当前课程知识点:微积分-1 > Chapter 1 Numbers and Sets 数域与集合 (first part) > Unit 3 Limit Points, Open and Closed Sets (聚点、开集与闭集) > Limit Points, Open and Closed Sets (聚点、开集与闭集)
同学们 欢迎来到 mooc
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目前 我们已经温习了
很多中学的数学知识
今天我们要学一些新的内容
它们是 邻域 开集 聚点 与闭集
这些都是比较抽象的概念
因此希望同学们 在今天
这一讲中 要认真听讲 仔细揣摩
多加思考
好的 我们从邻域讲起
Section One Neighborhoods and Open Sets
邻域与开集
前面 我们复习了很多区间
比如说开区间 半开半闭区间等等
开区间中呢 有一种特殊的开区间
我们把它就做邻域
就是下面我们要讲的
它的特殊性呢 就在于
给定邻域 要指定
它的中心和半径的大小
好 我们看一下它的严格定义
neighborhood 就是邻域
需要给定a点
以后我们把这个a点叫做中心
还有另外一个正数 delta
给定这两个数a与delta
就可以定义什么叫做邻域了
就是这样的集合
such x in R
the absolute value of x minus a
is less than delta
这句话什么意思呢
就是
这样的x 它与a的距离
不超过 delta
这个集合呢
我们就把它叫做a点的delta 邻域
还是用一个图来看一下吧
请看这幅图
在这幅图中
我们标记了
什么叫做以a为中心的delta邻域
如果我们用区间的语言写出来
就直接可以写成这样的开区间
从a减delta开始到a加delta
也就是delta neighborhood
is aspecial open interval
centered at a with radius delta
再往下看
我们还有一个类似的定义
叫做deleted neighborhood
汉语的意思呢就是去心邻域
它依然需要事先指定
中心a in R和另外一个半径
Delta大于0
它的集合描述是这样的
Such elements in R
the absolute value of x minus a is
greater than zero and less than delta
你看这个集合和上面的delta邻域的
定义呢有细微的差异 就在
加了一个条件
就是绝对值要大于0
所以x不能等于a
我们把这个集合就叫做
the deleted delta neighborhood
of the point a
a点的delta去心邻域
我们下面看这幅图
它表示 去心的delta邻域是什么样子
你看这幅图和前一副图的区别
就在于我们把中间的a点挖掉了
用区间的语言写呢 就是
开区间从a减delta到a加delta
但是要去掉中心的a点
因此我们把这样的集合叫做
delta去心邻域
有了邻域和去心邻域的概念
我们还要引出一些其他的概念
比如说 interior point 内点
什么叫内点呢 这是针对于
给定的某个给定集合而言的
假设给定的某个集合S
以及S中的一个点x
if请看这里出现了一个新的符号
是倒写的E 这个倒写的E
读作exist 它的意思是 存在
if there exists
an open neighborhood U of x
这句话的意思是说
存在x的某一个邻域
这里我们没有确定这个邻域大小
只是存在某一个邻域就可以了
if there exists an open neighborhood U
of x such that
整个的 U包含在S中
这个时候我们就叫 x是S的一个内点
we call x an interior point of S
好 我们强调一下
刚才这个符号
倒写的E它表示存在
这个符号我们后面要反复用到
刚才这个interior point的定义
我们可以等价的写出来
就是x是S的一个内点的
充分必要条件是什么
充分必要条件我们在中学的时候
经常用这样的符号来表示
这个在英语中
通常把它读作if and only if
意思是等价或者当且仅当
好 我们说x是S的一个内点
当且仅当 if and only if
按照刚才的definition one point three
是什么呢
意思就是说
存在这样的delta 大于0
使得 整个这样一个delta邻域
以x为中心的delta邻域
包含在S中
这时候我们就把x叫做
interior point 内点
笼统的讲
内点就是集合内部的点
我们明白了什么叫内点的定义之后呢
我们要用它来定义什么叫开集
open set
假设我们有一个实数集的子集S
我们把S叫做一个开集
it is called open if
任意的x属于S
都怎么样呢
is an interior point of S
任意的x在S中呢
都是 S 的内点
也就是说S中除了内点
别无它点
这样的S就叫做开集
好 我们还是强调一下这里头
出现的这个符号
我们以前接触过 它表示
any for all任意的意思
这样的符号我们后面反复会用到
同学们一定要牢记
还有一个要注意的事项
就是 刚才定义中没有提及
这个S是空集的情况
如果S是空集的话
我们也约定它是一个开集
这是符合逻辑的一种约定
好 我们看一个例子
开区间a b
这就是一个典型的开集
因为我们可以画一个图
看出来a b区间中的
任何一个点都是内点
因为它总是存在一个
