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Limit Superior and Limit Inferior (上极限和下极限)课程教案、知识点、字幕

同学们 你们好

欢迎来到 mooc在线课程微积分

在上一讲中

我们谈到了一个数列的上界与下界

可能有的同学已经体会到了

一个数列的上界与下界

和数列的极限本身呢

没有什么太大的关系

也就是说 光研究上界与下界

没有什么太大的意义

而在本讲

我们要引入数列的

真正有价值有意义的上界与下界

也就是上极限与下极限

应该说上极限与下极限

是比极限还要复杂难懂的内容

同学们一定要正确的理解这个概念

好了 下面我们就仔细的讲一下

到底什么叫做上极限与下极限

Chapter Two Sequences 数列

Unit Four Limit Superior and Limit Inferior

上极限和下极限

同学们 我们首先来了解一下

上极限与下极限的定义

特别要提醒同学们

和以前我们讲过的

上确界和下确界的定义

要做一点对比 看看它们

有哪些相同的地方 哪些不同的地方

请看定义 definition limit superior

上极限的定义

let Un be a sequence

假设我们现在有一个序列Un

if there exists a number l bar

如果存在着某一个数 l bar

such that for any εpositive

使得呢 对任意的大于0的数ε

there are infinite many terms of the sequence Un

that are greater than l bar minus ε

什么意思呢

对任意的大于0的ε

我们总能找到无穷多的 Un

其中的元素 使得什么呢

这些数 都比l bar减ε要大一些

另外呢 我要 only a finite number

of terms are great than l bar plus ε

而只能找到有限多个

或者没有 或者只能找到有限个

Un的元素使得它们比l bar 加ε要大

如果这两个条件都满足的话

我们就说l bar is called the limit

superior of the sequence Un

把l bar 就叫做这个序列Un的上极限

limit superior 它的记法是这样的

we write limit sup Un equals l bar

或者呢 limit 上面划一条横线

bar limit Un equals l bar

这两种记法都是非常常用的记法

在特殊的情况

我们还有另外一件事情

我们这里要注意一下

if for any big M which is positive

there are infinite many of Un

that exceed M

如果对任何的正数M

总能找到un中的无穷多项

使得它们比M还要大

这个时候我们称

Un的上极限是正无穷

limit superior of Un is infinity

or bar limit Un equals infinity

类似于上极限

我们有下极限的定义

也就是 definition 1.2

limit inferior 请看定义

if there exist a number underline l

如果存在着某一个数l

我们用l加下划线来表示这个数

if there exists such a number

underline l such that for any ε positive

there are infinite many terms of the sequence Un

that are less than underline l plus ε

while only a finite number of terms

are less than underline l minus ε

也就是说我们总能找到

Un中的无穷多项 使得它们

比l下划线加ε要小

而只能找到有限多项

也就是说要么没有要么有

只有有限多个这样的元素

它比l下划线减ε要小

如果是这种情况下

我们就把l下划线叫做

这个序列的一个下极限

we call the number underline l

a limit inferior of the sequence Un

so it is written aslimit inf Un equals

l underline or underline limit Un equals l underline

类似的呢 我们还有这样的事情

if for any M positive

there are infinite many terms of Un

that are less than minus M

如果对任意的M大于0

总是存在Un中的无穷多项

使得它们比负M还要小

这个时候呢 我们就直接定义

limit inferior of Un equals

minus infinity

minus infinity or underline limit Un

equals minus infinity

这种情况下 我们就定义

什么叫做一个序列以负无穷

为它的下极限

同学们 可能自然会提一个问题

如果一个数列它是趋近于无穷的

不管它是趋近于正无穷还是负无穷

这种情况下它是不是

也有所谓的上极限下极限呢

好 我们回顾一下所谓无穷

请看 recall

if for each positive number M

we can find a positive number N

depending only on M such that

an is bigger than M for all n

bigger than N we write limit as n goes to infinity

an equals infinity

这就是以前我们定义的

所谓一个序列趋近于正无穷的情况

好了 我们下面有这样的注记

remark 1.3

if limit n goes to infinity Un equals infinity

如果一个序列

