当前课程知识点：微积分-1 > Chapter 5 Integrals 积分(second part) > Unit 6 Arc Length(弧长) > Arc Length(弧长)
同学们 你们好
欢迎来到mooc在线课程微积分
截至目前呢 我们已经学过了
定积分的定义 性质 计算公式
运算技巧等等
在接下来的几堂课呢
我们就来学习定积分的重要应用
这节课我们就来看一下
如何使用定积分来计算曲线的弧长
提到弧长同学们并不觉得陌生
因为在中学的时候呢我们已经知道
怎么求直线与圆弧的长度
对一般的曲线而言呢
我们不知道该怎么计算
现在我们有了微积分的工具
就可以给出一般曲线弧长的公式
好的 下面我们就用
微积分的思想和方法
来推导一下求曲线弧长的公式
Chapter 5 Integrals 积分
Unit 6 Arc Length 弧长
Unit 6 Arc Length 弧长
我们先讲一下参数方程
所描述的曲线的弧长公式
我们要简单推导一下这个公式
首先看一下什么是
参数方程的曲线
请看 definition one
we say that x equals f(t) y equals
g(t) where t goes from a to b
is the parametric representation of
a curve C C contained in R two plane
这句话什么意思呢
就是说我们把这种形式的方程
叫做参数方程
它就是 x等于f(t) y等于g(t)
而其中t是有范围的从a跑到b
当t从a跑到b的过程中
x和y 这当然是关于t的函数了
以x y为坐标的点
所扫过的那条曲线
就叫做一个参数曲线
当然这里对f g是有要求的
if f and g are differentiable on
the closed interval a to b and
their derivatives do not
simultaneously vanish at any points
什么意思呢 意思就是说
一个参数方程
所描绘的曲线把它叫做
parametric representation of a curve
参数曲线 如果这两个坐标分量
就是f和g作为t的函数
是可微的而且处处导数非零
这个非零的意思是说
f和g不能同时为0
明白了什么叫做参数曲线
下面我们就要找参数曲线的长度
也就是弧长
对于直线我们都知道
怎么算它的长度
那弯曲的曲线该怎么计算呢
似乎看上去比较复杂
我们还是要回到原来积分的思想
把曲线划分成很多小段
每一段用直线来代替
也就是说我们找一段折线
这段折线的长度我们可以算出来
它就可以作为弧长的近似值
然后只要我们取的这个折线的折
足够的多也就是说它足够的精细
那么折线的长度的极限
就是弧长了
好的下面我们把这一段思想
实现出来
the arc length of a curve is obtained
as the limit of a sequence of poly-line
approximations
折线逼近
the poly-line approximation are
characterized by the number of
divisions n goes to infinity
这就是我们刚才思想的总结
用折线来逼近曲线
只要这个曲线的划分n足够的大
那么它的极限就是
我们要找的弧长
see the figure below
好的 我们下面用一个图
来再解释一下
请看
现在我们画了一段曲线
在这段曲线上我们取了
1 2 3 4 5 5个点实际上相当于把
这段弧画成了4段
每一段都用直线来代替
那么就有了一个折线段
这段折线段的长度
就和曲线的真实长度比较接近了
只要我们取的段数足够多
那么总的折线段长度
就会趋向于我们要找的弧线之长
我们接下来把刚才的思想
用一些符号标记一下
现在我们面对的
就是一段参数曲线
我们把这段参数曲线
中的参变量也就是t
从a到b这个过程呢
划分成n段
相应的在这个曲线上
就对应了n加1个点
包括了起点和端点
起点是x0 y0 最终的点是xn和yn
而两两相连就会得到n段直线
这n段直线就是xi yi 到x i+1 y i+1的
连接线段那么每一个
这种小的连接线段
也就是折线段的一部分
它都是某一个
直角三角形的一个斜边
而这个直角三角形对应的
横坐标也就是底边的长度是delta xk
而纵坐标对应的长度是delta yk
待会我们还要明确一下
这两个符号 好的
这样的话我们知道怎么求
这些折线段的长度之和了
下面我们把这个思想
具体的实现一下 请看
L equals the limit as n goes to infinity
只要n取的足够的大
L就是刚才这些线段和的极限
那么每一段线段的长度
它是一个直角三角形的斜边
因此我们可以用勾股定理
来把它写出来
就是delta xk 的平方加上
delta yk的平方然后再开根
这就是对应的其中的一段
折线段的长度
取极限就得到L
把这个式子稍微改写一下
L equals the limit as n goes to infinity
表达式中我们把delta xk单独拎出来