delta邻域包含在这个开区间中
我们再看
全体实数构成的集合R
它也是开集
这是显然的
我们再看 R中去掉一个点
就是把零点去掉
它呢还是开集
这个呢请同学们想一想为什么
最好 自己在纸上画一下就明白了
好 我们再看一个例子
半开半闭的区间
from a to b where a
is in the interval b is not
这个时候我们说 它不是开集
同学们能想想为什么吗
因为在这个区间中
有一个点它不是集合的内点
谁呢 a
a不是这个半开半闭区间的内点
因为 在a处 你找不到
任何一个邻域使得这个邻域
包含在整个区间中
再看一个例子
S是这样的集合
它是R中去掉所有的
n分之一形式的数
构成的集合
比如说R中要去掉1
去掉1/2 去掉1/3 and so on
这个集合它是开集吗
答案是否定的 它不是开集
要说清楚 为什么这个S
不是开集呢 不是那么容易的
我们需要从定义出发
只要找到S中的那个点
它不是S的内点就行了
也就是说 只要证明S中存在一个点
它不是内点
那么S按定义就不是开集了
那个点是谁呢
同学们想到那个点是什么了吗
可能有的同学 通过
画一张图能够找到那个点
可能有的同学 还是需要
再仔细考虑一下
我建议同学们
在这个地方暂停一下
自己在纸上把这个问题解决
我们这就 暂时不公布答案
Section Two Limit Points and Closed Sets
聚点与闭集
在上一小节我们搞清楚了
什么是开集
那同学们自然就会想到了
既然有开集 那也应该有闭集
要想定义什么是闭集
我们需要先来学习
一种特殊的点
它叫做极限点 也叫做聚点
我们后面可能更多的
用的是聚点这个术语
好 我们先看一下定义
point of accumulation
就是聚点的定义
还是给定一个R的子集S
什么叫做S的极限点呢
比如这个点l
l is called a limit point 极限点
or point of accumulation 聚点
是针对S这个集合而言的
如果 满足这个条件就是
l的任何一个去心邻域
都包含一个或者更多的S的点
这句话 逻辑上有点复杂
请同学们认真地仔细地 揣摩一下
整个这句话的意思
我们给一个例子
S是半开半闭区间 从0到1
其中0是包进去的
1不包进去
如果我们按刚才上面的
聚点的定义
我们找一找S的聚点有哪些
注意这个时候我们找的时候
是 你只要看这个点的
任何一个去心邻域中
是否还包含S的点
那可能有的同学 已经找出来了
那就是从0到1全体数
包括了0到1
整个闭区间中的任何一个点
都是刚才这个集合的聚点
注意其中0也是1也是
我们这里有一个注记
同学们一定要注意
刚才的定义中我们说的
集合S的聚点l
它和S的关系
使用逻辑关系给出了
但是我们要小心
l不一定是S的点
也就是说 S的聚点
不一定一定要在S中
limit points of S
do not have to be elements of S
为什么呢
我们不妨看刚才那个例子
就是说 半开半闭区间从0到1
它的全体聚点在哪呢
从0到1 包括了0 1
马上同学们就看出来了
其中有一个点1 就不在原来集合
半开半闭区间0 1 之中
那么还有一个注记
希望同学们注意一下 就是
elements of S may not be
a limit point of S 什么意思呢
意思就是说 S中的点
也不一定是S自身的聚点
咱们还是看一个例子
来说明这件事情吧
请看 这样一个 example
这样的x属于R
X介于0 1 之间 包含了0
或者x等于2
同学们想一下
它的聚点是哪些呢
如果同学们在纸上画一下的话
可能大概看出来了
它的聚点的全体是 0 1之间
任何一个数 包括了0 和1
但是你看有一个点2
不是刚才这个集合的聚点
因此我们说集合中的点
不一定是集合本身的聚点
同学们现在应该已经明白
什么是聚点了
下面我们要用聚点的概念
来定义相对于开集的另外一种集合
叫做闭集
什么叫闭集呢请看定义 closed set
a set S is called closed
一个集合叫做闭集
满足什么条件呢
if it contains all its limit points
意思就是说 如果这个集合中
包含了它全部的聚点
也就是说
只要是S的聚点就不在别处
一定在S之中
这样的集合叫做闭集
我们看一个例子
比如 闭区间 a to b
它就是闭集 为什么呢
因为这个闭区间它的
全部聚点恰好是它自身
因此它就是闭集
我们再看一个例子
1到正无穷
这个道理跟刚才也差不多
可以说明 它的全部聚点
也恰好是从1到正无穷包括了1
因此呢它是一个闭集
我们这里有一个注记
空集按通常的约定也认为是闭集
我们再看一个例子 比如说
one a half a third a fourth
and so on
这个集合S它是闭集吗
其实它真的是一个闭集
要想说清楚这件事情
需要我们套用一下定义
我们要说明什么呢
我们要说明这个集合S的
全部聚点都在S中
那它的全部聚点是哪些呢
can you find all the limit points of S
可能有的同学已经找到了
实际上这个集合S只有一个聚点
那就是0
x equals zero is the only limit point of S
要想理解这件事情 希望同学们
认真地 严格的
套用刚才聚点的定义
就可以说明了
好了讲完了什么叫开集 什么叫闭集
那开集和闭集 从名称上
就好像是相对的两种集合
那么他们之间到底有什么关系呢
我们呢 有这样一个定理
这个定理是这样说的 它说
the complement of an open set
is a closed set
开集的补集是闭集
