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Theorems on Limits of Sequences (数列极限定理)在线视频

Theorems on Limits of Sequences (数列极限定理)

下一节:Infinity and Bounded Monotone Sequences (无穷大和单调有界数列)

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Theorems on Limits of Sequences (数列极限定理)课程教案、知识点、字幕

同学们 你们好

欢迎来到 mooc在线课程微积分

在上一讲中我们学习了

什么是数列的极限 还记得吗

我们用的是εN这样的语言

那么该如何具体的求出

一个数列的极限的

这就是我们今天的内容

我们将学习与数列极限有关的

很多定理

利用这些定理

我们就可以通过

已知的简单的极限

来求出未知的复杂的极限

好的 让我们现在就开始吧

Chapter Two sequences数列

Unit Two Theorems on Limits of Sequences

数列极限的定理

Section One Theorems on Limits of Sequences

数列极限的定理

同学们 上一单元

我们已经引入了 什么叫做极限

我们把极限 不妨看作一个特殊的数

对这个特殊的数

就像实数一样 我们也可以操作

加减乘除 等等运算

好了 我们看一下极限

极限对加减乘除 有怎样的性质

我们假设有两个极限

第一个是

limit as n goes to infinity an equals big A

第一个极限

是当 n趋近于无穷的时候

小an它的极限用大A来表示

另一个是当n趋近于无穷的时候

bn它的极限 我们用大B来表示

好了 对这两个极限

我们可以有以下的操作

then limit as n goes to infinity an plus bn

什么意思呢

就是说 我们把这个序列

取成 an 加 bn

那么这个新的序列

它的极限是多少呢

事实上 它就会等于

limit as n goes to infinity an

plus limit as n goes to infinity of bn

也就是A加B

整个这句话 可以这样说

就是说 序列加法的极限

等于序列极限的加法

类似地呢 我们有第二个事情

就是limit as n goes to infinity

an minus bn 它呢 会等于

limit as n goes to infinity an

minus limit as n goes to infinity bn

which is exact A minus B

第二句话 也可以这样解释 就是

两个序列的差

所构成的新的序列的极限

等于原来两个序列的极限的差

好 我们接着看 第三个

limit as n goes to infinity an times bn

序列相乘构成新的数列

那么 这个新的数列

它的极限是多少呢

实际上 类似于刚才两条

它就会变成

limit as n goes to infinity an times

limit as n goes to infinity of bn

也就是A乘B

简而言之 也就是乘法的极限

等于极限的乘法

讲到这 有的同学可能马上会想到

那是不是序列的商的极限

就是极限的商呢

应该说 大部分情况下 都对

但是要小心分母是不是会等于0的情况

严格的讲 就是这样子

If the limit of bn as n goes to Infinity which is B

如果 它不等于0的话

那么刚才说的事情是对的

也就是 the limit of an divided by bn

序列商的极限就会等于极限的商

也就是A除以B

但是 如果B等于0的话

这件事情一定是不对的

同学们要特别的小心

if B is zero and a is not zero

then the limit of an over bn does not exist

也就是说如果极限B是等于0的

而A又不等于0

那么 an除以 bn 这新的序列的极限

一定是不存在的

如果B等于0 A也等于0

这个时候an除以bn这个序列的极限

有可能存在 也有可能不存在

这种情况通常是比较复杂的

we usually call this situation

the zero over zero type limit

把这种情况的极限

我们通常叫做0比0型的极限

实际上这是我们微积分中

重点要研究的极限类型

好的 我们接着看

suppose that a is not zero

这个时候 我们有下面的事情

limit as n goes to infinity

an to the p-th power

整个 这个极限呢

它会等于原来极限

也就是limit as n goes to infinity of an

然后 整体取p次幂

也就是A的p次幂

那么 这句话

我们可以这样简而言之

就是 P次幂的极限

等于极限的p次幂

where p is any real number

and A to the p-th power exists

只要大A的p次幂

这个数是真实存在的

上面这个事情就是对的

好 接下来 还有一个重要的事情

我们来看一下 就是

limit as n goes to infinity

p to the an-th power

这个极限呢 它会等于

