Theorems on Continuity (关于连续性的定理)在线视频

同学们你们好

欢迎来到MOOC在线课程微积分

上一节课我们已经探讨了

函数在一个点的连续性

现在呢我们要把焦点

从一个点扩展到一段区间上

也就是区间上的连续函数

特别的呢

我们要探讨闭区间上连续函数的性质

并给出一个非常重要的定理

就是连续函数介值定理

好的 下面我们先从

区间上的连续函数定义谈起

Chapter 3 Functions, limits and continuity

函数 极限与连续性

Unit 9 Theorem of continuity

关于连续性的定理

Section 1 continuity on intervals

区间上的连续性

同学们 我们呢 先讲一下

函数在开区间和闭区间上的连续性

分别是怎么定义的

请看我们下面的定义

Definition continuity on open intervals

在开区间上的连续性

它定义是这样的

a function f(x) is called continuous on (a,b)

注意这里是open interval

if f(x) is continuous at each point in (a,b)

也就是说一个函数

在开区间(a,b)上是连续的

当且仅当它在这个开区间中

每一个点处都是连续的

所以呢

这个定义其实比较简单

咱们看一个例子吧

Example. Let f(x) equals tangent of x

then f belongs to C minus a half pi to a half pi

也就是说对于tangent x 这个函数而言

如果我们把它只限制在

负二分之π到二分之π

这个开区间上看的话

它是一个连续函数 注意啊

tangent x它在负二分之π

正二分之π处都没有定义

所以呢 如果我们把它限制在

一个连续区间上看的话

也只能在负二分之π到二分之π

类似于这种的区间上去考虑这样的函数

它呢就是一个在开区间上的连续函数

同学们不难理解啊

函数在区间上的连续性等价于

函数在区间中每个点上的连续性

但是如果这个区间是闭区间的

或者是半开半闭区间的时候呢

它就有端点了

这时候我们需要用单侧极限的定义

来补充定义什么叫连续性

请看定义

definition, continuity on closed intervals

在闭区间上的连续性

a function f(x) is called continuous

on closed interval [a,b]

if f(x) is continuous on open interval (a,b)

什么意思呢

一个函数在闭区间[a,b]称作是连续的

如果 第一个条件就是

它要在开区间(a,b)上连续

但是这还没有结束

and limit as x approaches a plus f(x)

equals f at a

什么意思呢 意思是说

f在a点的右侧极限

和f在a处的值是一致的

也就是说f在a点是右连续的

还有另外的条件

就是考虑另外一个端点

所谓的右端点 就是b点

And limit as x approaches b minus f(x) equals f(b)

最后这个条件意思是说

f在b处是左连续的

好的 如果它既在开区间中连续

又在左端点右连续

右端点左连续

那么我们称

f(x) is continuous on closed interval [a,b]

这就是定义

好的我们看一个典型的例子

Let f(x) equals square root one minus x square

对这个函数

我们先考察一下它的定义域

也就是domain of function,

很容易看出来这个函数它的定义域在哪呢

在-1到1之间的闭区间上

那么我们说

this function is in C[-1,1] closed interval

就是它是从-1到1

这个闭区间上的连续函数

好的同学们

现在呢我们已经定义了什么叫做

一个函数在开区间上的连续

在闭区间上连续这两种情形

在其它的情形呢

比如说半开半闭区间有类似的定义

这就是我们下面的注记

Remark 1.5

Similarly we can define continuity on

half-open-half-closed intervals

which requires left-or right-hand continuity

at the end points of an interval

什么意思呢

就是对于半开半闭这种类型的区间

凡是碰到端点处

我们就依据这个端点的情形呢

去用左连续或者右连续去定义

所谓整个函数在这个区间上的连续性

咱们看一个例子吧

Let f(x) be arcsech(x)

