Algebraic Function,Transcendental Functions and Inverse Trigonometric Functions(代数函数，超越函数与反三角函数)在线视频

同学们 你们好

欢迎来MOOC在线课程微积分

这一讲 接着上一讲

我们要继续介绍基本的函数类型

今天 我们要学习的是

代数函数 超越函数 以及

三角函数的反函数

就是反三角函数

同学们在学习过程中

要特别注意

这几种函数类型的判定方法

定义域图像等等基本的知识

好的 下面我们从

什么是代数函数讲起

Chapter Three

Functions Limits and Continuity

Unit Two Algebraic Functions

Transcendental Functions and

Inverse Trigonometric Functions

代数函数超越函数与反三角函数

Section One Algebraic Functions

代数函数

同学们回忆一下

前面我们讲过了什么叫做代数数

它们是整系数多项式方程的根

这一小节我们要介绍

什么叫做代数函数

它有点类似

简而言之 代数函数就是

实系数二元多项式方程

的一个解函数

好 我们看一下定义

definition of algebraic functions

an algebraic function f is a function

y equals f of x that satisfies

an equation of this form

也就是说 代数函数是这样一个

y equals f of x

它满足下面这样一个方程

p nut of x times y to the n-th power

plus p one of x times y to the

n minus one plus dots plus

p n minus one of x times y plus

p n x equals zero

这样一个方程

注意这个方程中

x要跑遍f的domain

而其中的p nut of x dots p n of x

they are in R bracket x

同学们或许还记得R方括号x

这个符号的含义

也就是所有的实系数多项式集合

也就是说刚才这个方程中

所有的 p0 x p1 x一直到pn x

它们都是多项式函数

而y equals f of x就恰好要满足

这样一个多项式方程

注意这里边 系数都是x的多项式

而y是一个待解的函数

凡是满足这种方程的函数

就叫做algebraic function代数函数

当然注意 这里我们要求第一个

p0 它是不能等于0的

它一定是一个非零的多项式函数

some algebraic functions can be

expressed using a finite number

of terms

刚才的定义非常抽象

实际上有的代数函数

是可以写的比较简单的

only involving the algebraic

operations addition subtraction

multiplication division and

raising to a fractional power

也就是说 有的代数函数

可以只用加法 减法 乘法 除法

以及分数次幂这种形式的

操作的叠合来实现

看一个例子

f of x equals square root of x square

plus square root of two minus

x square plus bracket one minus

x to the four fifths power and

to the fourth power over cube root

of x plus one

注意这里的x定义域是

x is not equals to minus one

尽管这个函数非常的复杂

实际上它就是一个

典型的代数函数的例子

它就满足某个以x的多项式

为系数的方程的根

我们可以仿照上节课

对有理函数的定义

类比定义有理代数函数

和无理代数函数

请看 an algebraic function f is

classified as

每一个代数函数

都可以分成两种类型

第一种类型叫做

a rational algebraic function

有理代数函数 什么意思呢

if the function can be expressed

as the quotient of two polynomials

也就是说 它就是一个有理式

P of x over Q of x

where P and Q are polynomials

and Q is not zero

这就是我们上一节讲的

有理函数的定义

这种函数它是典型的

代数函数的类型

另外呢 凡是不能写成这种

有理代数函数形式的

我们把它叫做

irrational algebraic functions

无理代数函数 otherwise

也就是上面这种情况以外的

全体代数函数

我们看一个例子

example y equals one over

one plus x square

它就是一个

rational algebraic function

