Continuity (连续性)在线视频

同学们你们好

欢迎来到MOOC在线课程微积分

前面我们已经系统地学习了

函数及其极限

现在呢

我们要继续探索函数的

一个非常重要的性质

就是连续性

什么是连续性呢

顾名思义

就是说函数连绵不断变化的状态

也就是说微小的自变量变化

会引起函数值微小的变动

所以直观上非常容易理解

什么叫做连续性

但是我们仍然需要用严格的数学语言

来定义什么叫做连续性

这就是我们下面第一小节的重点

好的下面我们开始讲课

Chapter 3 Functions Limits and Continuity

函数 极限与连续性

Unit 8 Continuity连续性

Section 1 Continuity连续性

所谓连续性

简而言之呢

就是函数的极限与

函数的取值是一致的

下面呢我们就给出

这句话的严格的数学表达

请看

definition

Assume that f (x) is defined

on (c-r, c+r) on open interval

假设f在以c为中心

r为半径的这样一个开邻域中

有定义

注意包括了c点

We say that f(x) is continuous at c

我们称f在C处是连续的

如果满足什么条件呢

if the following two conditions hold true

以下两个条件都成立

请看

第一个

the limit of f(x) as x approaches c exists

and that be L

在c处f的极限存在

把它用L来表示

第二个条件

f(c) = L

也就是f在c处的取值

恰好就是刚才第一个条件中

给出的那个极限值L

所以说f在c处连续

包含了这两个条件

这两个条件呢同学们

要分别理解它们的含义

好我们看一个注记

如果把刚才这个连续性的定义

用ε-δ的语言来表达

会变成什么样呢

我们来写一下

we can define continuity

of f (x) at c as below

用下面的方式来表达

就是

for all ε positive

there exists some δ positive

but less than r

such that for all x in this

open interval

c minus δ

c plus δ

we have 丨f(x)-f(c)丨< ε

也就是说任意的ε>0

存在着某个δ>0

但是要求δ

使得对任意的x

只要它在以c为中心

δ为半径的邻域中

我们就有f(x)-f(c)的绝对值小于ε

这个ε-δ语言

就是把刚才这个连续性

定义的两个条件

合在一起写出来的情况

好我们再看另外一个注记

就是

Please be aware of the difference

between the definition of continuity

and limit of a function at a point c

我们一定要注意

连续性的定义以及f在

这个点c处有极限的定义

这两个定义是不一样的

尽管它们看起来

有很多相似的地方

The former requires f(x) being defined at c

至少一个明显的差异就是说

所谓f在c点连续

已经要求f在这个点c处有定义

但是f在c处有极限并不要求

f在c处有定义

好我们看一个例子

Example 1.4

The function f(x)=丨x丨

f定义成x的绝对值

这个函数呢

is continuous at any c in R

这个函数在任意c处都是

连续的

好的我们再看一个例子

这个例子中

f(x) is (exp(x)-1)/x

请注意这个函数

is continuous at any c which is not 0

在任意c不等于0 处

它都是连续的

但是在c等于零处会怎么样呢

我们来思考一下

although

the limit as x approaches zero

f(x) equals one

这个函数的极限在零处它是1

这是我们基本极限之一

的确是存在的

但是f(x) is not continuous

at c equals zero

我们说f尽管在c

等于零处极限存在

等于1

但是我们说在c等于零处

这个函数本身并不是连续的

为什么呢

原因很简单

因为f在零处根本就没有定义

因此谈不上什么连续性了

Because it is not defined at 0

好了我们再看一个例子

Recall the Dirichlet Function

就是狄利克雷函数

狄利克雷函数我们前面定义过

我们再看一下它的定义

就是

如果x是有理数的话

它的定义为1

如果x是有理数以外的数

也就是无理数的话

它的定义成0

Q (x) is not continuous

at any point on the real axis

这个狄利克雷函数

它在任何一点都不连续

这件事情呢

是需要同学们仔细思考一下

为什么

最好你把定义套一下

就发现了原因所在了

好的我们再看一个例子

f(x) is defined to be 1

如果x等于零的话

如果x不等于零的话

它定义成sin(1/x)

