Definite Integrals and Numerical Methods (定积分与数值方法)在线视频

同学们 你们好

欢迎来到mooc在线课程微积分

这节课 我们要开始新的一章

前面的学习中 我们已经学过了

数列 极限 函数 函数的极限

以及导数等等内容

所以呢 我们已经初步建立了

微积分框架中和极限

微分有关部分的内容

在这一章 我们将进入另一个

全新的模块的学习就是积分

积分是数学中特别重要的工具之一

在大量的科学研究以及试验中

有着广泛而重要的应用

所以在这门课中 我们一定要理解

积分的来龙去脉

好的在下面的第一小节

我们首先用直观的语言

来描述一下微积分

然后再给出严格的数学定义

Chapter 5 Integrals 积分

Unit One Definite Integrals

and Numerical Methods

定积分与数值方法

Section1 Definite Integrals 定积分

同学们上一章我们已经讲过了

微分的知识

微分简而言之就是在

无限小的尺度去观察函数的行为

那么这一章我们要学的是

微分的反运算就是积分

积分简而言之就是面积

函数在一段区间内所扫过的面积

好的下面我们把这个概念

具体的描述一下

informally explanation of

definite integrals

下面我们就给出定积分的

不严格解释 请看

given a function y equals f(x)

over the interval [a,b]

假设我们现在考虑一个

闭区间a b 上的函数y=f(x)

the definite integral

同学们我们这里已经写出了

定积分的符号

从a到b对这个函数f做定积分

这个符号我们后面

会再仔细解释一下

我们现在先记住这个符号

表示定积分

好它表示什么意思呢

这就是我们下面要解释的

is defined informally to be

the signed area of the region

in the xy-plane bounded by the

graph of f the x-axis and the

vertical lines x equals a and

x equals b

这句话比较长我来解释一下

刚才的定积分符号

它表示什么意思呢

它表示请看这里有一句词

signed area 什么意思呢

带方向的面积

area 这个地方表示面积的意思

也叫有向面积

哪一块有向面积

这里的文字说了

the region in the xy-plane

在xy平面上的一这块面积

bounded by the graph of f

由f的图像以及x轴还有

vertical lines x equals a and

x equals b

这段话简而言之就是说

f在从a到b的过程中

扫过的有向面积

注意我们说

signed area有向面积

这个有向是如何规定的呢

这就是下面这段话所要说的

such that the area above

x-axis adds to the total

使得在x轴上面的那一部分

adds to the total的意思是

加到整体里面

也就是把它认为是正的

and that below the x-axis

subtracts from the total

在x轴以下的那一部分

要从整体中减去

也就是说把x轴下面那部分面积

认作是负的面积

所以这段话就描述了

f在从a到b的过程中

扫过的有向面积

这就是定积分的含义

我们还是用一个图来解释一下

好的同学们我们看这幅图

this figure shows the definite integral

infact the definite integral of a function

is the signed area of the region

bounded by its graph

这幅图中我们就展示了

f在从a到b的过程中

扫过的有向面积是怎么规定的

请看蓝色部分

就是在x轴之上的那一部分

被认作是正向面积

而在x轴之下的那部分

看做是负向面积

所以整个这三块面积

按照它们的代数和得到的结果

就是f从a到b的定积分的结果

所以这幅图也比较好的解释了

什么叫做f的定积分

同学们我们把刚才

提到的定积分的符号

其中的每一个元素是什么含义

再仔细解释一下

请看 这里有一个积分的符号

这个积分的符号是一个拉长的S

S来自于英语中的sum

求和的意思 好这是积分符号

it reads as the integration sign

积分号

同学们刚才我们还提到

每一个定积分是针对特定的

某一个具体的函数而言的

我们刚才用的符号是小f(x)

好的 我们把这个小f(x)