真的它的极限是正无穷的话

那么我们直接定义

we define limit sup Un

equals limit inf Un equals infinity

也就是说 我们直接定义

这样的序列它的上极限和下极限

都是正无穷

类似的我们有这样的定义

if limit as n goes to infinity Un

is negative infinity

如果某个序列它的极限是负无穷

这个时候 we define

limit sup Un equals limit inf Un equals negative infinity

也就是说

只要序列它的极限是无穷

则它的上极限 下极限

我们统统定义成无穷

如果序列是趋近于负无穷的

那么它的上极限 下极限呢

也统统定义成负无穷

同学们要注意下面

我们要讲的这个定理

它揭示了数列极限

与数列的上极限 下极限之间的关系

theorem 1.4

a sequence Un converges if and only if

一个序列Un是收敛的

当且仅当怎么样呢

limit sup Un equals limit inf Un

and is a finite number

也就是说 一个序列Un

是收敛的充分必要条件是

它的上极限和下极限相等

而且是一个有限的数

我们都知道 数列的极限

它不一定是存在的

但是呢 任何一个数列

它的上极限 下极限一定是存在的

因此呢 刚才这个定理就说明了

数列的极限在什么情况下是存在的

什么情况下是不存在的

我们把刚才的话重新总结一下

就是下面的注记 1.5

a sequence may not have a limit

but they must have a limit superior

and a limit inferior

一个数列它可以没有极限

但是它一定会有上极限

也一定会有下极限

which could be positive or negative infinity

这个上极限 下极限可以取到

正无穷或者负无穷

好的 我们看一个例子

we know that the sequence

1 -1 1 -1 ……is not convergent

我们知道这个序列1 -1 1 -1

这样的序列它是没有极限的

也就是说它是不收敛的

we can easily see that the limit superior

and the limit inferior of the sequence exist

they are one and minus one respectively

也就是说这个序列

尽管它没有真正的一个极限

但是 它有上极限和下极限存在

上极限 显然就是1

下极限显然是-1

好的 我们接下来 再多看几个例子

就能加深对我们刚才讲的

各种概念的理解了

请看example 2.1

consider the sequence

Un equals one over n plus one times sin n

这个序列 它的上极限 下极限是多少呢

we have that

limit superior of Un equals one

也就是说这个序列的上极限是1

and limit inferior of Un equals negative one

它的下极限 实际上是-1

these facts can be easily seen

from the figure below

我们下面看一个图

就能理解为什么了

好的请看这幅图

这幅图中 我们画出了这个序列

n分之一加1乘以 sin n

它的图像 也就在n从1到1000 之间

它的点列的情况

通过这幅图 我们就可以观察出来

它的上极限的确是1

它的下极限的确是-1

当然要严格证明这件事情

是需要一点努力的

希望同学们在课后自己试一下

好的我们再看一个稍微复杂一点的例子

example 2.2

在这个例子中

我们考虑这个序列是这样的

Un equals one over sin n

with absolute value

好了 看这个序列它的上下极限

分别是多少呢

实际上 我们可以看出来

它的上极限是正无穷

而下极限 是1

这件事情要严格证明起来

实际上不是那么简单的

好的 下面 我们用图

来粗略的解释一下

这个上极限为什么是正无穷

而下极限是1

请看我们画的这幅图

这幅图中 我们列出了

n从1到100的时候

这个序列的点列的情况

从图中 我们看出来

有的地方图像比较集中

有的地方点列稍微疏一些

好的 我们再看一个放大点的图像

这里 还是同样的图

只是我们把它集中到了

靠近y=1的地方

我们可以看到 有非常多的点

它是在y=1这条线之上

但是它依然非常地靠近这条线

通过这幅图我们就能够大概地理解为什么

the sequence one over sin n

has its limit inferior as 1

and limit superior as infinity

同学们 通过观察刚才这些例子

我想大概都能够理解

什么叫做上极限

什么叫做下极限了

这里 我们并不要求同学们

掌握严格的语言

用εN等等方法去证明上极限与下极限

是比较难的

同学们不必掌握那么深刻的内容

但是 有一个问题

在第一章 我们讲过

什么叫做上确界 什么叫做下确界

那么上极限和上确界是什么关系呢

下极限和下确界是什么关系呢

这倒是一个非常重要的问题

希望同学们

把这个作为一个重要的思考题

来自己探究一下

同学们 本讲我们重点学习了

数列的上极限与下极限

和第一章我们讲过的一个内容

也就是集合的上确界与下确界

相比而言

应该说数列的上极限与下极限

是更为复杂和难懂的内容

但是 如果同学们能够彻底明白

什么叫做数列的上极限与下极限的话

那么 将来我们学习过程中

再碰到任何的概念

都不会觉得有什么困难了

好了 本讲就到这里

下一讲 我们接着学习一些重要的定理

希望同学们提前预习一下

好的 同学们下堂课再见

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Chapter 1 Numbers and Sets 数域与集合 (first part)