the complement of a closed set
is an open set
闭集的补集是开集
看了这个定理 你马上就明白了
原来开集与闭集为互补的关系
好的我们看一个例子
比如还是刚才这个S
包括了zero and all the numbers
that are of the form one over n
这个我们刚才已经说过了
它是一个闭集
按照刚才这个定理
我们知道S的余集应该是一个开集
但是这个S的余集 到底是什么呢
你能把它写出来吗
我建议同学们 暂停一下
自己试着把S的余集写出来
好的 我们公布一下答案
S的余集是
这样一个比较复杂的集合
它包括了从负无穷到0
以及全体这样的开区间
从n+1分之1 到n分之1
以及从1到正无穷
你看这样的集合 它是开集
但是它并不是简单的开区间
它是一系列复杂开区间的并集
好我们再看一个例子
R这个集合它是既开又闭
空集也是既开又闭
我们再看
R中任何一个有限的集合都是闭集
所谓有限集合就是说
它只由有限个点构成
比如说1个点2个点n个点
这样的集合
我们再看一个稍微复杂的例子
就是Q 全体 有理数集
这个集合它到底是开集呢
还是闭集呢
这个请同学们思考一下
答案是说它既不开也不闭
要想说清楚这件事情
希望同学们能够自己
写一个简短的证明
并不是很困难
同学们 今天这堂课
我们学习了四个新的概念
它们是
邻域 开集 聚点 与闭集
它们都是比较抽象的概念
希望同学们能够仔细揣摩
我们给出的定义和例子
自己 最好也能举一反三
深入的领会
下堂课 我们还要学习一些
比这更加抽象的内容
因此 我还是请同学们
提前预习一下 下一节的内容
好的同学们 下堂课再见
-Unit 1 Review of Real Numbers (回顾实数)
--Review of Real Numbers (回顾实数)
--Exercise1-1
-Unit 2 Exponentiations, Logarithms and Sets (指数、对数与集合)
--Exponentiations, Logarithms and Sets (指数、对数与集合)
--Exercise 1-2
-Unit 3 Limit Points, Open and Closed Sets (聚点、开集与闭集)
--Limit Points, Open and Closed Sets (聚点、开集与闭集)
--Exercise-1-3
-Unit 4 Bounds and Completeness (有界性与完备性)
--Bounds and Completeness (有界性与完备性)
--Exercises-1-4
-Unit 5 Complex Number System, Algebraic and Transcendental Numbers (复数、代数数与超越数)
--Complex Number System, Algebraic and Transcendental Numbers (复数、代数数与超越数)
--Exercise-1-5
-章节测验1
--章节测试1
-Unit 1 Limit of a Sequence (数列的极限)
--Exercises-2-1
-Unit 2 Theorems on Limits of Sequences (数列极限定理)
--Theorems on Limits of Sequences (数列极限定理)
--Exercises-2-2
-Unit 3 Infinity and Bounded Monotone Sequences (无穷大和单调有界数列)
--Infinity and Bounded Monotone Sequences (无穷大和单调有界数列)
--Exercises-2-3
-Unit 4 Limit Superior and Limit Inferior (上极限和下极限)
--Limit Superior and Limit Inferior (上极限和下极限)
--Exercises-2-4
-Unit 5 Nested Intervals Theorem and Cauchy’s Convergence Criterion (区间套定理和柯西收敛准则)
--Nested Intervals Theorem and Cauchy’s Convergence Criterion (区间套定理和柯西收敛准则)
--Exercises-2-5
-章节测验2
--章节测试2
-Unit 1 Functions and Graphs (函数与图像)
--Functions and Graphs (函数与图像)
--Exercises-3-1
-Unit 2 Algebraic Function,Transcendental Functions and Inverse Trigonometric Functions (代数函数,超越函数与反三
-- Algebraic Function,Transcendental Functions and Inverse Trigonometric Functions(代数函数,超越函数与反三角函数)
--Exercises-3-2
-Unit 3 Hyperbolic Functions and Inverse Hyperbolic Functions (双曲函数与反双曲函数)
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--Exercises-3-4
-Unit 5 Limits of Functions (函数的极限)