把它赋予一个特别的名称

叫做the integrand 被积函数

被积函数在某些书中

也叫做积分和

闭区间a b 这就是积分区间

is the range of the integration

积分域

接下来还有在刚才的积分符号中

有表示区间端点的a b两个符号

对积分而言它们有特殊的名称

they are known as the lower limit

or the upper limit of

the integration

也就是积分的下限或上限

a叫做下限b叫做上限

但是同学们注意

我们这里所说的上下限

跟我们前面讲过的

上确界与下确界没有关系

跟以前讲过的

上极限下极限也没有关系

只是它们这些名称比较接近

同学们千万不要混淆了这些概念

同学们刚才我们

已经直观的定义了积分

就是函数所扫过的面积

接下来我们需要

用严谨的数学方法

去定义什么叫做有向面积

实际上我们用的方法还是

我们以前的思想就是取极限

好的我们来解释一下

同学们请看这幅图

这幅图是前面那幅图变过来的

我们这里把原来的蓝色的面积

现在用了一些

柱状的蓝色的小条来替代

同样的黄色的部分

也就是原来负向面积部分

也用一些黄色的柱状小条来替代

这样一替代

当然这两个面积就不太一样了

但是我们可以想象

只要这些柱状的小条

足够足够的密

也就是说它们足够多

每一条的宽度足够的窄

这个时候我们可以想象

蓝色和黄色部分的代数和

就会逼近于刚才我们所定义的

函数f所扫过的面积

好的 我们把刚才这幅图中

用带状的小条来逼近

f所扫过有向面积

这个思想把它具体的实现出来

first we divide the interval a b

into n sub-intervals

我们先把刚才的闭区间a b

分成n段小区间

每一段我们给它起个名称

叫做Ik k starts from one to n

这里我们把每一个Ik给它

具体的命名出来

就是Ik equals x k minus one to xk

也就是说把每一个小的闭区间的

起始点记作x k-1 终止点记作xk

这里我们相当于把刚才的

a b整个闭区间

分成了n个小的区间

而两个相邻小区间结合的地方

我们把它叫做xk

换言之从一开始x0就是a点

接下来那个点是x1

x0到x1是I1

接下来取x2

x1到x2那一段叫做I2

以此类推

一直到最后一个第n个小区间

它是从x n-1 到xn

而xn和b是同一个点

刚才这个方法

is known as a partition

就是把区间a b

分成n个小区间的过程

叫做分割 partition

second choose points zeta k in Ik

也就是说在刚才分割的基础上

我们有了n段小区间

在这n段小的闭区间上

都取一个点zeta k

k starts from one to n

也就是说在每一段小区间中

我们取了一个样本

这个样本我们把它叫做zeta k

the partition with these zeta k

is called a tagged partition

tagged partition 意思就是说

带标记的分割

换言之就是对分割的结果

也就是那些Ik

我们给它标记一下

标记的方法就是

取那些样本点zeta k

then we denote delta xk equals

xk minus x k minus one

什么意思呢

因为我们已经把区间分成n段

而我们没有要求

每一段的长度一致

我们假设Ik的长度是delta xk

这就是第k个小区间的长度

也就是我们将来要取的

那些窄带的宽度

and define the Riemann sum with

respect to such a tagged partition

接下来我们定义的一个东西

叫做黎曼和Riemann sum

with respect to such a

tagged partition

意思就是说针对刚才

所选定的带标记的分割

我们定义所谓的黎曼和

它就是这样一个量 请看

这是一段和

k starts from one to n

这里有n个量相加

第k个量是f在样本点zeta k处的值

乘以第k个小区间的宽度

也就是delta xk

把这n个数加起来

这个结果就叫做黎曼和

Riemann sum

it can also be written explicitly

as f zeta one times x one minus a

plus f zeta two x two minus x one

plus dots until the last one which is

f zeta n times b minus x n minus one

