Infinity and Bounded Monotone Sequences (无穷大和单调有界数列)在线视频

同学们 你们好

欢迎来到 mooc在线课程微积分

本讲的主题是无穷大

什么叫做一个数列趋近于无穷大呢

简而言之就是说

这个数列要多么大就有多么大

但是呢 我们还是需要用

严格的数学语言来定义

什么叫做一个数列趋近于无穷大

好的 让我们就从严格的定义讲起

Chapter 2 Sequences 数列

Unit 3 Infinity and Bounded Monotone Sequences

无穷大与单调有界数列

Section 1 Infinity 无穷大

同学们 在上一单元中啊

我们接触到了一个例子

这个例子中呢

出现了无穷大这样的极限

那到底什么是无穷大呢

我们呢有一个明确的定义

好的 请看定义

Definition 1.1

Let a(n) be a sequence

假设呢我们有这样一个数列a(n)

If for all big M positive

如果对任意的正数大M

there exists some big N

which is a positive integer

存在着某一个正整数大N

which depends only on big M

这个大N呢只依赖于大M

使得什么呢

such that a(n) is bigger than big M

for all little n bigger than big N

对任意的小n大于大N呢

这个第n项a(n)总是比M大

这个时候呢我们就说

we say that

the sequence a(n) tends to infinity

或者叫 tends to positive infinity

也就是序列a(n)呢趋近于无穷

也叫趋近于正无穷

and we write limit as n goes to infinity

a(n) equals infinity or positive infinity

也就是说在这门课中啊

无穷和正无穷呢通常看成同一个概念

我们看一个例子吧

Example 1.2

Consider u(n) equals ln n

现在这个序列呢

第n项就是ln n

那么这个序列 它就是趋近于无穷的

we have limit as n goes to infinity

ln n equals infinity

ln n 趋向于正无穷

这件事情呢

可以用刚才我们定义中的

大M大N这个语言呢严格地证明

希望同学们在课后呢

自己练习一下

我们现在呢看一下它的图像

请看 这里画出了

序列ln n的点列的图像

那么我们明显地可以看出来

对任意的大M

总是能找到一个起始的指标大N

从大N开始呢

所有的项都会比刚才的M大

也就是说ln n是趋近于无穷的

好 接下来我们看一个类似的定义

Definition 1.3

Let a(n) be a sequence

假设呢给定了某一个序列a(n)

如果对任意的正数M

存在着某一个大N

这个大N呢是一个正整数

它呢只依赖于大M

使得a(n)永远比负的M还要小

只要这个从指标大N开始

那么这个时候呢我们就说

这个序列a(n)啊它趋近于负无穷

we say that the sequence a(n)