这样的目的是为了
将来把它写成积分式
容易看出来它对应的是哪个积分式
我们强调一下这里的
delta xk和delta yk
实际上它们是两个点之间的
纵坐标值之差和横坐标之差
这个式子我们取极限
take the limit
我们得到L equals the integration
from x(a) to x(b) one plus dy over dx
squared then take square root times dx
这里我们的推导比较粗略
直接使用了积分的定义式
这个过程我们就不做详细的解释了
总之就是上面这个和式取极限
就会得到L L是一个积分式
现在我们把它写成关于x的积分式
如果我们把它换成关于t的积分式
也可以就是积分从a到b
dy 除以dt的平方
再加上dx除以dt的平方
最后再开根乘以dt
这两种形式都可以
他们之间的关系是
做变元替换的关系
也就是说把x等于f(t)带入即可
所以这两个式子都代表了
刚才参数曲线的弧长
接下来我们看特殊的情形
in the particular case that x equals
f(t) is exactly t
如果这一段参数曲线
其中x坐标的变化
它就是直接依赖于t
x恒等于t
也就是相当于取f(t) 恒等于t
这个时候y作为g(t)的函数
就直接看成了关于x的函数
也就是说这个时候所谓
函数的曲线就是通常
函数图像的含义情况下的曲线
那么它的公式就是现在所写的
L等于a到b的积分
1加上dy除以dx 就是
y关于x的导数的平方
然后再开根
注意这里是关于x的积分
而刚才前一页我们所说的
那个积分是关于t的
这里边有细微的差异
刚才我们通过
划分求和 求极限的方法
已经得到了弧长公式
可以用关于t的积分
也可以用关于x的积分来表达
希望同学们能够领会
其中的数学思想
好的下面我们看简单的几个例子
example one point one
evaluate arc length
of the parametric curve
我们现在取一个
特别简单的参数曲线
x(t) 等于cos t y(t)等于sin t
其中t从零跑到2pi
这个曲线同学们再熟悉不过了
它就是一个圆周
which represents a unit circle
单位圆周
好的我们看一下
单位圆周的弧长是多少
当然单位圆的弧长
我们小学就知道怎么求了
现在我们用微积分的方法
来看一下和我们熟知的
弧长的公式是否一致
请看这里我们画了
这个单位圆的图
下面我们用刚才的弧长公式
来计算一下
L等于t从0到2pi的定积分
里边呢第一项是x的导数的平方
第二项是y的导数的平方
别忘了要开根
然后关于t再积分
那么很容易算出来它就是
0到2pi 1的积分
当然就是2pi了
这就是我们熟知的
单位圆的弧长
好的我们再看一个复杂一点的例子
evaluate arc length of
the parametric curve
这个curve
同学们以前可能没有见过
x(t) equals t minus sin t
y(t) equals one minus cos t
这条曲线实际上叫做摆线
其中我们让t从0跑到2pi
which represents one arch
of the cycloid
摆线的一个周期
建议同学们在草稿纸上
自己画一下这条参数曲线
从0到2pi是怎样的一个图形
好的下面我们求一下它的弧长
L equals the integration
from zero to two pi
积分和内部还是刚才那个公式
第一项是x关于t的导数的平方
第二项是y关于t的导数的平方
然后再取根式求积分
那么很容易直接算出来
里边是1减去cos t的开根
再求积分
接下来该怎么做呢
同学们最好自己思考一下
其实我们只要做
半角替换就可以了
也就是说用半角公式
把它换成另外一个样子
就是sin 二分之t的积分
到此再做一简单的换元
就可以求出结果了
这里我们就不做
详细的每一段过程了
最后结果是8
下面我们再看一个
无参数形式的例子
也就是说y就是x的函数的样子
请看
evaluate arc length of the curve
f(x) equals x square minus
one eighth ln x
现在我们直接给了一个函数
这个函数所对应的图像的弧长
我们让x从1跑到2
那么现在我们要用的公式
就是刚才介绍无参的那个公式
这是刚才这条曲线的图像
我们图中用的实线的那一部分
就是我们要找的
弧线的长度的那一部分
直接用刚才的弧长公式
积分1到2 根号下1加上
y对x的导数的平方
也就是f的导数的平方
那么直接计算就会得到
现在的积分式
那么经过化简以后
它可以换成这样
现在就可以直接算出
定积分的结果了
所以这就是刚才那段弧长
同学们 以上就是这一讲的全部内容
在这一讲中 我们学习了
如何使用折线段逼近的方法
去推导曲线的弧长公式
这个公式理解起来不困难
计算起来也很简单
但是这里边蕴含着非常深刻的
微积分思想
希望同学们多加体会
下节课 我们继续学习定积分的应用
具体的就是求面积和体积
同学们提前预习一下
好的 我们下节课再见
