Areas and Volumes(面积与体积)在线视频

同学们 你们好

欢迎来到mooc在线课程微积分

现在呢 我们已经掌握了积分的

思想 理论和方法

并且上节课我们学习了

定积分的重要应用之一

就是求曲线的弧长

在这节课呢 我们继续学习

积分的重要应用

就是计算面积和体积

面积和体积呢

同学们再熟悉不过了

但是呢 对于比较复杂的形状

求面积和体积是不容易的

现在我们就要用积分这个工具

来计算一些特殊的形状的

面积和体积

好的 下面我们先从积分

与面积的关系谈起

Chapter 5 Integrals 积分

Unit 7 Areas and Volumes

面积与体积

Section One Area 面积

同学们上一单元我们已经

学会了怎么求弧长了 arc length

现在我们考虑一下怎么求面积

我们首先要明白一个道理

积分本身就代表了面积

integration can be thought of as

measuring the area under a curve

defined by f(x) between two points

什么意思呢

这就是我们前面解释过的

f的定积分就表示f从a到b

这两点之间扫过的面积

根据这个定积分的几何解释

下面我们讲这样一个问题

我们现在有两条曲线

现在如图中所示

一条是蓝色的一条是红色的

这两条曲线之间

所夹的部分的面积

该怎么算呢

那很简单只要做

两个积分的差就可以了

so this figure tells us

the area between two graphs

can be evaluated by calculating

the difference between the

integrals of the two functions

两个函数的积分值之差

就表示这上下两条不同的曲线

所夹的部分的面积 好的

我们把刚才的思想再总结一下

let f and g be continuous functions

whose graphs intersect at the

graphical points corresponding

to x equals a and x equals b

假设f和g是两个连续的函数

他们的图像与两条直线相交

谁呢 x等于a x等于b

其中a小于b

if g of x is less than or equals to

f of x on a to b then the area

bounded by f(x) and g(x) is A

equals integration f(x) minus g(x) dx

也就是说如果g是下面的曲线

f是上面的曲线

它们夹在x等于a与x等于b

之间的面积就是

f与g的差做定积分

我们来看一个简单的例子

evaluate the shaded area bounded by

f(x) equals x square and g(x)

