Properties of the Definite Integrals and the Fundamental Theorem of Calculus (定积分的性质与微积分基本定理)在线视频

同学们 你们好

欢迎来到mooc在线课程微积分

上节课 我们讲到了

定积分的基本概念

相信同学们已经基本掌握了吧

更进一步的

这节课我们来讲一讲

定积分的相关性质

以及积分中值定理

积分与微分的关系

以及微积分基本定理

这其中 最重要的就是

微积分基本定理

这个定理要告诉我们

定积分与不定积分的关系

以及如何具体的求出定积分的值

因此呢 它非常的重要

好的 下面 我们就先看一下

定积分的一些基本性质

Chapter 5 Integrals 积分

Unit 2

Properties of the Definite Integrals

and the Fundamental Theorem of Calculus

定积分的性质与微积分基本定理

Section 1

Properties of Definite Integrals

定积分的性质

好的 我们讲一下

定积分中的一些基本性质

If f g

they are integrable over a b

then the integration of f

plus or minus g

is the same as

the integration of f

plus or minus

the integration of g

over the same interval a b

这一条的意思是说

f加或减去g

这个新的函数的积分

就等于

f原来的积分加去

或减掉g的积分

当然都是在同样的区间a b上

请看下一条

The integration of c times f

is the same as

c times integration of f

c倍f的积分

等于原来函数f的积分的c倍

where c is a constant

只要c是常数就对

好 请看第三条

The integration of f

with lower limit a

upper limit b

is the same as the integration of f

with lower limit b

upper limit a

第三条非常重要

它的意思是说

从a到b的积分

实际上等于负的从b到a的积分

实际上第三条呢

可以看做这样一条定理

就是说

如果积分的上限

比下限还要小的话

则积分值呢定义成

颠倒上下限之后的积分

然后再取负号

好的 我们还有第四条

The integration of f

with lower limit a

upper limit b

is the same as

integration of f

with lower limit a upper limit c

plus the integration of f

with lower limit c upper limit b

here c is some point provided that

f is integrable over a c

and f is again integrable over c b

只要a b中间能加入某一个c

注意这个c呢我们并不要求

它介于a与b之间

只要f在a c上是可积的

在c b上也是可积的

我们就用刚才这个公式

当然c可以小于a

c也可以大于b

even if c is not in a b

好的请看第五条

The integration of f

from a to a

从a点积到a点

也就是说这个区间的长度为0

它的积分值呢is zero

好 接着我们看

if x is in between a and b

and f is bounded by two numbers

little m and big M

假设对任意的x介于a b之间

f取值呢都是有界的

也就是说

假设f取值大于等于小m

小于等于大M

则我们呢就有下面的事情

the integration of f from a to b

is in between two numbers

f的在a b上的积分值

就会介于两个数之间

小的数呢是小m乘以b-a

大的数是大M乘以b-a

换言之

如果f是介于小m与大M之间

则我们对积分值呢有一个估算

它会介于另外两个数之间

它一定会大于等于小m乘以b-a

也会小于等于大M乘以b-a

接下来我们看另外一个性质

if x is in between a and b

f is less than or equal to g

如果有比较的性质

就是说 如果f

永远小于等于另外一个函数g

则f的积分会比g的积分小

在同样的区间上

我们再看下一条

the integration of f

taking absolute value

is less than or equal to

the integration of

absolute value of f

over a b

if a is less than b

也就是说在闭区间a b上

f的积分的绝对值

会比f的绝对值的积分要小

最后一个不等式呢

也叫三角不等式

这个关系啊

有点儿类似于我们熟知的

数的三角不等式

也就是说a+b的绝对值

会小于等于a的绝对值

加b的绝对值

好的 刚才这几条性质呢

希望同学们和以前我们讲过的

极限的性质 导数的性质

做一些比较

它们有的地方是一样的

有的地方呢是完全不同的

我们一定要牢牢记住这些性质

并且呢 最后几条性质

同学们可以通过图像来观察出来

希望同学们想一想为什么

Section 2

Mean Value Theorems for Integrations

积分中值定理

同学们 刚才我们已经了解了

积分的简单性质

可能同学们还记得

关于微分呢

我们以前讲过微分中值定理

也叫平均值定理

其实呢 关于积分呢

也有一个中值定理

它叫做积分中值定理

下面我们讲一下积分中值定理

最好同学们能够比较一下

两者之间有什么相似之处

好的 我们看一下积分中值定理

我们第一个要讲的呢 叫做