好了同学们一下子就明白

这个黎曼和是什么含义了

实际上就是我们刚才那幅图中

那些窄带的有向面积之和

也就是它们的代数和

那么这里头f的值

没有规定它一定取正

因此这个和它表示的

的确就是有向和

好的 刚才我们定义了黎曼和

注意黎曼和是取定了分割和

分割中的样本点之后的一个数值

这个数值和我们要找的

f的积分值

也就是f扫过的面积

还不一致

那么到底怎么

建立他们之间的联系呢

很容易同学们就想到了

用求极限的方法

只要我们把这个分割

取的足够的细

也就是说每一个窄带足够的窄

n足够大 则刚才的黎曼和

会越来越接近于

我们要找的真实的积分值

这就是我们下面要做的事情

取极限

为此我们还需要准备一个概念

就是所谓的mesh

we defined the mesh of such a

tagged partition to be the width

of the largest sub-interval formed

by the partition

什么意思呢

我们要定义一个量

这个量叫做mesh

可以翻译成精度

谁的精度呢

就是刚才的分割的精度

mesh is the width of

the largest sub-interval

也就是说刚才分割中

最宽的那一段小区间的宽度

就定义成

每一个分割所对应的精度

也就是说m equals the max

value of delta xj

where j starts from one to n

好的下面我们严格定义一下积分

the Riemann integral of a function f

over the interval a b

is equals to S if

我们称f在一段闭区间a b上的

黎曼积分的值是S

如果满足下面的条件

注意我们把定积分的结果

叫做黎曼积分

好的请看 for epsilon positive

there exists some delta positive

such that for any tagged partition

of [a,b] with mesh m less than delta

we have the Riemann sum

minus S and the take absolute value

is less than epsilon

整个这段话再解释一下

它的意思是说任意epsilon大于0

存在某一个delta大于0 使得

任何分割注意是带标记的分割

tagged partition

只要这个分割它的精度m mesh

小于delta则我们有这样的事实

就是说它所对应的黎曼和

会与它的积分值S的差小于epsilon

换言之也就是说

S是这些黎曼和的极限

in such a case we say that f is

the Riemannian integrable

黎曼可积

黎曼可积意思就是

可以做定积分的意思

or integrable

integrable就是可积函数的意思

on a b 要指定在某一段区间a b上

and we denote 请看

这就是我们前面定积分的符号

定义它的值为S

这就是定积分的严格过程

我们可以这样总结一下

in summary one may simply write

the integration of f(x) over a b

is the limit of Riemann sum as

lambda goes to zero

这里头的lambda就表示

每一个tagged partition的精度

也就是它们的mesh

同学们刚才我们定义了

什么是定积分也叫黎曼积分

那么黎曼积分的过程

我们总结一下一共有四步

第一步是取partition分割

第二步取partition中的样本点

也就是构成tagged partition

第三步求黎曼和

第四步取极限

这个过程看上去是非常复杂的

也就是说积分实际上是一个

无限求和的过程

我们还有一些其他的注记

remark one point two

we denote the set of all the

integrable functions on [a,b]

as R[a,b]

全体在[a,b]上可积函数记成R[a,b]

R就表示Riemann黎曼可积的意思

continuous functions are integrable

连续函数一定是可积的

也就是说C[a,b] is a sub set of R[a,b]

另外还有if f is in R[a,b]

也就是说如果f是一个

[a,b]上的可积函数

by changing a finite number of

values of f over [a,b]