-Unit 1 Review of Real Numbers (回顾实数)
--Review of Real Numbers (回顾实数)
--Exercise1-1
-Unit 2 Exponentiations, Logarithms and Sets (指数、对数与集合)
--Exponentiations, Logarithms and Sets (指数、对数与集合)
--Exercise 1-2
-Unit 3 Limit Points, Open and Closed Sets (聚点、开集与闭集)
--Limit Points, Open and Closed Sets (聚点、开集与闭集)
--Exercise-1-3
-Unit 4 Bounds and Completeness (有界性与完备性)
--Bounds and Completeness (有界性与完备性)
--Exercises-1-4
-Unit 5 Complex Number System, Algebraic and Transcendental Numbers (复数、代数数与超越数)
--Complex Number System, Algebraic and Transcendental Numbers (复数、代数数与超越数)
--Exercise-1-5
-章节测验1
--章节测试1
-Unit 1 Limit of a Sequence (数列的极限)
--Exercises-2-1
-Unit 2 Theorems on Limits of Sequences (数列极限定理)
--Theorems on Limits of Sequences (数列极限定理)
--Exercises-2-2
-Unit 3 Infinity and Bounded Monotone Sequences (无穷大和单调有界数列)
--Infinity and Bounded Monotone Sequences (无穷大和单调有界数列)
--Exercises-2-3
-Unit 4 Limit Superior and Limit Inferior (上极限和下极限)
--Limit Superior and Limit Inferior (上极限和下极限)
--Exercises-2-4
-Unit 5 Nested Intervals Theorem and Cauchy’s Convergence Criterion (区间套定理和柯西收敛准则)
--Nested Intervals Theorem and Cauchy’s Convergence Criterion (区间套定理和柯西收敛准则)
--Exercises-2-5
-章节测验2
--章节测试2
-Unit 1 Functions and Graphs (函数与图像)
--Functions and Graphs (函数与图像)
--Exercises-3-1
-Unit 2 Algebraic Function,Transcendental Functions and Inverse Trigonometric Functions (代数函数，超越函数与反三
-- Algebraic Function,Transcendental Functions and Inverse Trigonometric Functions(代数函数，超越函数与反三角函数)
--Exercises-3-2
-Unit 3 Hyperbolic Functions and Inverse Hyperbolic Functions (双曲函数与反双曲函数)
--Hyperbolic Functions and Inverse Hyperbolic Functions(双曲函数与反双曲函数)
--Exercises-3-3
-Unit 4 Maximum and Minimum, Increasing and Decreasing (极大值与极小值，单调增与单调减)
--Maximum and Minimum, Increasing and Decreasing (极大值与极小值，单调增与单调减)
--Exercises-3-4
-Unit 5 Limits of Functions (函数的极限)
--Exercises-3-5
-Unit 6 Infinity (无穷)
--Exercises-3-6
-Unit 7 Theorems on Limits and Special Limits (极限相关定理与特殊极限)
--Theorems on Limits and Special Limits (极限相关定理与特殊极限)
--Exercises-3-7
-Unit 8 Continuities (连续性)
--Exercises-3-8
-Unit 9 Theorems on Continuity (关于连续性的定理)
--Theorems on Continuity (关于连续性的定理)
--Exercises-3-9
