当前课程知识点:微积分-1 > Chapter 4 Derivatives 导数 (second part) > Unit 4 Derivatives of Commonly Used Functions (常见函数求导) > Derivatives of Commonly Used Functions (常见函数求导)
同学们 你们好
欢迎来到mooc在线课程微积分
之前的两节课呢 我们学习了一些
基本的函数类型的求导
以及基本的求导法则
在此基础之上呢 我们现在就可以
计算一些更为复杂的函数的导数了
这就是我们今天这节课的主要内容
我们要罗列很多函数的导数
应该说 今天我们要讲的这些
函数的导数 是前面我们讲过的
基本函数导数表的补充
我们并不要求同学们
能够全部背诵这个函数导数表
但是呢 希望同学们能够理解
熟悉 学会使用这个表格
好的 下面我们就一点一点
来看一下这个导数表吧
Chapter 4 Derivatives 导数
Unit 4
Derivatives of Commonly Used Functions
常见函数求导
好的 同学们
这一单元 我们要罗列很多
常见函数的导数表
这个导数表就是我们前面讲过的
基本函数的求导公式的补充
这些函数 因为比较常见
所以我们有必要
把它们一个一个罗列一下
同学们无需把这些表背下来
但是 最好能把每一个函数
求导的过程 推导一遍
好的 我们看一下这张表
in the following we assume that
u is a differentiable function of x
在下列表中 我们总是假设
u是x的可微函数
with the rules for differentiation
and the derivatives of elementary
functions mentioned before
we have the following derivatives
of functions
结合以前我们讲过的
关于微分或导数的基本公式
我们下面罗列一些函数的导数
请看 第一个
d dx tan u 注意 我们这里
u是x的函数
所以这是一个复合函数
按照复合函数求导的链式法则
它的结果应该是对这个tan u
对u先求导
然后再乘以u对x的导数
tan 这个函数怎么求导数呢
其实我们推导过了
它的结果是 sec square
也就是cos 平方分之一
所以 我们现在把这个结果写成
sec square u times du over dx
我们后面这个表中
所有的公式都用这种方式来列
好的 接下来我们看一下
d dx of cot u z这个推导过程
跟刚才tan u的过程差不多
结果是 minus csc square u
times du over dx
接下来 我们看一下
sec u 的导数 这个推导过程
同学们可以自己做一下
结果是 sec u times tan u
times du over dx
类似的还有
d dx of csc u equals
minus csc u cot u times cot u
times du over dx
刚才我们所列的几个函数的
求导公式是用了除法的求导法则
接下来 我们要列几个
反三角函数的求导公式
这些公式的推导
主要是应用了前面我们讲过的
反函数求导法则
好的 我们看一下
d dx of arcsin u equals
one over square root one minus
u square times du over dx
arcsin 的求导 我们前面做过
所以这个结果
同学们不会感到陌生
类似的 我们还有
d dx arcos u equals minus one over
square root one minus u square
times du over dx
接下来我们看一下
arctan arctan的导数
实际上是这样给出来的
one over one plus u square
times du over dx
还有 arccot 它的结果是
minus one over one plus
u square du over dx
接下来我们看 arcsec u
它的求导结果如表中所示
我们就不给同学们仔细地念一遍
同学们最好自己操作一遍
注意这里边出现了正负号
这个正负号 分别 我们在
这个表中还是要给同学们分列一下
出现正号的时候是u大于1的时候
出现负号是u小于-1的时候
类似的我们还有 arccsc u
它的导数 我们也给出来
注意这里边仍然有正负号的差异
出现负号的时候是u大于1
出现正号的时候是u小于-1
这些细微的差异
同学们可能记不住
但是只要我们曾经推导过一遍
就知道这些细节的差异
在今后用的时候
我们就会特别的小心
刚才我们已经罗列了
三角函数和反三角函数的导数表
接下来 我们类似的要罗列出
双曲函数和反双曲函数的导数表
请看第一个就是sinh u
它的倒数 它结果是
cosh u times du over dx
类似的 cosh u的导数是
sinh u times du over dx
这两个结果
同学们直接验证就可以了
这并不是很困难
接下来 我们看 tanh 的导数
它的结果是
sech square u times du over dx
类似的 coth u的导数
我们这里有写出来 这两个
同学们一定要自己推导一下
接下来 我们看一下 sech u
它的结果可以这样写
当然也有类似的等价的写法
类外 我们这里给出csch 的结果
这些结果都非常的类似
同学们以后在应用的时候
直接查表就可以
并不需要自己再推到一遍了
接下来 我们看一下 反双曲函数
第一个反双曲函数是arcsinh u
那么它的结果 我们这里也列出来
类似的 arccosh u的结果
我们也在这里给同学们算出来了