如果我们改变f的值

改变多少呢 有限个

在[a,b]中选定有限个点

在这些点f的值我们把它改掉

one still gets an integrable function

and the value of integral does not change

这时候我们得到新的函数

仍然是[a,b]上的可积函数

而且它的积分和原来

f的积分的值是一样的

这一点其实同学们不难理解

因为f的积分表示

它扫过的有向面积

对于有限个点而言

改变那些点的值

对于整个面积的贡献其实是0

因此我们有最后一条 也就是

只要改变f的有限个点的值

f依然可积 积分值不变

好的我们看一个具体的例子

suppose that f(x) equals

square root one minus x square

x in minus one

to one closed interval

好 考虑这个函数

这个函数定义在闭区间-1到1上

we have the integration from

minus one to one of f(x) equals

a half of pi

这是为什么呢

我们怎么知道这个结果

就是二分之pi呢

实际上很简单

因为这个二分之pi

是半个单位圆的面积

我们可以看一下图像

see the figure below

这里就是画的刚才

这个函数f的图像

那么根据定义

它所扫过的有向面积

只有正的部分

也就是图中的这个半圆

它的面积当然是二分之pi

Section Two Measure-Zero Set

零测集

同学们上一小节我们定义了

什么是可积也叫黎曼可积

那我们自然有一个疑问了

是不是所有的函数都黎曼可积呢

其实不一定

下面我们就要判定一下

什么样的函数是黎曼可积的

为此我们需要引入一个概念

叫做零测集

好的我们看一下定义

measure-zero set or null set

所谓零测集

a subset S contains in R

is called measure-zero

一个包含于R中的数集S

叫做是零测集

if for any epsilon positive

there exists a sequence of

closed intervals an bn which is in

R and n starts from one to infinity

什么意思呢

对任意的epsilon大于0

都能够找到一列闭区间an bn

使得the union of all these

closed intervals has S as a subset

换言之把这些闭区间

全体并起来之后

就能够覆盖住S

and the sum of all these bn minus an

把这些小的区间的

长度和全部加起来

会怎么样呢 小于epsilon

注意最后一个式子中

我们看到了一个级数

这个级数我们以前没有定义过

这在我们以后的学习中会用到

这里 它的含义就是

把所有这些小的an bn的长度之和

加起来 加起来之和是一个极限

这个极限的结果要求它小于epsilon

以上就是零测集的定义

零测集的定义比较复杂

可能不是那么好理解

但是直观的意思就是说

S它能够被一组长度之和

任意小的闭区间所覆盖

好的我们有下面的remark

a finite set in R has zero measure

任何一个有限的集合都是零测集

the set of rational numbers Q

has zero measure

而无限集Q也就是有理数集

尽管有理数集中的元素无穷多个

但是它仍然是一个零测集

好了有了刚才零测集的概念

下面我们就给出

黎曼可积的一个充分必要条件

theorem two point three

a function f(x) is integrable over a b

if and only if it f is bounded and

continuous almost everywhere

一个函数f是a b上的

黎曼可积函数的充分必要条件是

f是有界的而且

它是几乎处处连续的

我们解释一下什么叫做

continuous almost everywhere

几乎处处连续

它的意思是说

the set of points of discontinuity

has measure zero

也就是说f的全体间断点

F的全部不连续点

构成的集合是一个零测集

in particular we have

特别的我们有

if f(x) is piecewise

continuous on [a,b]

then f(x) is integrable over [a,b]

只要f是[a,b]上的逐段连续函数

则f一定是黎曼可积的

为什么呢

因为逐段连续意味着

只有有限个间断点

有限个间断点构成的集合

是一个零测集

好的 我们看一个不可积例子

the Dirichlet function

is not integrable

狄利克雷函数不可积

为什么呢

因为狄利克雷函数

处处都是不连续的

也就是说它的不连续点

是全体的实数

那么全体实数不是零测集

因此狄利克雷函数是不可积的

好 再看一个例子

define the function f(x) equals

one over square root of x

for x in zero to one

half open half closed interval

and f at zero equals zero

f在从0到1 不包含0的点

定义为1除以根号x

而在0点定义成0

好了这个函数它就是定义在

闭区间0到1上的函数了

那么它是不是可积的呢

it is not interable why

同学们马上就发现原因了

因为这个函数它是无界的

Section Three

Numerical Method of Definite Integrable

求解定积分的数值方法

同学们刚才我们定义了定积分

那么在实际的科学与工程计算中

我们该怎么计算定积分呢

实际上 我们有一些数值方法

它们能够给出定积分的近似值

请看下面我们介绍的这些方法

we will introduce some numerical

methods to estimate the integration

of a given function f on [a,b]

注意我们这里是说estimate

给出的估值

我们仍然目前如果

用数值方法的话

不能得到精确值

by dividing the interval [a,b] into

n parts of equals width

好了这里我们把a b区间

划分成n段等长的小区间

and we take delta x equals

b minus a over n

这就是每一段

等长的小区间的宽度

好的接下来我们要找

每一段等长的小区间中的

那个特殊的点

叫做zeta k 样本点

但是选择zeta k的方法很多

我们下面就取两种特殊的情形

第一种叫做

rectangular rule矩形法则

请看

我们把zeta k 取在区间的端点

一种比较简单的方法就是

令每一个zeta k为区间的端点

可以使左端点也可以是右端点

这两种取法得到的结果都叫

矩形法则所得到的积分近似值

好的我们来用图形来解释一下

rectangular rule矩形法则

请看图中我们有两幅图

这两幅图中都是对同一个函数

做了区间上的n等分划分

不同的地方在于取zeta k的不同

请看在左边这幅图中

每一个zeta k都取的是

相应区间的左端点

而在右边这幅图中

我们取的都是相应区间的右端点

这样的话会得到

两个不同的黎曼和

好的我们引入一些符号

let yk be the value of f at a plus

k delta x which is exactly

the value of f at xk

也就是说yk是f在xk处的取值

那么现在我们可以这样写了

黎曼积分f over [a,b]