p to the limit of n goes to infinity of an

也就是p的A次幂

只要p的 A次幂是存在的

同学们可以看到

刚才我们讲到的这些

极限的运算法则非常的简单

也比较自然

同学们接受起来应该没有什么困难

但是 我们还是要注意

其中一些要特别注意的地方

比如说 分母极限会不会是0

指数和幂运算的时候

结果是不是有意义等等

Section Two Examples 例子

好的 我们下面看一些具体的例子

example 2.1

limit as n goes to infinity

three n square minus five n

over five n square plus two n minus six

这个式子看起来很复杂

也就是说序列本身定义挺复杂的

那么它的极限是多少呢

我们要做一个简单的变形

就能看出来了

上下分子分母同除以n的平方

于是整个这个序列就变成了

3减去5除以n

分母是 5加上n分之二

减去n平方分之六

这个时候我们注意到

当n越来越大的时候

n分之五 n分之二 n平方分之六

等等 这些数会越来越小 越来越小

根据上述讲的极限的运算法则

我们可以把 极限符号分别取进去

那么最后的结果就是五分之三

同学们刚才这个例子

我们已经看到

对于这种分子除分母这种形式的极限

通常就是把分子分母分别

除一个同类项 然后再 观察结果

利用极限运算的法则

就可以看出最后的结果了

这个方法比较简单

同学们课后做几个练习

就会熟练掌握了

好的 我们再看一个例子

example 2.2

limit as n goes to infinity

square root n plus one minus

square root n 这个呢

它不是分子除分母这种形式

那么我们能不能看出它的极限呢

其实很简单 只要做一下变形

好的 我们看怎么变

我们乘一个1 也就是

跟号下n加1加根号n再除以

跟号下n加1再加根号n

那么我们就可以把它变成另外的模样了

也就是 limit as n goes to infinity

one over square root n plus one

plus square root of n

这个时候我们看出来了

分子是固定的 分母呢

两项分别趋近于无穷

那么 这个时候我们就看出来

它的极限结果一定是0了

同学们 刚才这个例子中

我们用到的方法叫做 有理化

我们做的是分子有理化

有的时候我们需要做分母有理化

这种方法也是非常重要的方法

同学们要多做几个练习

就会熟练掌握了

好 我们再看一个例子

limit as n goes to infinity

three n square plus four n over two n minus one

这个呢 是分式的形状

我们还是跟前边类似的方法

来做一下变形

上下同除以n平方

那么 它会变成

3加上n分之四 除以n分之二

减去n平方分之一

这个时候 如果我们取极限的话

分母就会变成0

而 分子 极限是3 不是0

于是我们就直接断定

这个极限它一定不存在

since the limits of the numerator

and the denominator are three and zero

respectively the limit does not exist

好 我们再看一个例子

example 2.4

limit as n goes to infinity

one over n square over one over n

这个结果是多少呢

我们还是要变形一下

它实际上就是1除以n的极限

当然结果是0

再比如 如果我们把n分之一

放在分子的位置

而n平方分之一放在分母的位置

那么它呢相当于

n趋近于无穷的时候 n的极限

而这个极限呢 是趋近于无穷的

现在我们用这样一个无穷的符号

暂时表征这个结果

其实这个结果告诉我们

它呢 是一个发散的数列

同学们 在第二个式子中

我们有这样的记号

也就是一个极限等于无穷

the meaning of limit of something equals infinity

will be explained in the next unit

下个单元我们再详细解释

一个极限等于无穷是什么含义

现在 我们只需要记住

一个极限等于无穷

它并不表示极限存在

它真实的含义是表示

序列是一个趋近于无穷大的无界序列

另外 我们看到刚才这个例子

实际上已经说明了

0比0型的极限

它有的时候会存在

有的时候不存在

so the limit may or may not exist

好的 我们再看一个例子

example 2.5

limit of two n minus three

over three n plus seven

and then to the fourth power

这个序列 它既有分式的除法

然后 还有取幂

那么 我们根据前面讲过的

取极限的运算法则

我们把它分解成两步

第一步 就是先求里面的极限

也就是 把里面

2n减3除以 3n加7给它换成

two minus three over n

over three plus seven over n 这个序列

先取极限 取完极限之后呢

然后再取4次幂

我们看到 里面的极限

实际上就是三分之二 再去4次幂

这就是整个的极限

也就是八十一分之十六

同学们 以上就是本讲的全部内容

在这一讲中 我们学习了

极限的基本性质和定理

希望同学们在课后

结合本堂课的例题

和课后习题来加深学习和体会

另外 在这一堂课中

