Basic Methods of Differentiation (基本求导方法)在线视频

同学们 你们好

欢迎来到mooc在线课程微积分

前两堂课呢 我们已经学习了

导数与微分

我们定义导数与微分的方式呢

是取极限

所以计算起来非常的复杂

现在呢 我们就要研究

快捷的计算导数的方法

我们的出发点是一个

非常重要的导数表

以及几个非常重要的求导法则

这部分的内容非常的重要

我们要求同学们一定要牢记于心

好的 下面我们就从

基本的导数表讲起

Chapter 4 Derivatives 导数

Unit 3 Basic Methods of Differentiation

基本求导方法

Section 1 Derivatives of Elementary Functions

初等函数求导

同学们 前面我们学习了

导数的定义 接下来 我们要

试图求出导数

我们面对的函数可能很复杂

但是我们往往是从

最简单的函数出发

来求出复杂函数的导数

接下来 我们就要讲一些

基本的初等的 函数的导数公式

希望同学们把这些公式牢牢记住

in the following we assume that

C and a are constants

在下面的公式中 凡是出现的

大C和小a都是一些常数

第一个公式

d dx of C is zero

常数的导数为0

这个原因很简单

因为常数函数没有变化

所以它的变化率为0

再看 d dx of x to the nth power

is n times x to the n minus one

x n 次方的导数是

n倍的x n-1次方

这个公式推导其实很简单

只要用一下我们常见的

多项式公式就可以了

建议同学们在课后

自己推导一下

我们这里就不重复了

再看 d dx sin x

equals cos x

这个公式 我们上节课推导过

再看 d dx cos x

equals minus sin x

cos x 的导数是负的sin x

这个公式我们前面没有推导过

但是它的推导和我们上节课

推导sin x 的导数的过程非常相似

同学们可以自己模仿一下

好 再看 d dx log x to the base a

equals log of e to the base a over x

这就是 log x 以a为底的

log函数的导数公式

这个推导非常类似

我们上节课 ln x 的推导过程

这里我们就省略了

当然要注意这里的底数a

是一个大于0的数

and a is not one

好 我们接着看

d dx ln x is one over x

这个 我们上节课推导过

再看 d dx a to the x-th power

is a to the x times ln of a

这个公式的推导其实不难

只要充分利用指数函数的性质

就可以了 还是要注意

这里的a是一个大于0的数

我们再往下看

d dx e to the x-th power is

e to the x-th power

这个公式就是上面这个公式中

把a取成e的结果

也就是说 e的x次幂这个函数

它的导数不是别的就是它自身

这是一个非常重要的性质

上面个我们给出了

这些基本的公式

其中有些证明同学们课后

一定要自己推导一下

我建议同学们一定要牢牢记住

这些基本的求导数公式

Section Two

Rules for Differentiation

求导法则

同学们 我们刚才已经学过了一些

初等的函数的导数公式

接下来 为了求出一些

复杂函数的导数公式

我们需要使用一些求导法则

这就是我们下面要学习的重点

assume that f g and h are

differentiable functions

假设我们现在有三个可微函数

它们是f g h

then we have the following rules

of differentiation

我们有下面的求导法则

我们来逐条解释

第一条the derivative of f(x)

plus g(x) is the derivative of f(x)

plus the derivative of g(x)

exactly is f prime plus g prime

也就是说

函数的和的导数就是导数的和

我们把它叫做 addition rule

类似地 也有减法的法则

也就是说 the derivative of

f minus g is the derivative of f

minus the derivative of g

也就是 f prime minus g prime

这就是 subtraction rule

这两条 非常的简单

甚至我们可以直接

用定义来证明它

我们再看一条

d dx C times f(x) equals

C d dx f(x) is exactly C times

f prime of x

当然这里的C是一个常数

什么意思呢 是说

f的常数倍的导数就是

常数倍的f的导数

以上这三条合起来

相当于是说 导数这个运算

具有线性的性质

好的 下一条 非常重要

我们要考虑

d over dx of f(x) times g(x)

f和g的乘积函数的导数

它的结果呢 实际上是这样的

它等于 f(x) times d dx of g(x)

plus g(x) times d dx of f(x)