这是我们精确值

它呢可以用我们现在给出的

这个式子去估算它

这个式子是

delta x times sigma k from

zero to n minus one yk

好了我们看出这个式子

实际上就是刚才我们这幅图中的

左边那幅图所对应的黎曼和

那么右边这幅图呢

也可以用另外的式子来表达

就是delta x乘以

sigma k from one to n yk

总之这两个式子

都能给出f积分值的估算值

它们都叫做rectangular rule

the first formula is the left-hand

rectangular rule

while the second formula is called

the right-hand rectangular rule

接下来我们介绍

梯形法则 trapezoidal rule

因为梯形在英语中叫做trapezoid

所以trapezoidal rule

汉语的意思是梯形法则

实际上刚才我们所介绍的

两个矩形法则

它们的值不一定相等

而且误差看上去也比较大

那么我们取两者的平均值

就会更精确了

这就是所谓的梯形法则

也就是说实际上

我们把刚才这幅图中的

条状带换成现在的梯形带

它们的和就会更精确地接近于

f的积分值

这就是trapezoidal rule的几何解释

换言之就是把刚才的两个不同的

rectangular rule所给出的黎曼和

取一个平均

就会得到更精确的

f的积分值的估算

它的公式就是

k from zero to n minus one take

summation of a half of yk plus

y k plus one times delta x

这个也可以换做下面这个公式

就是 delta x over two times y zero

plus twice the summation from k

to n minus one of yk and plus yn

好的 我们要记住下面这个注记

就能明白矩形法则了

the trapezoidal rule is the average

of the left-hand and right-hand

rectangular rules

接下来我们介绍一个法则

叫做辛普森法则 Simpson’s rule

实际上我们已经看出来了

不管是矩形法则还是梯形法则

实际上我们都相当于用

直线段去逼近了原来函数的曲线

下面我们要介绍的另外一种方法

会更精确

它用的是抛物线来

逼近原来函数的曲线

请看在这幅图中我们演示了

Simpson’s rule是如何工作的

还是把区间分成n段

但是在每一段的顶部

我们要用一个新的曲线

去拟合原来函数f的曲线

这一段曲线实际上是一段抛物线

它更加的平滑

当然这个方法

我们就不解释那么详细了

同学们可以参考有关的教材

或者工具书

总之最后我们会

得到这样一个公式

这个公式会给出

f的积分的更精确的值

这个结果是

delta x 除以6乘以求和

k从1到n减1 y k减1加上

4倍的yk 再加上y k加1

利用这个公式所算出来的

f的积分值的逼近

会非常的精确

注意我们还有另外一个事情

there are others types of

Simpson’s rules

刚才这个公式是比较简单的

Simpson’s rule的公式

也有更复杂的同学们可以

参考工具书的解释

最后我们还有这样一个注记

these methods are known as

numerical approximation of

definite integrals

刚才所介绍的这三种方法

都叫做定积分的数值逼近

in general the error in approximating

an integral decreases as n increases

只要我们把n等分的n

取的充分的大

则通过上述公式所

计算出来的估值会

越来越接近于我们所要的

f积分值的精确值

同学们刚才我们简单介绍了

三种计算定积分的数值方法

在实际应用中实际上

已经有了非常成熟的软件

所以我们并不需要大家

再重复一遍这个过程

关键就是通过这些方法

我们能够充分的理解

积分的含义和本质

同学们 以上就是这一讲的全部内容

这节课 我们简单介绍了一下

定积分 还有黎曼可积函数的判别

以及零测集的一些相关概念

理解定积分呢 其实非常的简单

就是函数图像所对应的有向面积

希望同学们对这些概念

能够熟练地掌握

对于零测集这个概念呢

同学们只要理解就可以了

暂时不需要做深入的探究

希望课后同学们做一些简单的练习

来巩固这部分内容

好的 下节课 我们继续学习积分

同学们 再见