Basics of Derivatives (导数的基本定义)在线视频

同学们 你们好

欢迎来到mooc在线课程微积分

上一章我们学习了函数 函数的极限

函数的连续性等等内容

在这一章 我们将学习

与函数有关的另一项非常重要的内容

这就是导数

导数是研究函数变化的量化特征

可以简单的理解成速度 变化率

增长率等等

在第一单元我们将严格定义

什么是导数

希望同学们不但掌握

这些抽象的定义

而且明白这定义背后的思想

好的 下面我们就先从

导数的定义讲起

Chapter 4 Derivatives 导数

Unit 1 Basics of Derivatives

导数基本定义

Section 1 Definition of Derivatives

导数的定义

同学们

当我们描述一个函数变化的时候

我们经常会说

这个函数上升的很快或者很慢

但是快与慢这样的词语

不能够精确地表达函数的变化

我们在数学上需要一个精确的量

来表征函数变化的速度

这就是我们接下来要讲的导数

我们先给一个定义

就是所谓的Secant line割线

什么是函数图像的割线

请看 Let P and Q be two points

on the graph of a function y=f(x)

对于一个给定的函数y=f(x)

我们取定其图像上的两个点P和Q

then the straight line

through these two points

is called a secant line

也就是说把这两点连起来

得到一条直线

这就是所谓

这个函数图像的割线了

好的我们看一下图像

这里我们假设取了函数

y=f(x)的某一段图像

在这上面取定两个点P, Q

把通过P, Q的直线画出来

就是这条曲线的割线

同时在这幅图中

我们还画了一条切线

tangent line

这条切线是通过P点的

那我们可以看出这个切线

就非常贴近于这条曲线

所以说 切线在很大程度上

描绘了曲线在一个点附近的变化

这就是导数的思想

下面我们继续研究一下

到底该如何把这条切线

精确地计算出来

in the figure above PQ is a secant line

between points P and Q

在上面的图中

我们取定了割线PQ

当然PQ的坐标可以具体写出来

假设P点的坐标是(x0,f(x0))

而Q呢是(x0+Δx,f(x0+Δx))

请注意 这里我们假设

PQ在横坐标的差距就是Δx

its slope is ms equals f x naught plus Δx

minus f x naught divided by Δx

同学们这里这个公式给出来的呢

实际上就是刚才割线PQ的斜率

这个斜率公式

我们可以把它简写为Δy除以Δx

其中Δy就是刚才写的分子这个量

那么这里的割线

和我们要找的切线之间有什么关系呢

这就是我们接下来

重要的思想取极限

As Δx approaches zero

the secant lines approach the tangent line

这句话什么意思呢

也就是说当Q点越来越接近p点的时候

这个时候它们之间横坐标的差距

也就是Δx会趋近于零

这个时候产生了一簇割线

这一簇割线他就逐渐地

接近于我们要找的切线了

if it exists, to the graph at P

什么意思呢

因为我们这里假设了切线要存在

如果它存在的话

我们真的可以这么想这个问题

同学们 我们刚才强调了

切线要事先存在

并不是函数曲线上

任何地方都存在切线的

有的时候还真是找不着切线的

我们刚才说切线有可能不存在

如果存在的话

可以用逼近的方法来找到的

这就是我们下面给出的导数的定义

请看定义

Definition 1.2 Derivative

if the limit f prime at x naught

equals limit as Δx

approaches zero f(x0+Δx)

minus f(x0) over delta x

if this limit exists

什么意思呢 请看一下

我们这里取的极限到底是什么

这个极限式中

实际上就是刚才我们所画的

那一簇割线的斜率

也就是说如果这一簇斜率

越来越接近于某一个特定的值

那么这个值

就一定是我们要找的切线的斜率

这个斜率呢刚才这个公式中

用了一个特殊的符号

就是f一撇x0

这在英语中念做f prime at x naught

或者读作f prime of x naught

或者呢直接叫作

the derivative of f at x naught

好了 如果这个条件成立

我们就说f(x) is said

to be differentiable

at x naught

也就是说f在x0点是可微的

and f’(x0) is called the derivative

of the function f at x0

刚才这个量f’(x0)就叫做

f在x0点的导数

也叫导数的值

我们有这样一个注记

remark1.3, f’(x0) is also denoted

by df/dx(x0) or df(x0)/dx, or d/dx(x0f)