-Unit 10 Piecewise Continuity, Uniform Continuity, and Discontinuities (分段连续性， 一致连续性与不连续性)
--Piecewise Continuity, Uniform Continuity, and Discontinuities (分段连续性， 一致连续性与不连续性)
--Exercises-3-10
-Unit 11 Infinitesimals and Bounded Quantities (无穷小量与有界量)
--Infinitesimals and Bounded Quantities (无穷小量与有界量)
--Exercises-3-11
-章节测验3
--章节测试 3
-Unit 1 Basics of Derivatives (导数基本定义)
--Basics of Derivatives (导数的基本定义)
--Exercise-4-1
-Unit 2 Differentiability on Intervals, Piecewise Differentiability and Differentials (区间上的可微性，逐段可微性与
--Differentiability on Intervals, Piecewise Differentiability and Differentials (区间上的可微性，逐段可微性与微分)
--Exercise-4-2
-Unit 3 Basic Methods of Differentiation (基本求导方法)
--Basic Methods of Differentiation (基本求导方法)
--Exercise-4-3
-Unit 4 Derivatives of Commonly Used Functions (常见函数求导)
--Derivatives of Commonly Used Functions (常见函数求导)
--Exercise-4-4
-Unit 5 Higher Order Derivatives and Mean Value Theorem (高阶导数与中值定理)
--Higher Order Derivatives and Mean Value Theorem (高阶导数与中值定理)
--Exercise-4-5
-Unit 6 L'Hospital's Rules (洛必达法则)
--Exercise-4-6
-Unit 7 The First and Second Derivative Tests (导数判别法)
--The First and Second Derivative Tests (导数判别法)
-Unit 8 The Taylor Formula (泰勒公式)
--Exercise-4-8
-章节测验 4
--章节测试4
-Unit 1 Definite Integrals and Numerical Methods (定积分与数值方法)
-- Definite Integrals and Numerical Methods (定积分与数值方法)
- Exercise 5-1
-Unit 2 Properties of the Definite Integrals and the Fundamental Theorem of Calculus (定积分的性质与微积分基本定理)
--Properties of the Definite Integrals and the Fundamental Theorem of Calculus (定积分的性质与微积分基本定理)
--Exercise-5-2
-Unit 3 Integrals of Elementary Functions and Integration by Substitution (初等函数的积分，换元法)
--Integrals of Elementary Functions and Integration by Substitution (初等函数的积分，换元法)
--Exercise-5-3
-Unit 4 Integration by Parts and Special Techniques(分部积分法与特殊技巧)
--Integration by Parts and Special Techniques(分部积分法与特殊技巧)
--Exercise-5-4
-Unit 5 Integrations of Rational Fractions and Trigonometrical Rational Functions(有理分式函数与三角有理函数的积分)
-- Integrations of Rational Fractions and Trigonometrical Rational Functions(有理分式函数与三角有理函数的积分)
--Exercise-5-5
-Unit 6 Arc Length(弧长)
--Exercise-5-6
-Unit 7 Areas and Volumes(面积与体积)
--Exercise-5-7
-章节测验5
--章节测试5
-课程讲义