这是一个反双曲函数

这个反双曲函数它具体写出来的表达式

是这样的 ln一个大公式

这个公式的上面呢

one plus square root one minus x square

and on the bottom, we have x

好了 这个函数表达式写出来

同学们可以找出它的定义域

首先我们看到 x不能等于零

因为x在分母上出现

另外呢 出现了根式

所以x的绝对值要小于或等于1

因此呢整个这个函数定义域

是在0 1半开半闭区间上

而且我们可以说这个函数是

在0,1这个半开半闭区间上的一个连续函数

好的 我们再看一个例子

the function f(x)

is defined to be square root of x

它的定义域是从零到正无穷

零可以取到

这也是一个半开半闭区间

it is continuous on

such an interval from zero to infinity

接下来我们看一个完整的定义

定义什么叫做函数在定义域上的连续性

Let f be a function

whose domain is D subside R

we say that f is continuous

on its domain D if

我们称f在它的定义域D上连续怎么样呢

请看下面的条件

f is continuous at any interior point of in D

f在D的任何内点都连续

内点的定义我们在第一章就讲过

如果同学们忘记了

请同学们自己去复习一下

第二个条件

f is right continuous at any a in D

where a is left end point of D

也就是说f在D的任何左端点处

比如说a这样的点它要右连续

另外的条件就是

f is left continuous at any b in D

where b is a right end point of D

f在所有的右端点处要左连续

如果以上这些条件都满足的话

我们就称f在它的定义域D中是连续的

in such a case we write f in C(D),

C这个符号在数学中它是比较固定的

通常表示连续函数集

因此C of D表示

在定义域D上的全体连续函数集

我们看一个例子

Let f(x) equals square root

one minus x square over x

这个函数它的定义域区间

实际上是从-1到0 0到1

其中-1可以取到

0不能取到

1可以取到

所以它是一个定义域

在两个半开半闭区间并起来的

这样一个集合上的函数

这个函数它就是

在它定义域上的一个连续函数

下面呢

我们回忆一下什么叫初等函数

初等函数前面我们讲过

an elementary function is function

built from a finite number of exponentials

logarithms, constants, n-th roots

trigonometric functions and their inverses

through composition and combinations

using the four elementary operations

plus minus times division

也就是说初等函数呢

是那些经过基本的操作加减乘除

以及复合组合等等方法组合来的函数

它的出发点就是那些指数函数

对数函数、常数n次方根三角函数

反三角函数等等等等

这个我们以前讲过初等函数的概念

所以这里我们就简要提一下

好 关于初等函数我们有这样的事实

Theorem 1.10

if f is an elementary function

如果f是一个初等函数的话

and D is its domain,

D是它的定义域, then f belongs to C(D)

也就是说f一定在它的定义域上连续

这样的话我们就明白了

所有的初等函数在它的定义域上是连续的

Section 2 Theorems on Continuity

关于连续性的定理

同学们

和上一单元研究

单点连续性的思路差不多

我们现在开始要介绍

关于区间上连续函数的一些定理

首先呢我们要看一下函数的连续性

和有界性的关系

请大家要注意

下面我们讲的两个定理

都只适用于在闭区间上连续的函数

在其它类型的区间上连续函数

不一定成立 请看定理

Theorem 2.1

if f(x) is continuous on a closed interval

这里是要求在闭区间上

是连续的一个函数f(x)

then f(x) is bounded on this interval

则f一定在这个闭区间上是有界的

也就是说在闭区间上的连续函数

它不可能取到无穷远的值

它一定是取一个有限区间内的值

in other words, there exists numbers

little m and big M in R

such that f(x) is in between

little m and big M

也就是说你总能找到两个界

一个呢叫小m一个叫大M

使得任意的x

in closed interval [a,b]

f(x) is in between little m and big M

好的我们再看下面一个重要的定理

Theorem 2.2

if f is continuous on closed interval [a,b]

then there exists x naught

and x one in [a,b] closed interval

such that, f(x) is bigger or equal to f(x0)

and less than or equal to f(x1)