我们这里一口气列出了四个符号

这四个符号在数学中都非常的常见

它们都表示刚才那个极限

如果那个极限存在的话

接下来我们看一个重要的定理

Theorem1.4

A function f is differentiable

at a point x0

if and only if there exists

some number A in R

such that f(x0+Δx)

equals f(x0) plus A times Δx

plus little o of Δx

as Δx approaches zero

什么意思呢

一个函数在某个点x0是可微的

充分必要条件是下面的公式成立

这个公式是说f在x0处的微小变化

也就是用f(x0+Δx)这个量所表征的量

它呢会等于f(x0) 再加上AΔx

再加一个无穷小量

请看 这个无穷小量是o(Δx)的形式

意思是说 它趋于零的速度

比Δx趋于零的速度还要更快一些

这是为什么呢

希望同学们把这里的这个公式

和刚才我们给出的f可微

也叫可导的定义呢对比一下

也就自然明白了

实际上完全就是定义的事情

这里这个A是某以一个特定的数

实际上它恰好就是刚才

给出来导数的值

所以我们说in such a case

A is exactly f prime at x naught

接下来

我们要讲一个非常重要的事情

An important fact is the following

Theorem 1.5

If f is differentiable at x0

then it is continuous at x0

如果f在一个点x0处可微的话

它一定在这个点也连续

这件事情理解起来并不困难

因为可微是非常强的条件

要求切线存在

所以我们自然可以想象

f在那个点的变化不能够太大

也就是说它的变化

要依赖于自变量的变化

当然是连续的

当然同学们也可以用连续的定义

去严格证明这件事情

这里呢 我们就省去了

但是我们要注意

我们这里有另外一个注记

Remark1.6

就是刚才这件事情反过来不一定成立

A function f being continuous at x0

is not necessarily differentiable at x0

函数f在某个点的连续性

不能保证它的可微性

这个原因呢

是因为可微性等价于切线的存在性

但是切线还不一定真的是存在的

我们可以看几个例子就明白了

请看Example 1.7

f(x) is defined to be

the absolute value of sin(x)

这是一个很基本的函数

好了我们看一下这个函数呢

它在某些点实际上就是不存在切线的

接下来我们会看一下它的图

通过这个图我们就会看到

this function is continuous

at points of kπ,

but it is not differentiable

at these points

也就是说这个函数

它在所有π的整数倍的地方

都是连续的

但是呢不是可微的

也就是说切线不存在

请看它的图像

这里我们画的就是

f(x) equals the absolute value of sin(x)

我们看到在整数点的地方图像是尖的

那么尖的位置

我们自然不可能找到一条直线

来作为这个函数图像的切线了

直观上 这是非常容易理解的

当然也可以严格地证明

为什么它们在整数点是不存在导数的

Section 2

Right-Hand and Left-Hand Derivatives

右导数与左导数

同学们 上一小节

我们讲了函数的增长速度

我们用的量是导数

那么导数定义里边那个Δx趋近于零

是从双侧趋近于零

也就是说既要求它从正侧趋于零

也要求他从负侧趋于零

如果我们只关注

函数在一侧的增长情况的话

那么我们就只取单侧的极限

得到的结果就是下面要讲的单侧导数

也叫单点导数

请看定义 Definition 2.1

Right-hand derivative

右侧导数

这个右侧导数跟刚才定义导数差不多

只有一点点差异

请看这个差异在哪里

if the limit f prime plus at x naught,

which is defined to be the limit

as h approaches zero plus

of f(x0+h) minus f(x0) over h exists,

then f prime plus x naught

is called the right-hand derivative

of f(x) at x0

好了我们认真看一下这个定义

这里边呢 我们把刚才

取极限用的那个符号Δx换成了h

我们这里呢

只要求h从右侧趋近于零

如果这个极限存在的话

我们把这个符号记成f’+

这个f’+这个符号就区别于

刚才我们引进的f’这个符号

总之f’+(x0)它就是所谓的右导数

它表征的是f在一个点x0

朝右侧走的时候增长的情况

这个增长的量就是f’+(x0)