也就是说 f times g prime

plus g times f prime

我们解释一下 整个这个公式是说

f乘以g的导数 等于 f乘以

g的导数 再加上g乘以f的导数

这条公式 同学们可能以前没有接触过

这一条公式

是导数的一个非常独特的特性

同学们一定要牢牢记住

这条呢 英语中叫做 product rule

乘法法则 它非常的重要

接下来 我们再看一条

重要的法则

就是f除以g的导数等于多少

d dx of f over g

它的公式是这样的

it equals to g(x) times the derivative

of f minus f times the derivative of g

over g square

这条公式比刚才的乘法公式

还要复杂 但是呢 也是能够记住的

整体而言它就是说

f除以g的导数等于

g乘以f的导数减去

f乘以g的导数

再除以g的平方

这就是所谓的 quotient rule

当然这里面我们要求

g处处不等于0 quotient rule

也是需要同学们牢牢记住的

以上我们讲了初等函数通过

四则运算组合在一起以后的

求导法则 其实呢 这还没完

还有一条非常重要的法则

叫做链式法则

这就是我们下面要讲的

chain rule 链式法则

它说 if y equals f(u) where

u equals g(x) 什么意思呢

如果y是u的函数

而u又是x的函数

那么合起来说 y就是x的函数

也就是复合函数了

对这样的复合函数

我们有下面的公式

y作为x的函数的导数

也就是dy over dx is

dy with respect to du times

du with respect to dx

什么意思呢 就是y关于x的导数

实际上是y关于u的导数

乘以u关于x的导数

好 这个公式 也可以写做

f prime u times du over dx

因为前面的公式中

dy over du 它就是f prime at u

当然这个式子

如果还原成x的形式

我们要把u完全代成x

总之y作为x的函数

它的导数结果是

f prime 带入g(x) 乘以

g prime at x

这就是所谓的链式法则

类似的我们还有

如果y是u的函数

u又是v的函数

而v才是x的函数

复合了三次 那么

y关于x的函数的导数

等于多少呢

dy over dx is in fact the product

of three things 是三项的乘积

第一项是y关于u的导数

第二项是u关于v的导数

第三项是v关于x的导数

当然这个公式 同学们

可以把它具体写开

接下来 我们看一个 具体的例子

example we take u equals f(x)

equals x cubed and y equals g(u)

equals sin u then y as a function of x

y作为x的函数

就是复合函数 也就是 sinx三次方

好了 它的导数是多少呢

按照刚才链式法则

我们可以计算出来

dy over dx is take derivative of

sin x cubed with respect to x

is the product of two things

它是两项的乘积

这里呢 第一项实际上是

y关于u的导数 第二项呢

实际上是 u关于x的导数

当然最后我们都把x带入了

刚才我们讲了链式法则

与链式法则 紧密相关的

就是我们下面要讲的

反函数的求导法则和

含参变量函数的求导法则

首先我们讲一下

derivatives of inverse functions

反函数的求导

if y equals f(x) and x equals

f inverse y 就是说

假设y是x的函数

而x又可以反写成y的函数

那么这个时候我们可以求出

x关于y的导数 then

dy over dx and dx over dy

they are related 也就是说

y关于x的导数和

x关于y的导数

实际上是有关系的

也就是下面我们写的公式

dy over dx equals one over

dx over dy 这个公式的意思是说

y关于x的导数等于

x关于y的导数分之一

这也是一个非常重要的公式

接下来 我们看一下

关于参变量函数的导数

derivatives of parameterized functions

if x equals f(t) and y equals g(t)

也就是说x和y这两个量都是

依赖于t的变量 而通过消参

假设我们解出来y equals y(x)

这个时候 实际上我们有三个函数了

这三个函数的导数有什么联系呢

这就是下面我们要讲的公式

then dy over dx is dy over dt

divided by dx over dt

也可以写成g’(t)除以f’(t)