我们碰到了 一个序列

趋向于无穷大 这么一种特别的情况

到底无穷大是如何定义的呢

它又有什么意义呢

这是我们下一堂课所要探讨的内容

好的 同学们 我们下一堂课再见

微积分-1课程列表：

Chapter 1 Numbers and Sets 数域与集合 (first part)

-Unit 1 Review of Real Numbers (回顾实数)

--Review of Real Numbers (回顾实数)

--Exercise1-1

-Unit 2 Exponentiations, Logarithms and Sets (指数、对数与集合)

--Exponentiations, Logarithms and Sets (指数、对数与集合)

--Exercise 1-2

-Unit 3 Limit Points, Open and Closed Sets (聚点、开集与闭集)

--Limit Points, Open and Closed Sets (聚点、开集与闭集)

--Exercise-1-3

Chapter 1 Numbers and Sets 数域与集合 (second part)

-Unit 4 Bounds and Completeness (有界性与完备性)

--Bounds and Completeness (有界性与完备性)

--Exercises-1-4

-Unit 5 Complex Number System, Algebraic and Transcendental Numbers (复数、代数数与超越数)

--Complex Number System, Algebraic and Transcendental Numbers (复数、代数数与超越数)

--Exercise-1-5

-章节测验1

--章节测试1

Chapter 2 Sequence 数列 (first part)

-Unit 1 Limit of a Sequence (数列的极限)

--Limit of a Sequence (数列的极限)

--Exercises-2-1

-Unit 2 Theorems on Limits of Sequences (数列极限定理)

--Theorems on Limits of Sequences (数列极限定理)

--Exercises-2-2

-Unit 3 Infinity and Bounded Monotone Sequences (无穷大和单调有界数列)

--Infinity and Bounded Monotone Sequences (无穷大和单调有界数列)

--Exercises-2-3

Chapter 2 Sequence 数列 (second part)

-Unit 4 Limit Superior and Limit Inferior (上极限和下极限)

--Limit Superior and Limit Inferior (上极限和下极限)

--Exercises-2-4

-Unit 5 Nested Intervals Theorem and Cauchy’s Convergence Criterion (区间套定理和柯西收敛准则)

--Nested Intervals Theorem and Cauchy’s Convergence Criterion (区间套定理和柯西收敛准则)

--Exercises-2-5

-章节测验2

--章节测试2

Chapter 3 Functions, Limits and Continuity 函数，极限与连续性(first part)

-Unit 1 Functions and Graphs (函数与图像)

--Functions and Graphs (函数与图像)

--Exercises-3-1

-Unit 2 Algebraic Function,Transcendental Functions and Inverse Trigonometric Functions (代数函数，超越函数与反三

-- Algebraic Function,Transcendental Functions and Inverse Trigonometric Functions(代数函数，超越函数与反三角函数)

--Exercises-3-2

-Unit 3 Hyperbolic Functions and Inverse Hyperbolic Functions (双曲函数与反双曲函数)

--Hyperbolic Functions and Inverse Hyperbolic Functions(双曲函数与反双曲函数)

--Exercises-3-3

-Unit 4 Maximum and Minimum, Increasing and Decreasing (极大值与极小值，单调增与单调减)

--Maximum and Minimum, Increasing and Decreasing (极大值与极小值，单调增与单调减)

--Exercises-3-4

Chapter 3 Functions, Limits and Continuity 函数，极限与连续性(second part)

-Unit 5 Limits of Functions (函数的极限)

--Limits of Functions(函数的极限)

--Exercises-3-5

-Unit 6 Infinity (无穷)

--Infinity (无穷)

--Exercises-3-6

-Unit 7 Theorems on Limits and Special Limits (极限相关定理与特殊极限)