它表示向右侧增长的速度

类似的

如果我们只考虑左侧函数的增长情况

那么我们得到的就是左侧导数

它的定义跟刚才的定义是完全平行的

请看Definition 2.2

Left-hand derivative

我就不再念一遍了

整个这个定义跟上面是完全一样的

唯一的差异呢就是h趋近于零的时候

是从左侧趋于零

so here h is approaching zero

from left-hand side

所以得到的结果就是

Left-hand derivative 左导数

好下面我们看一个具体的例子

Example 2.3

还是考虑刚才的函数

f(x)=|sin(x)|

这个函数我们刚才讲过了

在π的整数倍的地方不存在切线

但是单侧切线却是存在的

我们下面看一下它的图就明白了

it is left hand

(and right hand) differentiable

它真的是有左侧和右侧的导数的

也就是说左侧可微

也右侧可微

at all those points at kπ

请看它的图像

你看 这里我们标记了一个点

这个点整体的切线是不存在的

但是如果我们只取单侧切线的话

还是存在的

所以我们画出来两条不同的切线

这两条切线所对应的斜率就分别是

这个函数在那些整数点的左侧导数

或者是右侧导数

刚才这幅图中

我们画出了两条不同的切线

那么这两条切线

它的斜率到底是多少呢

in fact we have f’+(kπ) equals one

这句话的意思是说

刚才画的在kπ点

从右侧趋于kπ点的那一条切线

它的斜率是1

and f’-(kπ) equals minus one

从左侧趋于kπ的那条切线的斜率是-1

can you prove these facts

同学们能试试证明这件事情吗

实际上若要证明这两件事情

是要用一下三角函数的和差化积

这样的公式 也比较复杂

后面我们在证明一些

具体导数的时候会重复一遍

现在呢同学们可以自己动手试一下

类似于刚才可微与连续性的关系

关于单侧导数

我们也有类似的单侧可微

与单侧连续的关系

请看Theorem 2.4

If f is left-hand differentiable at x

then it is left-hand continuous at x

当然右侧的时候也有类似的结果

这个定理呢当然是不难理解的

我们就不做更多的解释了

当然刚才这个定理反过来是不对的

Note that the converse

of this theorem is not true

Here we have an example

我们再看一个例子吧

we consider f(x) equals square root

one minus x square

请看这个函数

根号下1减去x的平方

他定义域是闭区间-1到1

它是这个闭区间上的连续函数

毫无疑问 我们后面会画一下它的图

well, this function is continuous

on the left or right hand at 1 and -1

这个函数它在端点 也就是1和-1处

是单侧连续的

这个是因为这个函数是初等函数

但是

it is not left

or right hand differentiable

at these two end points

在这两个端点处

他可不存在单侧的切线

也就是说单侧可微不成立

这是为什么呢

我们看一下图就明白了

请看 这里我们画出来

f(x) equals square root

one minus x square

那么它的图像我们看出来

毫无疑问是一个连续函数的图像

但是在端点处我们看到

它的切线会怎样呢

实际上这个切线是完全平行于y轴

也就是说它是垂直的切线

垂直切线如果用极限的语言

来表示的话

就是极限趋近于正无穷或者负无穷

换言之这个极限实际上是不存在的

因此我们说它单侧的导数

实际上是取不到的

所以说这个函数在两个端点处

不存在单侧的导数

也就是说单侧也是不可微的

那么有同学自然要问了

单侧的导数

和我们前面讲过的导数之间

有什么联系呢

这是一个非常好的问题

有点类似于我们前面讲过的

单侧连续与连续的关系

请看下面的定理

Theorem 2.6

A function f is differentiable at x naught

if and only if f prime plus x naught

equals f prime minus x naught

什么意思呢

f在一个点可微的充分必要条件

是双边的单侧导数都存在

而且这两个单侧导数值要相等

当然这个定理呢

理解起来也是非常容易的

我们就不做证明了

总之 单侧导数

和导数所表征的函数的性质

都是切线

而切线表示了函数

在无穷小变化的时候的速度的快慢

因此导数也可以称作增长率

变化率等等

所以从这个意义上来看

导数自然是非常重要的数学量

好的 以上就是这一讲的全部内容

我们严格定义了导数以及单侧导数

希望同学们能够明白可微性

与连续性之间的联系

在此基础之上呢

下一节我们将学习

区间上的可微函数

好的 我们下节课再见