Hyperbolic Functions and Inverse Hyperbolic Functions(双曲函数与反双曲函数)在线视频

同学们你们好

欢迎来到MOOC在线课程微积分

前面两讲呢 我们已经谈到了

各种各样基本的函数类型

但是有一种函数同学们以前没有见过

就是双曲函数

实际上 双曲函数还有他们的反函数

也就是反双曲函数

在高等数学以及其他的科学中呢

会非常的常见

将来我们学习微分方程的时候

也要用到这种函数类型

因此我们要准确明白地

把握双曲函数

还有反双曲函数

好的 一切从定义谈起

下面我们就看一下什么是双曲函数

Chapter 3 Functions Limits and Continuity

函数 极限与连续性

Unit3

Hyperbolic Functions and Inverse Hyperbolic Functions

双曲函数与反双曲函数

Section1 Hyperbolic Functions双曲函数

在讲双曲函数之前

我们先回顾这样一件事情

就是eiφ=cosφ+isinφ

这公式我们在第一章已经讲过了

它就是所谓的欧拉公式

好在这个公式中我们把刚才的φ取成-φ

我们看一下

就是e-iφ=cosφ-isinφ

通过这两个公式

我们可以得到这样一个事情

就是cosφ=(eiφ+ e-iφ)/2

也就是说cos这个三角函数

可以通过指数函数的组合来实现

类似的还有

sinφ=(eiφ- e-iφ)/2i

所以呢通过这两个式子我们看出来

指数函数实际上可以给出三角函数

那么

类比这两个cos和sin的定义

我们下面就要给出所谓的

hyperbolic functions

也就是双曲函数

双曲函数这个概念

就是通过刚才三角函数的形式来类比引入的

来我们看一下

六个双曲函数的定义式

defintion1.1 hyperbolic function

Hyperbolic Functions are defined

in terms of exponential functions

双曲函数是通过指数函数的组合来定义的

它呢一共有六个

我们分别来讲一下

there lists as below

sinhx

这个英语中可以读作sinh of x

它的定义是这样的

sinhx=(ex- e-x)/2

另外呢还有coshx

cosh呢也可以读作cosh of x

它的定义式是这样的 coshx=(ex+ e-x)/2

注意这个定义式就恰好和刚才的sin

cos和指数函数关系呢是非常类似的

这就是所谓的两个最基本的双曲函数

sinh and cosh定义式

另外呢我们还有其它几个

重要的双曲函数

比如说tanhx

它的定义式是这样的

也就是sinhx/coshx

这个关系式非常类似于tan(x)与sin(x)

cos(x)的关系

再比如cothx= coshx /sinhx

以及cschx=1/sinhx

以及sechx=1/coshx

所以啊

通过两个最基本的

sinh和cosh就可以

把剩下四个双曲函数都定义出来

当然同学们可以

把它们重新化成e的指数的样子

好下面我们看一下这些函数的图像

这里我们画的是y=sinhx

以及y=coshx

以及y=tanhx的图像

注意啊

这些图像和三角函数图像都是不一样

但是sinhx是一个奇函数

coshx是一个偶函数

tanhx是一个奇函数

好我们再看y=cothx

y=cschx和y=sechx的图像

这些图像同学们可能以前没有见过

希望同学们通过观察这些图像能够

熟悉以上这些基本的双曲函数

好我们注意这样一个事情

就是sinh0=0

csch的定义和coth的定义都是

负无穷到0以及0到正无穷

唯独不能取到零

同学们

上面我们通过三角函数的定义

类比定义了这些双曲函数

双曲函数也有一些

与三角函数类似的恒等关系

下面呢我们就枚举一些恒等关系

同学们可以发现这些关系和

三角函数的恒等关系呢非常地相似

但是其中呢也有一些地方不一样的

需要特别的注意

请看we list some of the

hyperbolic identities below

下面我们枚举一些

双曲函数的恒等式

sinh( x ) = sinh x

也就是sinh实际上是一个奇函数

cosh( x ) = cosh x

也就是cosh是一个偶函数

cosh2x - sinh2x = 1

注意啊这个式子中

中间是一个减号

而相应的sin函数和cos函数的平方和

等于1之间呢是加号

这是一个不同点

再比如we have moreover the following

1- tanh2x =sec2hx

sinh(x + y ) = sinh x cosh y + cosh x sinh y

cosh(x + y ) = cosh x cosh y + sinh x sinh y

以上这两个公式呢

就是sinh与cosh的和公式

section2 inverse hyperbolic functions

反双曲函数

同学们以前我们学习了三角函数

同时呢学习了反三角函数

现在呢我们学习了什么叫做双曲函数

也就自然地要引入

什么叫反双曲函数了

我们把双曲函数的反函数

就叫做反双曲函数

这里我还是要提醒大家要特别注意

反双曲函数的定义域和值域

也就是它们的象集是怎么规定的

好 下面我们看一下具体的定义

好下面呢我们枚举一下

这些反双曲函数

第一个就是arcsinhx

它呢是sinhx的反函数

实际上我们可以写出它的表达式

它的表达式是ln(x+sqrt(x2+1))