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-Unit 2 Exponentiations, Logarithms and Sets (指数、对数与集合)

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--Exercise 1-2

-Unit 3 Limit Points, Open and Closed Sets (聚点、开集与闭集)

--Limit Points, Open and Closed Sets (聚点、开集与闭集)

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Chapter 1 Numbers and Sets 数域与集合 (second part)

-Unit 4 Bounds and Completeness (有界性与完备性)

--Bounds and Completeness (有界性与完备性)

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-Unit 5 Complex Number System, Algebraic and Transcendental Numbers (复数、代数数与超越数)

--Complex Number System, Algebraic and Transcendental Numbers (复数、代数数与超越数)

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-章节测验1

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Chapter 2 Sequence 数列 (first part)

-Unit 1 Limit of a Sequence (数列的极限)

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-Unit 3 Infinity and Bounded Monotone Sequences (无穷大和单调有界数列)

--Infinity and Bounded Monotone Sequences (无穷大和单调有界数列)

--Exercises-2-3

Chapter 2 Sequence 数列 (second part)

-Unit 4 Limit Superior and Limit Inferior (上极限和下极限)

--Limit Superior and Limit Inferior (上极限和下极限)

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Chapter 3 Functions, Limits and Continuity 函数，极限与连续性(first part)

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-- Algebraic Function,Transcendental Functions and Inverse Trigonometric Functions(代数函数，超越函数与反三角函数)

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-Unit 3 Hyperbolic Functions and Inverse Hyperbolic Functions (双曲函数与反双曲函数)

--Hyperbolic Functions and Inverse Hyperbolic Functions(双曲函数与反双曲函数)

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--Maximum and Minimum, Increasing and Decreasing (极大值与极小值，单调增与单调减)

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Chapter 3 Functions, Limits and Continuity 函数，极限与连续性(second part)

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Chapter 3 Functions, Limits and Continuity 函数，极限与连续性 (last part)

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--Theorems on Continuity (关于连续性的定理)

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-Unit 10 Piecewise Continuity, Uniform Continuity, and Discontinuities (分段连续性， 一致连续性与不连续性)

--Piecewise Continuity, Uniform Continuity, and Discontinuities (分段连续性， 一致连续性与不连续性)

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-Unit 11 Infinitesimals and Bounded Quantities (无穷小量与有界量)

--Infinitesimals and Bounded Quantities (无穷小量与有界量)

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--Basics of Derivatives (导数的基本定义)

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--Differentiability on Intervals, Piecewise Differentiability and Differentials (区间上的可微性，逐段可微性与微分)

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-Unit 3 Basic Methods of Differentiation (基本求导方法)

--Basic Methods of Differentiation (基本求导方法)

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Chapter 4 Derivatives 导数 (second part)

-Unit 4 Derivatives of Commonly Used Functions (常见函数求导)

--Derivatives of Commonly Used Functions (常见函数求导)

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--Higher Order Derivatives and Mean Value Theorem (高阶导数与中值定理)

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-- L'Hospital's Rules (洛必达法则)

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Chapter 4 Derivatives 导数 (last part)

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--The First and Second Derivative Tests (导数判别法)

-Unit 8 The Taylor Formula (泰勒公式)

--The Taylor Formula (泰勒公式)

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Chapter 5 Integrals 积分(first part)

-Unit 1 Definite Integrals and Numerical Methods (定积分与数值方法)

-- Definite Integrals and Numerical Methods (定积分与数值方法)

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--Integrals of Elementary Functions and Integration by Substitution (初等函数的积分，换元法)

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--Integration by Parts and Special Techniques(分部积分法与特殊技巧)

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Chapter 5 Integrals 积分(second part)

-Unit 5 Integrations of Rational Fractions and Trigonometrical Rational Functions(有理分式函数与三角有理函数的积分)

-- Integrations of Rational Fractions and Trigonometrical Rational Functions(有理分式函数与三角有理函数的积分)

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-Unit 6 Arc Length(弧长)

--Arc Length(弧长)

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--Areas and Volumes(面积与体积)

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课程讲义

-课程讲义

Limit Superior and Limit Inferior (上极限和下极限)笔记与讨论

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