--Exercises-3-5
-Unit 6 Infinity (无穷)
--Exercises-3-6
-Unit 7 Theorems on Limits and Special Limits (极限相关定理与特殊极限)
--Theorems on Limits and Special Limits (极限相关定理与特殊极限)
--Exercises-3-7
-Unit 8 Continuities (连续性)
--Exercises-3-8
-Unit 9 Theorems on Continuity (关于连续性的定理)
--Theorems on Continuity (关于连续性的定理)
--Exercises-3-9
-Unit 10 Piecewise Continuity, Uniform Continuity, and Discontinuities (分段连续性, 一致连续性与不连续性)
--Piecewise Continuity, Uniform Continuity, and Discontinuities (分段连续性, 一致连续性与不连续性)
--Exercises-3-10
-Unit 11 Infinitesimals and Bounded Quantities (无穷小量与有界量)
--Infinitesimals and Bounded Quantities (无穷小量与有界量)
--Exercises-3-11
-章节测验3
--章节测试 3
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--Differentiability on Intervals, Piecewise Differentiability and Differentials (区间上的可微性,逐段可微性与微分)
--Exercise-4-2
-Unit 3 Basic Methods of Differentiation (基本求导方法)
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--Exercise-4-3
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--Derivatives of Commonly Used Functions (常见函数求导)
--Exercise-4-4
-Unit 5 Higher Order Derivatives and Mean Value Theorem (高阶导数与中值定理)
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--Exercise-4-5
-Unit 6 L'Hospital's Rules (洛必达法则)
--Exercise-4-6
-Unit 7 The First and Second Derivative Tests (导数判别法)
--The First and Second Derivative Tests (导数判别法)
-Unit 8 The Taylor Formula (泰勒公式)
--Exercise-4-8
-章节测验 4
--章节测试4
-Unit 1 Definite Integrals and Numerical Methods (定积分与数值方法)
-- Definite Integrals and Numerical Methods (定积分与数值方法)
- Exercise 5-1
-Unit 2 Properties of the Definite Integrals and the Fundamental Theorem of Calculus (定积分的性质与微积分基本定理)
--Properties of the Definite Integrals and the Fundamental Theorem of Calculus (定积分的性质与微积分基本定理)
--Exercise-5-2
-Unit 3 Integrals of Elementary Functions and Integration by Substitution (初等函数的积分,换元法)
--Integrals of Elementary Functions and Integration by Substitution (初等函数的积分,换元法)
--Exercise-5-3
-Unit 4 Integration by Parts and Special Techniques(分部积分法与特殊技巧)
--Integration by Parts and Special Techniques(分部积分法与特殊技巧)
--Exercise-5-4
-Unit 5 Integrations of Rational Fractions and Trigonometrical Rational Functions(有理分式函数与三角有理函数的积分)
-- Integrations of Rational Fractions and Trigonometrical Rational Functions(有理分式函数与三角有理函数的积分)
--Exercise-5-5
-Unit 6 Arc Length(弧长)
--Exercise-5-6
-Unit 7 Areas and Volumes(面积与体积)
--Exercise-5-7
-章节测验5
--章节测试5
-课程讲义