equals x where x

is in between zero and one

现在我们这幅图

就表示了两条曲线

我们一定要小心

每次遇到这种问题

一定要小心谁是上面的曲线

谁是下面的曲线

否则我们减出来的值

不一定是正数了

在这一段区间从0到1之中呢

y等于x它是上面的曲线

而f(x)等于x的平方

它所对应的是下面这条曲线

它们之间所夹的面积

是图中黄色部分的面积

so we want to find the shaded area

阴影部分面积shaded area

应用刚才的公式

我们计算一下area A

equals integration

注意这里头两个函数

谁在前谁在后

x是上面的曲线所以它在前面

x的平方是下面的曲线

所以它在后面

它俩的差做定积分

这个结果很容易算出来

就是六分之一

于是我们计算出来了

刚才的阴影部分面积是六分之一

同学们要注意这段面积

只有通过积分的方法才能算出来

在中学阶段用任何初等的方法

都是无法计算的

同学们刚才我们讲了简单图形

求面积的方法

就是做函数差的积分

有的时候问题比较复杂

这个面积图形不能

直接应用刚才的公式

那个时候需要用转化的思想

转化成刚才这种情况的积分

限于时间关系我们这里

就不举比较复杂的例子了

课后习题中会出现这种问题

同学们自己要

动手动脑去做一下

接下来我们讲一下体积

一种特殊的体积就是

旋转体体积的求法

Section Two Volumes of Revolution

旋转体的体积

这里我们要考虑两种情况下

所产生的旋转体的体积

其中一种情况

我们要用一种方法去计算它

这种方法叫碟法 disk method

好的 我们简介一下disk method

disk method is a means of calculating

the volume of a solid of revolution

of a solid-state material when

integrating along the axis of revolution

什么意思呢 碟法顾名思义

就是用类似于碟子

这种形状的东西去叠加起来

求旋转体的体积

那么它所适用的是这种图形

就是某一个solid-state material

一个固定的固体

它是一个平面体

让它绕着某一个轴做旋转

this method models the resulting

three-dimensional shape as a stack of

an infinite number of disk of varying

radius and infinitesimal thickness

什么意思呢 意思就是说

这种方法它的思想是把

一大堆的碟子给叠起来

stack这里的意思是堆起来的意思

而每一个碟子

它的半径是不一样的

它的宽度也就是它的厚度

是非常非常薄的

我们用个图来表示一下

请看这幅图

这里呢 我们画了一条曲线

x equals f(y)

注意我们把x看成y的函数

然后让这条曲线和y轴之间

所夹的那一块面积

我们现在图中就是

划了横条的部分

让它绕着y轴旋转

这个旋转过程

就产生了一个旋转体

好了 我们在刚才这个

划着横线的部分我们把它

想象成很多的小条

每一个小条所扫过的图形

就是一个小碟子

把这些小碟子叠加起来

就会得到整体的体积

这就是碟法的思想

我们现在把它总结一下

disk method

assume that x equals f(y) is a

continuous function from c to d

现在假设x等于f(y)是一个函数

这个函数注意它自变量是y

从c到d是连续函数

and f(y) is always positive

then the volume of the solid of

revolution obtained by revolving

the region between the graph of f(y)

on [c,d] and rotate about y-axis is

什么意思呢

就是说我们现在要求一个

旋转体的体积了

这个旋转体是怎么来的呢

就是把x等于f(y)的曲线

注意这段曲线是从c到d跑的

它和y轴之间所夹的

那一部分面积

围绕着y轴取旋转一周

得到的旋转体

好这个旋转体的体积

就是底下这个公式

V equals pi the integration

from c to d f(y) square dy

这个公式的来由就是

我们刚才这幅图所展示的思想

也就是说把曲线x equals f(y)

给它划分成很多小段

每一段对应着一段长条

让这段长条绕着y轴旋转

得到很多很多的小碟子

把这些小碟子叠加起来

然后再取极限

这个过程我们就不详细解释了

同学们只要记住这样的公式

并理解它背后的思想就可以了

好了这种碟法讲的是x等于f(y)