什么意思呢 意思就是说

我们能够找到两个点

一个是x0点一个是x1点

使得在x0处f取到整个f的最小值

而在x1处f取到f的最大值

其它的值都介于这两个数之间

这可不是一件平凡的事情

这说明

f如果是在闭区间上连续函数的话

则它的最大最小值一定能够取到

这是一个非常重要的连续函数的性质

好 接下来我们再看别的性质

If f(x) is continuous on an interval U

then its image f (U) is also an interval

注意在这个定义中

我们并没有要求这个区间U是闭区间

其实呢 对任意的区间都可以

只要是开区间、闭区间

或者半开半闭区间都可以

那么整个这个定理的意思是说

f把连续的一个区间U

并成的像也是一个区间

有可能它把一个开区间并成闭区间

这是有可能的

但是呢它不会把一段区间

并成两段区间

也就是说

它不会把一段区间撕裂成两段

这是一个非常重要的

连续函数的性质

好我们再看一个重要的定理

Theorem 2.4

if f(x) is continuous on an interval U

and is strictly decreasing

or strictly increasing on U

也就是说如果f在某一段区间U上

是严格递减函数或者呢

严格递增函数

then the inverse function g=f-1(x) is continuous

and strictly decreasing

or strictly increasing on f (U)

这个结论意思是说

这个时候f它有它的逆函数

比如说我们用g来表示这个函数

那么g一定也是在相应的它的定义域

也就是f(U)上是连续的

而且也是严格递减的

如果原来函数f是严格递增的

那么g也是严格递增的

也就是说f和它的逆函数

它拥有几乎一样的性质

好我们看一个例子

f(x) is arctan(x) and f-1(x) is tan(x)

你看这里头我们举的例子呢

就是函数与它的反函数

好我们画出它的图像

这里我们画了f的

也画了这个f的逆函数

也就是f-1(x)的图像

这两个函数图像呢

我们看出来都是严格增的函数

Section 3 Intermediate Value Theorem

介值定理

同学们我们之所以关注函数的连续性

是因为连续性

它隐含着很多优良的性质

比如我们接下来要介绍一个定理

叫做介值定理

这个定理是微积分中

一个非常重要的定理

请看定理

Theorem Intermediate Value Theorem

介值定理

if f(x) is continuous in a closed interval [a,b]

and f (a) = A; f (b) = B

假设f在闭区间[a,b]上是连续函数

它在端点处

a处取值为A b处取值为B

then for any w between big A and B

也就是说

对任意的介于A,B之间的数w

这个w有可能是大于等于A

小于等于B

也有可能是大于等于B 小于等于A

这个就看情况了

好对这样的w

我们有什么样的结论呢

there exists c in closed interval [a,b],

such that f (c) = w

什么意思呢

也就是说如果f在闭区间[a,b]上

是连续函数

它在端点处取到了A,B

则介于A,B之间的任何一个数w

都能够被f取到

这就是介值定理的含义

我们画一个图来演示一下

请看 这幅图中

我们画出了这个f在端点处的值

那么对于介于这两个端点处值的

任何一个数w

连续函数f一定能够在某一点c处

把这个值取到

这就是介值定理

好的 关于介值定理

我们还有更多的有趣的定理

请看下面这个定理

Theorem 3.2.

According to the IVT theorem

这个地方IVT是什么意思呢

就是刚才的

Intermediate Value Theorem的意思

就是介值定理 好

if f(x) is continuous

on closed interval [a,b]

and f(a) times f(b) is less than zero

什么意思呢

也就是说f在端点a,b处取值要异号

也就是说f在a处和f在b处的值

其中一个是正数 另外一个是负数

好在这种情况下

我们知道 介于一正一负之间

0肯定是其中一个数

所以我们可以有这样一个结论

then there exists some c in open interval (a,b)

such that f(c) equals zero

也就是说一个连续函数

如果在端点处取值是异号的

则中间这个函数

一定在某一点取到了零值

换言之f一定有某一个根存在

好了我们再看一个定理

Theorem 3.3 定理3.3

Let f(x) be a continuous function

on closed interval [a,b]

and little m be inf f(x): x in [a, b]

什么意思呢

也就是m是f在闭区间[a,b]上

取值的下确界

再有呢 M=sup

supreme of f(x) where x in [a,b]