--Theorems on Limits and Special Limits (极限相关定理与特殊极限)

--Exercises-3-7

Chapter 3 Functions, Limits and Continuity 函数，极限与连续性 (last part)

-Unit 8 Continuities (连续性)

--Continuity (连续性)

--Exercises-3-8

-Unit 9 Theorems on Continuity (关于连续性的定理)

--Theorems on Continuity (关于连续性的定理)

--Exercises-3-9

-Unit 10 Piecewise Continuity, Uniform Continuity, and Discontinuities (分段连续性， 一致连续性与不连续性)

--Piecewise Continuity, Uniform Continuity, and Discontinuities (分段连续性， 一致连续性与不连续性)

--Exercises-3-10

-Unit 11 Infinitesimals and Bounded Quantities (无穷小量与有界量)

--Infinitesimals and Bounded Quantities (无穷小量与有界量)

--Exercises-3-11

-章节测验3

--章节测试 3

Chapter 4 Derivatives 导数 (first part)

-Unit 1 Basics of Derivatives (导数基本定义)

--Basics of Derivatives (导数的基本定义)

--Exercise-4-1

-Unit 2 Differentiability on Intervals, Piecewise Differentiability and Differentials (区间上的可微性，逐段可微性与

--Differentiability on Intervals, Piecewise Differentiability and Differentials (区间上的可微性，逐段可微性与微分)

--Exercise-4-2

-Unit 3 Basic Methods of Differentiation (基本求导方法)

--Basic Methods of Differentiation (基本求导方法)

--Exercise-4-3

Chapter 4 Derivatives 导数 (second part)

-Unit 4 Derivatives of Commonly Used Functions (常见函数求导)

--Derivatives of Commonly Used Functions (常见函数求导)

--Exercise-4-4

-Unit 5 Higher Order Derivatives and Mean Value Theorem (高阶导数与中值定理)

--Higher Order Derivatives and Mean Value Theorem (高阶导数与中值定理)

--Exercise-4-5

-Unit 6 L'Hospital's Rules (洛必达法则)

-- L'Hospital's Rules (洛必达法则)

--Exercise-4-6

Chapter 4 Derivatives 导数 (last part)

-Unit 7 The First and Second Derivative Tests (导数判别法)

--The First and Second Derivative Tests (导数判别法)

-Unit 8 The Taylor Formula (泰勒公式)

--The Taylor Formula (泰勒公式)

--Exercise-4-8

-章节测验 4

--章节测试4

Chapter 5 Integrals 积分(first part)

-Unit 1 Definite Integrals and Numerical Methods (定积分与数值方法)

-- Definite Integrals and Numerical Methods (定积分与数值方法)

- Exercise 5-1

-Unit 2 Properties of the Definite Integrals and the Fundamental Theorem of Calculus (定积分的性质与微积分基本定理)

--Properties of the Definite Integrals and the Fundamental Theorem of Calculus (定积分的性质与微积分基本定理)

--Exercise-5-2

-Unit 3 Integrals of Elementary Functions and Integration by Substitution (初等函数的积分，换元法)

--Integrals of Elementary Functions and Integration by Substitution (初等函数的积分，换元法)

--Exercise-5-3

-Unit 4 Integration by Parts and Special Techniques(分部积分法与特殊技巧)

--Integration by Parts and Special Techniques(分部积分法与特殊技巧)

--Exercise-5-4

Chapter 5 Integrals 积分(second part)

-Unit 5 Integrations of Rational Fractions and Trigonometrical Rational Functions(有理分式函数与三角有理函数的积分)

-- Integrations of Rational Fractions and Trigonometrical Rational Functions(有理分式函数与三角有理函数的积分)

--Exercise-5-5

-Unit 6 Arc Length(弧长)

--Arc Length(弧长)

--Exercise-5-6

-Unit 7 Areas and Volumes(面积与体积)

--Areas and Volumes(面积与体积)

--Exercise-5-7

-章节测验5

--章节测试5

课程讲义

-课程讲义

Theorems on Limits of Sequences (数列极限定理)笔记与讨论

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