First mean value theorem for integration

积分第一中值定理

请看 If f is continuous

over the closed interval a b

then there exists some zeta

in the open interval a b

such that the integration

from a to b of f

equals to b minus a times f zeta

只要f在闭区间a b上连续

则一定能够找到

开区间a b中的某一个点zeta

使得f的积分值

恰好等于b-a乘以f zeta

这个定理啊实际上可以这么解释

in other words

f must attain its mean value over a b

也就是说

f一定能够取到它的平均值

这个平均值啊

就是我们现在屏幕中

所看到的这个值

就是f的积分值除以b-a

我们还记得

f的积分值呢

表示f所扫过的有效面积

除以b-a呢

它就表示f在区间a b上的平均值

刚才这个平均值定理

它也叫第一积分中值定理

它的意思就是说

一定能够存在某一个点zeta

使得f zeta等于

b-a分之一f的积分

好的我们用图像来解释一下

The first mean value theorem

第一积分中值定理

它也叫第一平均值定理

好了 什么意思呢

请看这幅图

图中呢我们假设

f的图像如图所示

这幅图的解释呢

是下面这个remark

in this figure

the area of the rectangular

is the same as that of the region

under the blue curve

图中我们画了一个方框

这个方框啊

实际上就是f在某一点

zeta处的高度所决定的

这个方框它的面积的大小

恰好等于

f在这一段区间上的积分值

换言之

这个方框的上边界那一条横线

它把图像截成了两部分

高于这条横线的图像的部分

与这条横线所构成的面积

等于这条横线下面

与函数f的图像所构成的面积

换言之

它刚好平分了函数的图像

好的 我们刚才已经解释了

第一积分中值定理

既然有第一 自然有第二

下面我们要讲的呢就是

积分中值定理更一般的形式

Theorem

Generalized first mean value theorem

也可以叫做第二积分中值定理

Let f of x be continuous

over the closed interval a b

and g is integrable over a b

if g does not change sign on

open interval a b

只要g这个可积函数

在开区间a b上是不变号的

then there exists some zeta

in the open interval a b

such that the integration of

f times g over a b

is equal to f at zeta

times the integration of g over a b

这就是广义的第一中值定理

也叫第二中值定理

好的

下面呢我们看一个关于这个定理的remark

taking g

to be the constant function 1

在上述定理中

取g恒等于1

one gets

the previous mean value theorem

也就是说 在定理2.3中

只要取g恒等于1

我们就还原到了

第一中值定理的情形

同学们可以想一想为什么

Section 3

Connecting integrals with differentials

积分与微分的联系

同学们 通过上一单元

以及这一单元前两小节的学习呢

我们已经对定积分

有了比较好的理解

直观上我们明白

它就是要计算面积

但是呢我们仍然不知道

该怎么样精确地计算这个面积

这就是我们下面要讲的内容啦

为此呢我们需要把

定积分和微分联系起来

为此呢 我们先要引入一个概念

叫做不定积分

好的我们看一下定义

这个定义中呢

我们要给出不定积分的定义

就是indefinite integral

注意啊

它呢也叫做antiderivative

或者primitive

Antiderivative翻译成反导数

Primitive翻译成原函数

Indefinite integral叫做不定积分

实际上这三者呢

指的是同一个概念

好的请看定义

The function f is called

an antiderivative

or a primitive

or an indefinite integral

某个函数大F叫做反导数

原函数 或者呢不定积分

we prefer indefinite integral

当然我们后面呢都叫做

indefinite integral不定积分

注意of f

也就是说所谓的不定积分也好

原函数也好 反导数也好

都是指针对某一个函数而言的

这里我们用的符号是小写的f

也就是说大写的F

称作是小写的f的不定积分

满足什么条件呢

if F prime equals f

注意这是两个不同的f

大F的导数是小f

也就是说

只要大F的导数就是小f

则大F称作小f的不定积分

或者原函数 或者反导数

in such a case we write

big F equals integral of little f

不定积分的记号

就是我们现在屏幕上看到的

这个大F呢它记做

小f的不定积分

注意这个符号和前面的定积分呢

非常得像

只是我们不加上下限

without lower and upper limits

换言之

定积分的写法中去掉上下限

就叫不定积分

好了刚才我们已经讲了

什么叫做不定积分

那为什么它们叫做不定积分呢

之所以称为不定

就是下面这个定理所解释的原因

好的我们看一下这个定理

Theorem 3.2

If big F big G

they are differentiable

over the open interval a b

and F prime equals G prime