其中呢x取遍整个实数集

另外呢还有一个重要的反双曲函数

就是arccoshx

它呢可以具体地写出来表达式

就是lnx=(x+sqrt(x2-1))

注意这里的X就有取值范围了

也就是arccosh

它的定义域是有约定的

我们约定x in one to infinity1

从1到无穷

x可以取到1

也就是x是全体比1大

或等于1的实数的集合

这就是arccosh的定义域

好我们再看另外一个反双曲函数

就是arctanhx

这个是tanhx的反函数

它呢也可以具体地解出来就是

0.5ln((1+x)/(1-x))

这个函数中这个x也是有取值范围的

它的取值范围是x is in -1 to 1

开区间-1到1

x不能取到-1也不能取到1

注意这里边这个arcsinh

有的时候也写作sinh-1

当然类似的其它几个

反双曲函数也有类似的记法

我们就不一一枚举了

接下来我们看

另外的几个反双曲函数

arcschx就是cschx的反函数

它呢也可以具体的解出来

就是ln﹙1/x+sqrt(x2+1)/丨x丨﹚

这里我们约定x的定义域

就是x is not zero

凡是不等于零的x都可以取arcschx

另外还有arcsechx

它呢解出来就是ln((1+sqrt(1-x2))/x)

注意这里x的取值范围是x in (0,1]

x cannot be 0 but x can be one

x处在一个半开半闭区间中

0到1

0不能取到

1可以取到

最后一个arcothx

它解出来就是0.5ln((x+1)/(x-1))

好这里我们强调一下x 的定义域

就是x in minus infinity to 1

and 1 to positive infinity

它是一个并集

是从负无穷到负一

包括了负一以及

一到正无穷包括了一

这样一个非常特殊的集合

这里呢我们把所有的

这些函数的图像都画一下

第一个我们画的是arcsinhx

arccoshx

以及arctanhx的图像

接下来我们画的是arcschx

arsechx

以及arcothx的图像

这些图像呢希望同学们熟悉一下

并且最好能推导一下

这些函数的表达式

为什么是刚才我们

所列举的那些样子

有些同学呢

可能要深入地追究一下这些

反双曲函数表达式是

怎么推导出来的呢

我们可以以y=coshx这个函数

的反函数为例来说明一下

那么其它几个反双曲函数的推导呢

同学们自己可以类似地做一下

好的

下面呢

我们看怎么找一个

具体的双曲函数的例子

就是我们要找y=coshx

这个函数的反函数

也就是arcoshx

In order to find out

the inverse function

我们要解一个方程

we must solve for x from

the equation y = cosh x

也就是e2x-2yex+1=0

这个方程实际上就是

刚才y=coshx的

具体解开以后并且

简化以后的方程式

从中我们要求解y

也就是把y用x来表示出来

好我们看一下

这个方程其实并不难解

同学们可以把它直接解出来

x是什么样子

这个解是x=ln(y+-sqrt(y^2-1)

这里呢就有加减号的问题了

我们在刚才这个解中取

其中一个分支作为特解

也就是we take x= ln(y+sqrt(y^2-1)

where y is greater or equals to one

把这个解呢作为反函数的特解

并约定它就是y=coshx的反函数

这个解呢也叫做

the branch of principle values

主值之一

同学们

在这一单元我们学习了

两种重要的常用函数

就是双曲函数与反双曲函数

这部分内容有一点机械死板

但是希望同学们对双曲函数

和反双曲函数的符号以及

它们的定义 图像等等

有一个清晰的印象

并且能够独立地把它们都写出来

同学们 以上就是本讲的内容

我们学习了双曲函数

还有反双曲函数

截至目前我们用了三节课的时间

给同学们介绍了微积分中

常见的各种各样的基本的函数类型

这为我们后面研究函数打下了很好的基础

从下一讲 我们就要开始研究函数的性质

下一讲的内容是

极值与单调性

希望同学们提前预习一下

好的 我们下一节课再见