while y equals one over

square root of one plus x square

这个就是一个典型的

无理代数函数

irrational algebraic function

Section Two

Transcendental Functions

超越函数

同学们注意

上一节所讲的代数函数

并不包括所有的函数

比如对数函数

显然就不属于代数函数

再比如三角函数指数函数等等

都不是代数函数

为此我们要引入另外一个概念

就是所谓的超越函数这个概念

来定义这一大类函数

好 我们看一下什么是超越函数

definition of transcendental functions

transcendental functions are functions

which are not algebraic functions

这个定义很简单 就是一句话

凡是不是代数函数的函数

都叫做超越函数

好 同学们 下面我们讲一下

所谓的

elementary transcendental function

也就是 初等超越函数

这些就是初等的超越函数的例子

第一种 exponential functions

指数函数 比如

f(x) equals a to the x-th power

当然这里要求

a是一个正数 a不能等于1

再比如

logarithmic functions对数函数

f(x) equals log of x to the base of a

当然这里要求

a还是大于0 a不能等于1

再比如

三角函数 trigonometric functions

比如 sin x cos x tan x 等等

好 我们有这样一个注记

transcendental functions

也就是说除了上述讲的

初等的超越函数以外

当然还有各种各样

非初等超越函数

比如x to the square root of two

x的根2次方

这个函数它就不是

刚才所列的几种初等函数之一

再比如x to the x-th power

x to the one over x

这样的函数

这些函数定义都比较奇怪

它都叫做超越函数

同学们三角函数属于超越函数

通过这个函数我们可以把一个

角度换成一个数值

那反过来 把一个数值转换成

一个三角函数所取的角度

这就是所谓的反三角函数

有的同学可能在中学阶段

已经学过反三角函数了

这里 我们明确一下

反三角函数的定义

the following is a list of inverse

trigonometric functions their

principle values and their graphs

下面我们罗列一下

常见的反三角函数

以及它们的主值和它们的图像

请看

第一个 y equals arcsin of x

这个函数通常也可以记作

y equals sin to the minus one of x

这两种记法 在书上都会出现

同学们要熟悉一下

好 这就是典型的反三角函数

它表示sin of x这个函数的反函数

什么意思呢 y equals arcsin of x

它的定义为 凡是满足

sin y equals x这样关系的y和x

当然这里我们约定y和x的范围

才能够彻底的定下来

y到底是怎样一个数

我们约定y介于minus a half of pi

and positive a half of pi

y要介于负二分之pi

和正二分之pi之间

当然y可以取到这两个端点

这时候任给一个指定的x

介于负1和正1之间

就能够找到唯一的y

满足sin y equals x

所以这个函数也就确定下来了

好 我们看它的图像

这里我画的是

f(x) equals sin of x 的图像

当然x介于负二分之pi

和正二分之pi之间

这个函数在这个区间内

它的定义关系是1到1的

也就是任给一个自变量

它唯一的对应了一个因变量

因此它存在反函数

它的反函数就是刚才定义的

y equals arcsin of x

我们看看图像

f(x) equals arcsin of x

x介于负1和1之间

它的值域介于

负二分之pi和正二分之pi之间

好同学们 下面我们介绍

另外一个非常重要的反三角函数

也就是y equals arccos x

这个也可以记作

y equals cos to the minus one x

它是cos x的反函数

它定义是这样的

y equals arccos x if and only if

当且仅当这样的关系成立

也就是cos y equals x

也就是由cos y等于x

这个关系所确定的y和x

当然这里我们约定

y is in between zero and pi

y一定要介于0与pi之间

y可以取到0和pi

而x还是在负1和1之间

这时我们看它的图像吧

请看 第一个我们画的是

f(x) equals cos x

这个函数的图像

当然我们约定x

界定于0与pi之间

我们看到在这个区间内

这个函数它是1到1的

也就是它把每一个自变量

唯一的对应到某一个因变量

反过来任给一个因变量

也唯一的对应了一个自变量

这时候它就有反函数了

它的反函数图像就是刚才提到的

y equals arccos x

