如说 R是整个R

R的余集是什么呢

R除去R就没有东西了

所以 它是空集

集 Rc equals empty set

同样的 empty set 的余集

就是全体R

Section Four Intervals

区间

好 我们看一个简单的区间符号

方括号a b

我们回顾一下它表示什么意思

它表示 这样的x in R

x 介于a与b之间 而且

x可以等于a 也可以等于b

这叫什么呢 这叫做闭区间

the closed interval between a and b

另一个类似的符号就是

小括号a b parentheses of a and b

这表示什么呢 表示

这样的x in R x is bigger than a and less than b

这叫做开区间

called an open interval

还有半开半闭区间

half open half closed

我们这里用了这样一个符号

它表示什么呢 表示

such x in R x is bigger than a

and less than or equal to b

你看这两端不一样

这就叫做一个半开半闭区间

called a half open or half closed interval

请看跟它差不多的记号就是

左边是闭的 右边是开的

这样的a b 它的含义

我们就快速的看一下

就不仔细解释了

刚才这几个都是有界的区间

我们看一个无界的

圆括号a到正无穷

它表示什么呢 表示

such x in R where x is bigger than a

全体比a大的实数

这个呢 也可以这么记

记成 such x in R x bigger than a

and less than infinity

一个类似的符号 是这样写的

也是a到正无穷 但是呢

左边是方括号 就表示

such x in R x is greater than or equal to a

也可以记成

such x in R x bigger than or equal to a

and less than infinity

好 最后一个符号

负无穷到正无穷 这表示什么呢

表示全体的实数R

all real numbers

好的同学们

今天这一讲就是这么多了

这里我们还是温习了

很多基础的知识

但是下一讲 我们要讲

很多新的内容和概念

这些同学们以前是没有接触过的

希望同学们能够提前

认真的预习一下 下一讲的内容

这样到时候

你学起来就轻松一些了

好的 同学们 我们下堂课再见