好 接下来 我们看一下
其他一些反双曲函数的求导公式
这里我们先给出 arctanh u的
导数结果 它和前面我们说的
arctan 也就是反三角函数的结果
非常的相像
但是这里我们一定要注意
它成立的范围
当然类似的还有其他的一些公式
我们就不一一给同学们念了
同学们一定要注意
每一个公式成立的范围
例如 arccoth 它的导数
它的成立范围是u大于1
当然还有一些其他的反双曲函数
我们这里也罗列一下
就不给同学们一一详细解释了
同学们 刚才我们罗列了
这些常见函数的求导公式表
这个表格在一般的高等数学
或者微积分书上 都能找到
我们最好自己亲自推导一遍
但是并不需要把它们背下来
只要我们能够熟悉这些公式
后面我们用的时候
就能够通过查表非常快地
找到我们需要的公式
同学们 以上就是我们今天
要求导的全部函数
那么到此为止
我们已经基本掌握了
第三章中提到的
所有常用函数的导数
这些函数求导的具体过程呢
我建议同学们在课下
自己再推导一边
这样 有助于我们熟练的运用
函数的求导法则和技巧
为以后学习下一章
也就是积分的一章打下坚实的基础
好的 这节课就到这里
同学们 我们下节课再见
-Unit 1 Review of Real Numbers (回顾实数)
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--Exercise1-1
-Unit 2 Exponentiations, Logarithms and Sets (指数、对数与集合)
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-Unit 3 Limit Points, Open and Closed Sets (聚点、开集与闭集)
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--Exercise-1-3
-Unit 4 Bounds and Completeness (有界性与完备性)
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--Exercises-1-4
-Unit 5 Complex Number System, Algebraic and Transcendental Numbers (复数、代数数与超越数)
--Complex Number System, Algebraic and Transcendental Numbers (复数、代数数与超越数)
--Exercise-1-5
-章节测验1
--章节测试1
-Unit 1 Limit of a Sequence (数列的极限)
--Exercises-2-1
-Unit 2 Theorems on Limits of Sequences (数列极限定理)
--Theorems on Limits of Sequences (数列极限定理)
--Exercises-2-2
-Unit 3 Infinity and Bounded Monotone Sequences (无穷大和单调有界数列)
--Infinity and Bounded Monotone Sequences (无穷大和单调有界数列)
--Exercises-2-3
-Unit 4 Limit Superior and Limit Inferior (上极限和下极限)
--Limit Superior and Limit Inferior (上极限和下极限)
--Exercises-2-4
-Unit 5 Nested Intervals Theorem and Cauchy’s Convergence Criterion (区间套定理和柯西收敛准则)
--Nested Intervals Theorem and Cauchy’s Convergence Criterion (区间套定理和柯西收敛准则)
--Exercises-2-5
-章节测验2
--章节测试2
-Unit 1 Functions and Graphs (函数与图像)
--Functions and Graphs (函数与图像)
--Exercises-3-1
-Unit 2 Algebraic Function,Transcendental Functions and Inverse Trigonometric Functions (代数函数,超越函数与反三
-- Algebraic Function,Transcendental Functions and Inverse Trigonometric Functions(代数函数,超越函数与反三角函数)
--Exercises-3-2
-Unit 3 Hyperbolic Functions and Inverse Hyperbolic Functions (双曲函数与反双曲函数)
--Hyperbolic Functions and Inverse Hyperbolic Functions(双曲函数与反双曲函数)
--Exercises-3-3
-Unit 4 Maximum and Minimum, Increasing and Decreasing (极大值与极小值,单调增与单调减)
--Maximum and Minimum, Increasing and Decreasing (极大值与极小值,单调增与单调减)
--Exercises-3-4
-Unit 5 Limits of Functions (函数的极限)
--Exercises-3-5
-Unit 6 Infinity (无穷)
--Exercises-3-6
-Unit 7 Theorems on Limits and Special Limits (极限相关定理与特殊极限)