它的图像是这样的

请看 f(x) equals arccos x

where x is in between

minus one and one

f的值域恰好是0到pi之间

好同学们 最后我们介绍

第三种反三角函数

这也是一种

非常重要的反三角函数

它就是y equals arctan x

这个函数也可以这样记

y equals tan to the minus one of x

这个函数定义式是这样的

y equals arctan of x if and only if

tan of y equals x

也就是通过tan y equals x

这个等式所确定的y与x的关系

这里我们再次强调一下

这里的约定

就是y要介于

负二分之pi与正二分之pi之间

但是y不能取到负二分之pi

也不能取到正二分之pi

为什么y不能取到这两个端点呢

我们看一下下面的图像

请看f(x) equals tan of x

当x介于负二分之pi

和二分之pi之间的时候

tan of x的取值是从

负无穷到正无穷

但是x是不能取二分之pi

也不能取负二分之pi

因为在这两个点

tan of x都没有定义

那么它的反函数就是通过

刚才这个tan x所确定的

x与y之间的一一对应关系

所定义的

这就是artan x 的图像

所以x的取值是从

负无穷到正无穷

也就是全体实数

而y就只能取

负二分之pi与正二分pi

之间的数值

但是它永远不可能取到

负二分之pi或者正二分之pi

Section Three

Inverse Trigonometric Functions

反三角函数

有一点我要特别提醒同学们

由于三角函数是周期函数 所以

有无穷多个角度

对应着同一个三角函数值

所以它通常不是一一对应关系

那么反三角函数

我们只是给出其中一个

指定的角度

所以我们一定要牢记

这些约定的反三角函数的

值域和定义域的范围

下面我们看一个例子

这个例子is an example

in simplifying the expression

we should pay close attention

to the domain and range

while simplifying them

简化带有反三角函数的

数学式子的时候

我们要特别留心

其中的定义域值域的关系

arctan of x compose with cos

也就是把arctan x

带入cos的结果应该是

one over square root

one plus x square

这个关系式

我们没有讲它是为什么

希望同学们在课后

认真推导一下这个式子

这其中就要用到

arctan值域的约定

注意这个式子是对

任意的x在R中都是成立的

我们也要注意这个

arctan x的范围是在

负二分之pi到二分之pi之间

因此 整个这个cos arctan x

它的值域是(0, 1]

但是它取不到0但能取到1

这其中的缘由

希望同学们要认真的思考一下

好 下面我们看一个定义

定义什么呢 定义初等函数

elementary function

an elementary function is a function

of one variables

一个初等函数它是一个单变量函数

也就是它只有一个自变量

built from a finite number of

exponentials logarithms constants

n-th roots trigonometric functions

and their inverses

这句话的意思是说

一个初等函数就是

能经过有限次的复合

复合什么呢

指数 对数 常数 n次根 三角函数

以及它们的反三角函数等等等等

这些运算所构成的结果

就叫做初等函数

当然这里头 你看我们用到了什么

用到了各种各样的初等函数

比如说指数函数对数函数等等

以及加减乘除复合等基本的运算

这样的结果就叫做初等函数

好 看一个例子

f(x) equals e to the arcsin x square

minus one minus logarithm of tan x

over square root x cube minus one

plus one over five x minus six

你看 这就是一个典型的初等函数

它是很多很多个基本的函数

经过复杂的运算

组合复合而来的 那么

can you find the domain of f

同学们能不能

通过这个函数的表达式

来找一下f的定义域呢

我们这里直接公布一下答案

它就是one to square root of two

except six over five

这是它的定义域

希望同学们在课后仔细地

思考一下为什么

它的定义域是这样一个结果

同学们以上这些

基本的函数类型

同学们要牢牢的记住

它们的定义性质还有图像

特别要注意

它们的定义域和像集是什么

否则一不小心

就会犯一些低级的错误

同学们这一讲就到这里

我们学习了什么是代数函数

超越函数还有反三角函数

希望同学们牢牢掌握

这几种函数的相关知识

下一讲我们要接着学习

一种重要的常用函数

就是双曲函数

希望同学们结合讲义预习好

好的 我们下一讲再见