只要 f’(t)处处不等于0

这个公式什么意思呢

我们来解释一下

它的整个意思是说

y关于x的导数实际上是

y关于t的导数除以

x关于t的导数

这就是含参变量函数的求导公式

上面我们讲的这些公式

我们没有给出严格的证明

但是呢 实质上非常容易理解

只要dy和dx 真的看成一个量

就可以了 接下来

我们来看一些具体的例子

来使用刚才这些法则求导数

好 我们先看一个例子

example 2.2

这个例子我们要展示

product rule 乘法法则 请看

d dx of x times sin x

它的结果是多少呢

它等于x times d dx sin x

plus sin x d dx of x

好了 进一步计算

我们知道sin x的导数是cos x

而x的导数

根据我们前面讲的公式

它就是1 因此呢

整个这个结果是

x乘以cos x 加 sin x

接下来 我们再看一个例子

这个例子我们要展示 如何使用

quotient rule 除法法则

请看 我们求导的导数是 tan x

要想求出 tan x 的导数

我们直接用除法的公式

因为 tan x 它是

sin x 除以 cos x 的样子

好了 我们应用一下quotient rule

得到以下这个公式

这个公式中我们还是有几项的导数

没有求出来 只要把它们

用前面我们讲过的

基本函数的导数公式带入

就可以得到结果了

这就是 我们最后的结果

同学们一定要仔细的

推敲一下这里的过程

同学们 我们再看一个例子

这个例子中 我们要使用链式法则

请看 we take y equals sin z

and z equals at and x equals

e to the t-th power

这里面的变量关系

我们要辨识一下

y是z的函数 z是t的函数

当然这里头有个a 它是常数

x也是t的函数

但是同时呢 通过x=et

也可以把t解成x的函数

总之如果我们全部带入的话

会得到y 是x的函数

好 接下来 我们找一下

dy 除以dt 也就是

y关于x的导数是多少

这里 我们先不要着急使用

链式法则

根据前面的这些函数关系

首先我们看出来

y是t的函数 x也是t的函数

于是 我们可以先用

参数求导的方法

也就是 dy over dx is in fact

y prime of t over x prime of t

也就是y关于t的导数

除以x关于t的导数

再进一步 我们可以往下走

好了 刚才这一步 其中

因为x和t的关系是知道的

所以刚才的分母 已经算出来了

而分子dy over dt

我们再使用链式法则

这就是我们看到

屏幕中写的最后一项

也就是说要求dy关于dt的导数

那么我们先求dy关于z的导数

再求z关于t的导数 好了

进一步我们可以算出全部结果了

也就是 它等于 one over e to the t

times cos z times a 其中cos z

来自于y关于z的导数

而a来自于z关于t的导数

最后合并一下就是

这样最后的结果

接下来 我们看一个例子

求一下 derivatives of inverse functions

关于反函数的导数

我们的example 是这样给出的

d dx of arcsin x

反正弦函数的导数是多少

当然我们知道正弦函数

和反正弦函数的关系

因此我们就直接使用

反函数求导的法则

好的 我们取 y equals arcsin x

这个时候呢 x 其实也是y的函数

我们来求d dx arcsin x

按照前面所讲的公式

它等于dy over dx

x就是sin y 好了 进一步

它就等于one over d sin y over dy

这个时候我们就可以求出来了

它等于one over cos y

最后别忘了 把y要带回去

于是它等于

one over square root

one minus sin square y and

then equals one over square

root one minus x square

注意最后一步

我们要换成x的时候

我们用了一个

简单的三角恒等式

否则的话 我们换回x

是比较困难的

刚才这个例子中

我们求了反三角函数的导数

这个公式也是非常有用的公式

希望同学们能够充分的理解

后面我们还要反复

使用这样的方法

接下来 我们再看一个例子

这个例子中要使用

derivatives of parameterized functions

其实刚才那个简单例子中

我们已经用过了

我们看一个稍微复杂的例子

here is the example

find dy over dx equals how much

where y equals sin t square and

x equals one plus square root of t

我们给出了y和x关于t的方程

好了 要找出 dy over dx

it equals to by the formula of

derivatives of parameterized functions

it equals to this thing

现在我们这个公式中

分子上是y关于t的导数

分母是x关于t的导数

好了直接使用 我们前面

学过的一些求导公式

我们就可以把它算出来

当然这里的计算细节

我们就不重复了

总之 我们可以得到最后的结果

希望同学们在课后

补齐其中的一些细节

Section Three

Implicit Differentiation

隐函数的微分