--Theorems on Limits and Special Limits (极限相关定理与特殊极限)
--Exercises-3-7
-Unit 8 Continuities (连续性)
--Exercises-3-8
-Unit 9 Theorems on Continuity (关于连续性的定理)
--Theorems on Continuity (关于连续性的定理)
--Exercises-3-9
-Unit 10 Piecewise Continuity, Uniform Continuity, and Discontinuities (分段连续性, 一致连续性与不连续性)
--Piecewise Continuity, Uniform Continuity, and Discontinuities (分段连续性, 一致连续性与不连续性)
--Exercises-3-10
-Unit 11 Infinitesimals and Bounded Quantities (无穷小量与有界量)
--Infinitesimals and Bounded Quantities (无穷小量与有界量)
--Exercises-3-11
-章节测验3
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-Unit 1 Basics of Derivatives (导数基本定义)
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--Exercise-4-1
-Unit 2 Differentiability on Intervals, Piecewise Differentiability and Differentials (区间上的可微性,逐段可微性与
--Differentiability on Intervals, Piecewise Differentiability and Differentials (区间上的可微性,逐段可微性与微分)
--Exercise-4-2
-Unit 3 Basic Methods of Differentiation (基本求导方法)
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-Unit 4 Derivatives of Commonly Used Functions (常见函数求导)
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-Unit 5 Higher Order Derivatives and Mean Value Theorem (高阶导数与中值定理)
--Higher Order Derivatives and Mean Value Theorem (高阶导数与中值定理)
--Exercise-4-5
-Unit 6 L'Hospital's Rules (洛必达法则)
--Exercise-4-6
-Unit 7 The First and Second Derivative Tests (导数判别法)
--The First and Second Derivative Tests (导数判别法)
-Unit 8 The Taylor Formula (泰勒公式)
--Exercise-4-8
-章节测验 4
--章节测试4
-Unit 1 Definite Integrals and Numerical Methods (定积分与数值方法)
-- Definite Integrals and Numerical Methods (定积分与数值方法)
- Exercise 5-1
-Unit 2 Properties of the Definite Integrals and the Fundamental Theorem of Calculus (定积分的性质与微积分基本定理)
--Properties of the Definite Integrals and the Fundamental Theorem of Calculus (定积分的性质与微积分基本定理)
--Exercise-5-2
-Unit 3 Integrals of Elementary Functions and Integration by Substitution (初等函数的积分,换元法)
--Integrals of Elementary Functions and Integration by Substitution (初等函数的积分,换元法)
--Exercise-5-3
-Unit 4 Integration by Parts and Special Techniques(分部积分法与特殊技巧)
--Integration by Parts and Special Techniques(分部积分法与特殊技巧)
--Exercise-5-4
-Unit 5 Integrations of Rational Fractions and Trigonometrical Rational Functions(有理分式函数与三角有理函数的积分)
-- Integrations of Rational Fractions and Trigonometrical Rational Functions(有理分式函数与三角有理函数的积分)
--Exercise-5-5
-Unit 6 Arc Length(弧长)
--Exercise-5-6
-Unit 7 Areas and Volumes(面积与体积)
--Exercise-5-7
-章节测验5
--章节测试5
-课程讲义