tends to negative infinity

and we write

limit as n goes to infinity

an equals minus infinity

所以呢 负无穷

它其实呢也是一种无穷

刚才出现的负无穷啊

并不是无穷小

无穷小呢

是另外一个完全不同的概念

我们会在第三章中呢

详细解释什么是无穷小量

现在呢我们提到的负无穷啊

它是这样指的是这个数啊

趋近于一个负的无穷大的数

另外呢我们还有一件事情要注意

Remark 1.4

Infinity or minus infinity is not an number

and the above sequence a(n) is not convergent

尽管刚才我们提到了

所谓某一个序列的极限

是无穷或负无穷

这件事情的严格定义

但是呢它和前面我们定义

一个序列极限是L

还是不一样的

如果序列的极限

真实的是某一个有限的数L的话

我们称这个序列是收敛的

现在这种情况

尽管a(n)呢是趋近于无穷大

或者负无穷大

我们仍然不说这个序列是收敛的

实际上它是发散的

It is divergent

The terminology employed

merely indicates that

the sequences diverge in a certain manner

也就是说

当我们写一个序列极限

是无穷或负无穷的时候呢

仅仅是告诉我们

这个序列是发散的

它发散的方式呢是无界的

要么趋近于正无穷

要么趋近于负无穷

好的 我们再看一个例子

Example 1.5

Limit as n goes to infinity n square

这个序列啊

明显它就是趋近于无穷大的

再比如e的n次方

这个序列呢

它也是趋近于无穷大的

好 再看一个例子

Example 1.7

这里的极限呢是这样的

limit as n goes to infinity

ln sine one over n

那么它的极限是多少呢

事实上我们可以看出来

它的极限是负无穷

minus infinity

为什么呢

因为这里边嵌套了好几重的极限

首先呢n分之一它会趋近于零

sine n分之一呢它也会趋近于零

而ln一个趋近于零的序列呢

它就会趋近于负无穷

因此整体上它是趋近于minus infinity

同学们

刚才呢我们看到了好多的例子

有的呢趋于正无穷

有的呢趋于负无穷

趋于无穷的时候呢也有快慢之分

有的快一些 有的慢一些

那么同样趋于无穷

那么谁快谁慢呢

这件事情上要留到后面

我们讲洛必达法则的时候

会仔细地研究

Section 2 Bounded Monotone Sequences

单调有界数列

同学们 上一小节呢

我们讲了什么是无穷大

本质上呢就是说

这个数列啊

它的取值呢是越来越大 越来越大

也就是说 它是个无界的数列

那么这一小节呢

我们就要看刚才这件事情的反面

也就是有界数列

好 我们看一下

什么叫做一个数列是有界的

Definition 2.1

Let u(n) be a sequence

If there exists a real number big M

Independent of little n

such that u(n) is less than or equal to big M

for all n equals 1 2 3 so on

Then we say that the sequence u(n)

is bounded above

好的 我解释一下

假设呢我们现在有一个序列u(n)

如果呢

我们能找到某一个实数大M

这个大M啊

它是不依赖于这个指标小n的

使得什么呢

使得这个序列中的每一个元素

也就是任意的第n项元素呢

总是比大M要小或者等于大M

这个时候呢

我们就说这个序列是有上界的

and the number M is called

an upper bound of u(n)

好了 这个定义啊

和我们第一章中所谓的

一个集合有上界

是完全一致的

因此呢 同学们应该不会感到陌生

类似的

我们也有所谓的有下界的定义

Similarly we have

Definition 2.2

If there exists a real number little m

which is independent of little n such that

u(n) is greater than or equal to little m

for all n equals 1 2 3 so on

Then we say

the sequence u(n) is bounded below

这个序列是有下界的

And the number little m

is called a lower bound of u(n)

u(n)的一个下界

我们看一个例子吧

Example 2.3

sin n is bounded above

1 is an upper bound

sin n这个序列啊

它就是有上界的

因为明显的呢

我们可以取它的上界为1

n分之一这个序列

is bounded below

我们可以找一个下界

比如说是0 但是注意啊

n分之一它永远不可能取到0

尽管0是它的一个下界 Lower bound

好的 现在看一下什么是有界的定义

Definition 2.5

If there exists real numbers

little m and big M

存在着两个数小m和大M

它们呢都和小n没有关系

independent of little n

such that u(n)

is in between little m and big M

for all n equals 1 2 3

对任意的n等于1, 2,3等等等这些

第n项它都介于小m与大M之间

这个时候呢我们就说

序列u(n)是有界的

We say that the sequence u(n) is bounded

有界 我们看一个注记

Remark 2.6

Every convergent sequence is bounded

只要序列是收敛的

它就一定是有界的

但是反过来不对

but the converse is not necessarily true

也就是说

一个序列是有界的

那它可不一定是收敛的

好的我们看一个具体的例子

Example 2.7

The sequence minus one to the nth power

负1的n次幂 这个序列

如果写出来呢 就是

-1 1 -1 1 -1 1 so on

这个序列啊 它是一个跳跃的序列

它呢 有界 Is bounded

因为呢我们可以取上界为1 下界为负1

但是这个序列呢 它是不收敛的

It is not convergent

所以说 有界并不见得是收敛的

但是收敛一定是有界的

同学们在中学阶段的时候呢

可能学过所谓函数的单调性

关于函数单调性啊

我们在下一章

也就是函数这一章呢

会再仔细地讲一下

对于序列而言呢

也有同样的概念

也就是说

我们有单调序列的概念

下面来看一下定义

Definition 2.8

Let u(n) be a sequence

If u(n) is less than or equal to u(n+1)

for all n equals 1 2 3

如果任意的小n

都有第n项会小于等于第n+1项

那么这个序列呢就叫做单调升的

The sequence is called

monotone increasing

或者直接叫做 Increasing

汉语呢叫做 单调升 单调增

或者也叫单调递增

If u(n) is less than u(n+1)