同学们前面我们已经讲了

几个基本的求导公式

还有基本的求导法则

使用这些 我们可以求出来

比较复杂的函数的导数来

但是有一类函数

它没有显示的表达

它实际上是某些方程的解

这种函数叫做隐函数

下面我们就讲一下

对这种特殊的隐函数

该怎么求它的导数

首先 我们来讲一下什么是隐函数

some times the function

y equals y(x) cannot be expressed

as a function of x explicitly

有的时候 这个函数

它无法显式表达

instead the relation between y

and x is hidden in an equation

什么意思呢 意思是说

y和x 的函数关系

是隐藏在 某个等式之中的

也就是通过方程来求解它

in such a case we cannot get

the differentiation of y directly

因为y没有关于x的显式表达

我们不能够直接求导

我们该怎么办呢

however we can still use

the chain rule to get dy over dx

实际上 我们还是可以使用

链式法则去求出y关于x的导数

好了我们来具体的讲一下

什么叫做implicit differentiation

consider the equation

R(x,y) equals zero

假设现在有一个方程

这个方程其中隐藏了两个变量

x和y 通过R(x,y) equals zero

这么一个方程 我们想象

y解成了关于x的函数

assume that y can be solved

as a function of x then

the differentiation of y

with respect to x can be found

也就是说 这个时候我们可以

找出y关于x的导数了

怎么找呢 by applying d dx to

bides of R(x,y) equals zero

也就是说 对这个方程

R(x,y)=0 的两侧同时使用求导

关于x的导数 也就是d dx

我们会得到 dR over dx plus

dR over dy times dy over dx

equals zero 通过这个方程

我们从中就可以解出

dy over dx 请看 from

these equation one can solve for dy

over dx exactly that is

the derivative of y with respect to x

注意解出结果 一定同时包含了

x和y 这个方法就是所谓的

隐函数微分或者称隐函数求导法

implicit differentiation

上面这个方法的关键

就是要把y看成x的函数

然后使用链式法则

下面 我们来看两个例子

consider R(x,y) equals x square

plus four x y to the fifth power

plus seven x y plus eight

equals zero

这个方程 要想解出

y跟x的关系 几乎是不可能的

因为这个方程的次数非常的高

好了 我们来求一下 dy over dx

首先 对刚才这个式子两边

同时求d dx 会得到什么呢

首先我们看一下

这个d dx作用在R(x,y)上

会等于什么

现在屏幕上给出来的结果

就是我们直接使用求导的公式

得到的结果 这里很多的细节计算

同学们一定要在课后

自己把它补充出来

总之这里已经算出来了这个结果

我们让它等于0

这样就可以求解方程了

好的 接下来 根据这个关系式

我们来求出dy over dx

把刚才这个式子整理一下

变成 we have this equation

twenty x y to the fourth power

plus seven x times dy over dx

equals minus two x plus four y

fifth plus seven y

从这个等式中 我们马上求出

dy over dx dy over dx equals

minus two x plus four y fifth

plus seven y over twenty x

y to the fourth plus seven x

注意这个最后的结果中

既包含了x又包含了y

这就是通常隐函数求导的结果

我们再看一个例子

consider R(x,y) equals

sin y time cos x minus one equals zero

and we should find dy over dx

这个方程中 也是无法显式地求出

y与x的函数关系的

因此 只能用隐函数求导法

好的 我们还是用刚才的方法

直接求 这个公式等于多少

这个式子的结果我们就不重复了

直接使用前面我们讲过的

三角函数的基本求导式

就可以得到下面的式子

好了 令这个式子等于0

我们马上可以解出

dy over dx which is

tan x times tan y

好的 以上就是这一讲的全部内容

在这一讲中我们学习了

一个基本的导数表

以及几个重要的求导法则

它们是线性法则 乘法法则

除法法则 复合函数求导

也就是链式法则

以及隐函数求导 等等

到此 我们已经掌握了求导的基本要素

有了这些知识 我们就可以求出一些

复杂的函数的导数了

那么下节课 我们就把一些

常见的复杂函数的导数呢

全部求出来

好的 我们下节课再见