equals little f

then big F differs from big G

by a constant

in other words

there exists some c in R

such that big F equals big G plus c

for all x in the open interval a b

这个定理什么意思呢

我们来研究一下

请看

给定两个函数大F大G

如果它们都可微

而且他们的导数

是同一个函数小f

换言之

大F是小f的不定积分

大G呢也是小f的不定积分

则大F与大G的差异是什么呢

是一个常数

也就是说大F是大G加常数的模样

这样我们就明白了

对同一个函数小f而言

如果有两个不定积分的话

那么它们之间呢最多差一个常数

这也就是所谓不定积分的来由

因为对一个固定的函数小f而言

它们的不定积分实际上

是不确定的

可以差

但是最多只能差一个常数

好的我们看一个例子

if F prime equals x square

如果某一个函数大F

它的导数是x平方

那么我们能猜出这个大F

是什么样吗

then big F equals x cubed

over 3 plus c

我们可以检验一下

x三次方除以3

它的导数呢的确是x平方

加一个常数c

它的导数呢仍然还是x平方

因为常数c的导数永远是零

我们再看一个例子

if F prime equals cosine x

如果大F的导数是cosine x

那么我们能否猜出F呢

实际上F的样子是这样的

就是sine x加c

因为啊sine的导数是cosine

而c的导数永远是0

where c is again a constant

Section 4

The Fundamental Theorem of Calculus

微积分基本定理

好的 上一小节

我们介绍了什么是不定积分

但是我们的问题是

定积分与微分是什么关系呢

定积分该怎么计算呢

这个问题在本小节回答

好的

我们要介绍的定理呢就叫做

Fundamental Theorem of Calculus

通常简写成FTC

微积分基本定理

这个微积分基本定理啊有两部分

下面我们介绍的这个定理呢叫做

The first part of

fundamental theorem of calculus

The first part of FTC

Theorem 4.1

Let f be integrable

over the closed interval a b

and c is some number in a b

define the function big F of x to be

the integration of little f

with lower limit c upper limit x

同学们一定要注意这里边

这些符号的含义

请看啊 给定

某一个区间a b上的可积函数小f

然后呢

再取定闭区间a b中的某个点c

c可以叫做参考点

然后我们就定义另外一个函数

用的符号是大写的F

它的自变量是x

它在x处取值是这样一个积分值

积分的下限是c

上限是x

积分函数是f

但是注意

我们用了另外的符号t

来代替原来积分中的那个x

因为啊现在我们把x

看成自变量了

在积分中呢

我们就不要再出现x了

我们换了一个符号

把它写成t

好了

这样定义的函数 大写的F

这就是一个新的函数

它表示小f这个函数在从c到x

这么一段区间上的积分值

也就是说这个大写的F

它的值呢

是依赖于小f的积分的上限的

这么一个积分

这个积分它也叫做变上限积分

那么对这样定义的一个积分值

函数大Fx有什么样的结论呢

这就是我们下面的话了

then big F is continuous over a b

大写的F这个函数

它一定是

闭区间a b上的连续函数

这是第一条

而且呢

If little f is continuous over a b

如果小f不但可积而且连续的话

then big F is differentiable

over closed interval a b

大F在闭区间a b上还是可微的

不但可微

它还满足什么条件呢

大F的导数就是小f

对任意的x在开区间a b中

而在端点处

大F的右导数在a处的值

因为大F在a处呢

只在右侧有定义

因此呢我们这里只能取右导数啦

大F在a处的右导数值

一定等于小f在a处的取值

类似的

大F在b处的左导数的值

等于小f在b点的值

整个这个定理就叫做

Fundamental Theorem of Calculus

the first part

微积分基本定理的第一部分

好了

刚才我们学习了

fundamental Theorem的第一部分

微积分基本定理的第一部分

那自然还有第二部分了

请看第二部分

The second part of

Fundamental Theorem of Calculus

这一部分呢它也叫做

Newton-Leibniz axiom

牛顿莱布尼茨原理

我们看一下这个原理是怎么说的

它说

Let little f be integrable over a b

and let big F be

a continuous function

over the closed interval a b

and be an indefinite integral

of little f over the open interval a b

什么意思呢

假设小写的f这个函数

它是闭区间a b上的可积函数

又假设某个大写的F这个函数

它是闭区间a b上的连续函数

又是开区间a b中的可微函数

也就是说

要求它是小f的一个不定积分

换言之大F的导数等于小f

在开区间a b中

这个时候就有结论了

then

the integration of f from a to b

is given by this value

big Fb minus big Fa

也就是说

小f在a b上的定积分的值

由它的一个不定积分

就是某一个大写的F的这个函数

在端点处

也就是a与b处的差值给出

这就是所谓的

微积分基本定理的第二部分

好了