绕着y轴旋转产生的固体的体积

那么类似的绕x轴呢

那么就有完全平行的一个方法

也叫碟法

assume that y equals f of x is continuous

over a to b and f(x) is always positive

then the volume of the solid of

revolution obtained by revolving

the region between the graph of

f(x) on a b about the x-axis is

such a formula

V equals pi times integration

from a to b f(x) square dx

这里这个定理跟刚才的定理的差异

就是我们考虑的曲线是

y等于f(x) y是x的函数

让这个曲线绕着x轴旋转

这里边x和y的位置颠倒了

所以这个公式是

和刚才这个公式相仿的

只是其中的x要替换成y

c d 换成a b 而已

这个思想是完全一致的

好的 我们看一个具体的例子

a solid cone is generated by revolving

the graph of y equals kx

y等于kx这个特别简单的曲线

它是直线其中k是大于0的

好了让x从0跑到b

这个时候我们考虑旋转体

让这个旋转体怎么产生呢

是y等于kx绕着x轴旋转一周

its volume is how much

我们直接用刚才的公式

来计算一下

就是pi乘以从0到b的积分

积分的函数就是那个函数的平方

就是kx的平方

well it’s easily seen result is

pi times a third of k square b cubed

这个公式同学们看到

可能觉得很熟悉

实际上它就是椎体的体积公式

好了我们用图来解释一下

图中我们画出的就是y equals kx

这个函数的图像

绕着x轴旋转一周所产生的圆锥

它的体积

同学们我们在小学的时候

就知道怎么算了

刚才这个公式也和我们小学时候

这个公式是完全一致的

接下来我们看

第二种产生旋转体的情形

这种情形

我们用的求解体积的方法

叫做壳法 shell method

好的我们解释一下 shell method

is a means of calculating the volume

of a solid of revolution when integrating

along an axis perpendicular to

the axis of revolution

这段话解释了shell method

壳法与前面的碟法的差异

这个壳法做积分的时候

是沿着旋转轴垂直的某个方向

而不是直接沿着旋转轴

我们用一幅图来解释壳法

shell method

现在这幅图中我们画的是

y equals f of x

就是y等于f(x)的曲线

它与x轴之间所夹的那部分

也就是我们划竖线的

那一部分面积

绕y轴旋转一周

产生了一个旋转体

现在我们要求这个旋转体的体积

怎么做呢 如图所示

图中我们把那个划着竖线的部分

想象成很多小块

每一块是一段小条

这个小条绕y轴一周

产生的是一个壳状的东西

因此把这些小的圆筒状的壳体

给它加起来

这个方法就叫做shell method

好的 我们继续把它实现一下

请看shell method

suppose that f is continuous

on a to b and a is positive and

f(x) is always positive or zero

let R be the plane region bounded by

f(x) x equals a x equals b and the

x-axis

也就是说假设R是这样的区域

它是f(x)的图像

x等于a x等于b

以及x轴这四者所夹的部分

the volume obtained by rotating R

around the y –axis is

下面就是壳法给出的公式

V equals the integration from a to b

two pi x times f(x) dx

注意这个公式跟刚才碟法的公式

是完全不一样的

这个原因我们这里

就不详细解释了

同学们自己可以思考一下为什么

这个思想还是刚才

我们这幅图中所解释的

就是求出每一个小的圆筒的体积

当然每一个小圆筒是有它的厚度

然后把这些小圆筒加起来

这个过程最后得到公式

就是现在所给的公式

好的我们看一个具体的例子

依然考虑刚才考虑过的那个函数

y equals kx where k is positive

and x is in between zero and b

让这个图像绕着y轴旋转

注意这个差异在这

刚才我们让这个直线

绕x轴旋转

现在是让这个直线

绕着y轴旋转

而且这个区域是y等于kx

与x轴之间还有x等于b

所夹的那一部分

绕y轴旋转产生的体积

同学们在纸上

最好先画一下这个图形

待会我们也给同学们一起画一下

好的这个时候呢

the volume of the revolution

obtained is how much

好的我们直接用刚才壳法的公式

就是 two pi the integration from

zero to b x times f of x

也就是kx

这个结果直接算出来就是

2 pi k乘以三分之一b的三次方

现在我们用图像来解释一下

请看这里我们画的就是

这个直线以及它与x轴以及

x等于b 这么三条线段

所夹的那个三角形

绕着y轴旋转一周

所产生的这样一个体

这个体并不是圆锥体

而是圆柱体去掉一个圆锥体

它的体积就是我们刚才

算出来的那个公式

同学们 这节课中 我们学习了

加在两条曲线之间的面积的求法

以及两种特殊情况的旋转体

和它们的体积公式

希望同学们能够牢记这些公式

并且能够区分这两种不同的旋转体

如果同学们学有余力的话

不妨自己在课后呢推导一下

这两种旋转体的公式

这样能够加深对这些公式的理解

好的同学们 讲完这一章

我们整个微积分的课程

也到此结束了

我们回顾一下

我们学过五个章节

包括实数理论 数列极限

函数极限与连续性

导数与微分 积分

这些知识呢

构成了整个微积分大厦的最基础部分

所以呢 我要感谢各位同学

自始至终的坚持与努力

将来呢 我们还要一起学习

更多的数学知识

我们的mooc在线课程微积分

是整个高等数学系列课程的一部分

将来呢 我们还有更多的课程

需要建设与完善

期待各位同学

在将来和我们一起同行

最后 祝愿同学们不断进步

同学们 再会