M是f取值的上确界

刚才我们讲了个定理说

f在闭区间上连续的话

一定能够取到最大值最小值

所以呢现在呢我们可以断言

这个m和M实际上是能够被取到的

它不仅仅是确界

而且实际上是能够被真正达到的界

好这时候我们说什么呢

then for any w in between little m and big M

对任意的

介于m与M之间的这样一个数w

我们都能让f取到这个值w

there exists some c in closed interval [a,b]

such that f (c) = w

这个定理可以看做是

刚才那个f能够取到

最大最小值这个定理

以及介值定理

两个定理合起来的版本

同学们 刚才我们介绍的介值定理

在确定某个方程解的存在性 或者呢

寻找解的区间的时候呢

是非常重要的

我们来看两个例子来说明这件事情

Example 3.4

show that the equation 2

to the x minus 4x equals zero

has a root in open interval, zero and a half

这个例子让我们证明这样一个事情

也就是2（的）x次方减去4x等于0

这个方程在0与1/2之间存在着某个根

那怎么证明这件事情呢

我们就用刚才的IVT 介值定理

请看 Proof 证明

let f(x) be 2 to the x minus 4x

构造一个函数小f

就是2的x次方减去4x

那这个函数当然是一个连续函数

因为它是初等函数

we have f(0) equals one and f(1/2)

is square of 2 minus 2

请注意f在0处取值为1

这是正数

而f在1/2取值是刚才的根号2减2

它是一个负数

这样的话它在两个点

取到了异号的值

于是根据刚才我们讲过的一个定理

我们可以断定在这两个端点之间

一定夹着f的零点

there exists some c in (0,1/2)

such that f (c ) = 0

也就是说存在某一个根在0与1/2之间

这样就证明了这件事情

好的我们再看一个例子

Example 3.5 show that the equation

x^(2n+1)+a0x^(2n)+a1x^(2n-1)+

加点点点点

一直加到最后一项

是什么呢 就是a2n=0

这是一个多项式方程

show that this equation has a root in R

注意啊这里头我们只是

面对着这样一个抽象的方程

具体的那些系数a0,a1,一直到a2n

没有给出来具体是什么

唯一的尽心是什么呢

就是这个方程

它的最高次项是一个奇数 2n+1

好的我们怎么证明这个多项式方程

一定在实数中有一个根呢

我们还是用IVT介值定理

请看证明proof

let p(x) equals

就是刚才这样一个多项式

好了 多项式是连续函数

所以p(x)是一个连续函数

在整个实轴上

那么p(x)可以换成另外一种样子

也就是把最高次项x的2n+1次方

给它提出来变成这样

所以呢 根据刚才这个式子

我们可以断言

as x approaches positive infinity

p(x) is approaching positive infinity

为什么呢

因为根据刚才这个分解式

它最高次项

x^(2n+1)已经被提出来了

它呢要趋近于正无穷

而因子的另外一部分

就是1加上a0/x+a1/x^2

这些项呢它会趋向于零

因此呢我们说整个这个p(x)

一定趋近于正无穷

当x趋近于正无穷的时候

同样道理

as x approaches minus infinity

p(x) is approaching negative infinity

因此呢 我们断定

there exists a,b in R

其中呢a要充分小 b要充分大

使得什么呢 a小于b

而且p在a处取值为负

p在b处取值为正

因为根据刚才这个极限的情况

好了现在有两个端点

一个地方取负 一个地方取正

因此中间的b取到零

所以there exists some c in (a,b)

such that p at c equals zero

这就是我们要证的结论

也就是说刚才的多项式方程

存在某一个根c

同学们请注意

刚才这两个例子中

我们都运用了介值定理来给出证明

但是呢前提是

我们这个函数要求是连续函数

如果我们事先不验证函数是连续的话

我们不能够直接用介值定理

同学们 这一讲就讲到这里

我们探讨了连续性

从一个点扩展到了整个区间上

给出 了很多连续函数的性质

特别的呢 我们介绍了一个

判定方程有解的非常重要的工具

就是连续函数介值定理

希望同学们能够熟练地掌握

这部分与连续性有关的内容

下节课我们还要探讨一些

更为复杂的与连续性有关的问题

好的我们下节课再见