根据刚才所讲的

微积分基本定理的第二部分

我们明白了

要计算一个定积分啊

很简单

只要找它的一个原函数就可以了

也就是一个不定积分

然后呢取这个不定积分

在上下限处的差值

就能给出我们要找的定积分值

我们来看一个例子

Example 4.3

The integration of x square

over 1 to 2

要计算x平方这个函数

从1到2处的定积分值

那么按照我们刚才所讲的

FTC the second part

我们要怎么做呢

要找x平方的一个不定积分

那么x平方的不定积分啊

其实我们前面已经找过了

它就是x的三次方除以3

当然呢也可以加一个常数c

但是刚才定理中说了啊

只要找一个大F就可以了

没必要把所有的F找出来

所以呢我们就不加那个c了

好的

注意我们这里头

引入了这样一个记号

一个竖线写1 2

这就表示

在上下限的地方取值然后取差

这么一个含义

具体就是说把x等于2这个上限

代入刚才的三分之一x三次方

再把下限x等于1

代入三分之一x三次方

然后取它们的差值

注意是上限处的值减去

下限处的值

这个结果是7除以3

seven over three

这就是这个积分的结果

好的我们再看一个例子

Example 4.4

Consider the integration

from 0 to pi of sine x

我们要找sine x的定积分值

从0到pi

那么我们首先要做的

就是找sine的一个不定积分

那么sine的不定积分呢

我们可以取成负的cosine

好了

把负的cosine这个原函数呢

取限处的值

上限与下限

上限是pi 下限是0

于是我们得到

If we put x equals pi

into cosine x

one gets 1

注意把x等于pi代入负的cosine

这个原函数值得到的是1

把x等于0代入原函数

负的cosine x

得到的值是-1

然后呢

两个数取差结果是two

so we get the definite integral

好的我们再看一个例子

the integration of e to the x

from 0 to 1

那么e的x次幂这个函数

它的原函数呢

我们直接取成它自身就可以了

e的x次幂

然后代入上下限

这个很简单

同学们呢自己可以把它完成

结果就是e-1

好的

通过上面这三个例子呢

我们已经明白了怎样求定积分

求定积分呢要化归成求不定积分

也就是原函数的问题

只要能找到原函数

那么代入上下限做差

就非常简单地求出了定积分的值

下面呢我们要讲一下

微积分基本定理的

第一部分的推广

这就是下面的这个定理

Theorem 4.6

Suppose that little f is continuous

over the closed interval a b

and u and v are two functions

which are differentiable functions

satisfying that

u v is always taking values

in between a and b

假设小f是

闭区间a b上的连续函数

又假设

u与v这两个函数的取值呢

永远介于a b之间

then

注意 我们这里写了一个很大的公式

这公式呢意思是说

对某一个函数要求导数

这个函数是谁呢

它是这样一个积分

它的下限是vx

上限是ux

被积函数呢是小f

积分变量我们用的是t这个符号

注意整体这个函数

它也是一个变上限变下限的积分

它的自变量实际上是x

好了

对这个函数求导数

当然指的是对x而言的导数

它等于什么呢

等于u prime x times f at ux

minus v prime x times f vx

这就是刚才这个

变上下限函数的导数公式

其实啊这个定理呢

可以由前面我们讲过的

微积分基本定理的第一部分呢

直接推倒出来

但是呢要使用链式法则

希望同学们自己尝试一下

如何推导出这个定理

我们还是来看一个具体的例子吧

Find the derivative of this function

请看啊这个函数是什么呢

它是一个关于x的函数

这个函数定义是这样的

它是一个积分

这个积分的函数呢是t

t作为自变量

而它的变量隐藏在上下限之中

就是x

下限是sine x 上限是cosine x

整体而言是一个x的函数

那么它的导数值等于多少

我们呢用两种方法来求这个结果

第一种

我们直接计算出

里边的函数是什么

注意这里边的函数呢

它是一个积分

我们呢直接计算出积分来

就可以了

t这个函数它的原函数是t平方

当然呢我们可以用t平方加c

这样的任意一个原函数都可以

好的 代入上下限

我们会得到这样的结果

这就是要求导的函数

这个函数是关于x的函数

关于导数呢我们已经非常熟悉了

直接求导就可以啦

这就是最后的结果

也就是负的sine 2x

我们呢再试一下另外的方法

In another way

we apply the above theorem

也就是说

我们直接用刚才那个

定理中的公式

而不用先把积分算出来

请看

The derivative of this function is

我们这里已经

直接用了刚才那个定理的公式了

请看 cosine x prime

是来自于上限的导数

而后面紧跟的cosine x呢

是把上限代入被积函数的结果

接下来减去sine x的导数

乘以sine x

这个原理是一样的

好了 直接计算一下

结果就是这么多

minus sine 2x

so exactly these two results match

这两个结果是一样的

我们看到啊 第二种办法

也就是直接使用

刚才那个定理的方法呢 更快

同学们 这节课我们学习了

定积分的相关性质和定理

特别的 我们学习了

微积分基本定理

明白了定积分与导数

或者与微分之间的关系

至此呢

我们已经对定积分的基本结构

有了一个初步的认识

在接下来的章节中

我们就要结合前面学过的

导数与微分的知识来探究

求定积分的各种技巧和方法

因此呢 希望大家牢牢地掌握

定积分的基础知识

好的 同学们 我们下堂课再见