For all n equals 1 2 3 and so on

如果特别地 每一个u(n)呢

都是严格小于它的后继项

也就是u(n+1)

这个时候呢

我们称这个序列是严格单调升的

It is called strictly monotone increasing

严格单调升 或者呢 严格单调增

类似的呢 我们还有这样的定义

Definition 2.9

Let u(n) be a sequence

If u(n) is greater than or equal to u(n+1) for n

如果对每一项而言呢

u(n)总是比它的后继项要大

或者等于 那么这个时候呢

We call the sequence monotone deceasing

这个序列叫做单调减的

或者单调递减的

If u(n) is bigger than u(n+1) strictly

对所有的小n呢

u(n)呢都是比u(n+1)严格地要大

那么我们叫做这个序列是

严格单调递减序列

It is called strictly monotone decreasing

我们呢 还是看几个具体的例子吧

请看 Example 2.10

Let a(n) be n square plus 1

好了 这个序列 它是怎么样的呢

It is strictly monotone increasing

这是一个严格单调升的序列

Consider b(n) equals one over n

如果b(n) 取成n分之一

那么这个序列呢 就是

strictly monotone decreasing sequence

它是一个严格单调递减的序列

刚才呢 我们介绍了

什么叫做单调递增 单调递减

这两个概念呢 非常有用

请看下面的重要定理

Theorem 2.11 定理2.11

Every bounded monotone

increasing or decreasing sequence

每一个单调的序列

它可以是单调递增

也可以是单调递减

而且要求怎么样呢

Bounded 有界

这个时候 怎样呢 has a limit

整个这个定理啊

可以用一句话来说 就是

单调的有界序列一定有极限

注意 这里头有两个条件

一个是单调

它可以是单调升

也可以是单调减

同时呢 要求它必须是有界的序列

这个时候啊 我们就可以断定

这个序列一定有极限

换言之 它一定是收敛的

刚才这个定理中呢

需要单调性 还需要有界

那么 这个定理啊

是微积分中一个非常重要的定理

可以说是微积分的基础之一

好的 我们看一个具体的例子

Example 2.12

Consider a(n)

a(n) is 1 plus one over n to the nth power

现在呢 考虑这个序列

它的第n项呢 是1加上n分之一

然后再取n次幂

那么这个序列啊

实际上它是一个

monotone increasing sequence

它是一个单调升的序列

and bounded above

它是有上界的

这个例子啊

实际上证明起来呢

还是有一定难度的

我们在本课程的一些附属材料中

会给出严格的证明

总之 根据它有上界

然后呢 又是单调升的

我们可以断定

这个序列呢一定有极限

In fact the limit of this sequence

is the number e

这个序列的极限的结果啊

恰好就是

我们前面讲了一个重要的无理数

也就是e

请看下面的图 这幅图中呢

我们展示了这个序列趋近于e的情况

这里呢我们列出了

n从1一直到100

这个点列的趋势

我们看出来

它的确是一个单调升的

然后呢又有界的序列

同学们 刚才这件事情啊

实际上可以看作实数e的定义

实数e是如何得到的呢

是微积分中一个非常重要的事情

实数e呢 也叫做自然常数

它呢是一个超越数

也是数学中最重要的常数之一

刚才我们定义啊

实际上用了抽象的方法

也就是给了一个序列

说明它有界 而且呢是单调的

因此它有极限

这个极限呢 我就把它定义成e

将来我们还有其它的方法

来定义这个自然常数e

比如说用级数的方法

那么随着我们学习的深入呢

我们会接触到与e有关的

更多的有趣的数学知识

同学们 以上就是本讲的全部内容

在这一讲中 我们重点学习了

什么叫做一个数列趋近于无穷大

与之紧密相关的呢

是一个数列的上界与下界这样的概念

在下一讲中

我们还要加深对于上界与下界的理解

并引入什么叫做数列的上极限

与下极限

应该说上极限与下极限

是比较复杂难懂的内容

同学们一定要提前预习一下

好的 同学们 我们下一堂课再见