这是一个分别定义的函数

那这个函数它在0处我们说

is not continuous

它不连续

为什么呢

原因很简单

因为

the limit of f (x) as x

approaches zero does not exist

因为f在0处

它的极限根本就不存在

尽管f在零处有定义

但是它的极限不存在

当然也就谈不上连续性了

Section2

Right- and Left-Hand Continuity

单侧连续

同学们注意

连续性的概念是通过极限来引入的

我们自然

可以像定义单侧极限一样

来定义什么叫做函数的单侧连续性

在正式讲单侧连续性之前

我们先看一个例子

请看这个例子

function f(x) is defined to be

square root of x

注意这个函数的定义域是

x大于等于零

在任意的c大于零处

我们说这个函数是连续的

这个是很容易理解的

But it is not continuous at c = 0

也就是在c等于零处

我们说这个函数是不连续的

这是为什么呢

原因很简单

因为函数f在x小于零处

根本没有定义

因此函数有一侧的极限是

不存在的

也就是函数在c等于0处

左侧的极限是不存在的

因此它整体极限也就不存在

因此在c等于0处

我们不能说f是连续的

但是从另外一侧

也就是

x approaches zero plus

从右侧趋近于零的话

这个极限它是存在的

恰好就是零

也就是f在0处的值

这样就和原来

我们定义连续性

有一点接近了

所以呢

我们要引入另外一个概念

也就是右侧连续性来

表述这件事情

请看定义

Right-Hand continuity

Assume that f (x) is defined on [c, c + r)

注意包含了c点

在这样一个半开半闭区间中

假设f是定义好的

We say that f is right-hand continuous

我们称f在c处是右连续的

也叫做right-continuous at c

如果满足什么条件呢

if

请看这个条件

这里呢

我们把这个条件写的比较简单

请看

limit of f(x) as x approaches c plus

也就是函数f在c处的右极限存在

而且等于f在c处的值

注意这个条件尽管

我们写成了一个公式

但实际上包含了两件事情

也就是说

第一

它的右侧极限存在

第二

这个极限恰好等于f在c处的值

如果这两件事情都满足的话

那么我们叫做f在c处

是右连续的

我们看一个例子吧

就是刚才的

f(x) equals square root x

这时候呢

我们说

f is right-continuous at c equals zero

f在c等于零处是右连续的

尽管我们不能说

它是整体连续的

好的

类似的呢

我们有所谓的左侧连续的概念

Left-Hand continuity

它的定义跟刚才的右侧连续的

定义非常的相似

Assume that f (x) is defined on (c-r, c]

half open half closed interval

where r is positive

We say that f is left-hand continuous

我们称f在c处是左连续的

也叫

left-continuous at c

if the limit of f(x) as

x approaches c from negative side

也就是当x从左侧趋近于c的时候

这个极限存在

and is equal to f(c)

如果满足这个条件的话

我们就叫做f是左连续的

注意这个条件呢

它是一个式子

但是它包含了两件事情

一个就是说

它的左侧极限存在

第二个事情是说

这个极限值恰好等于

f在这个点c处的函数值

我们看个例子吧

f(x) equals square root of one minus x

这个函数在x等于1处的左侧极限

等于多少呢

我们可以看出来

它恰好就是零

也就是f在1处的值

因此我们说这个函数在1处

是left-hand continuous

在x等于1处是左连续的

我们有这样一个注记

f (x) is continuous at c if and only if

f (x) is both left-and right-continuous at c

f在一个点c处是连续的

充分必要条件

就是f既是左连续的

又是右连续的

在这个点

好我们看一个例子

我们看这样一个函数

f(x) equals square root of sin x

这个函数呢

写成这个样子

Can you find the domain of this function

请同学们自己找一下

这个函数的定义域

那么关于这个函数的连续性

我们有下面的断言

One can see that f is

right-continuous at c = 2kπ

where k is an integer

就是在所有的π的偶数倍数的地方

函数f都是右连续的

One can also see that

f is left-continuous at c = (2k + 1) π

在所有这个π的奇数倍的那些点

f都是左侧连续的

希望同学们自己体会一下

为什么是这样的

好我们再看一个特殊的例子

In earlier lectures

we have encountered

the Heaviside function

在前面的课程中

我们提到这样一个特殊的函数

就是亥维塞函数

H(x) equals either zero or one

if x is negative

it takes zero

if x is positive or zero

it takes one

上面呢

就是给出了亥维赛的函数的定义式

通过亥维赛的函数的图像呢

我们可以观察出来

亥维塞的函数

is right-continuous at 0

but is not left-continuous at 0

它在零处是右连续

但不是左连续的

好我们再看一个例子

就是floor function

这个函数我们前面也见过

f(x) equals bracket of x

注意这个记法中

我们这个括号上面没有这个横线

它表示所谓的地板函数

也就是

the integer part of x

x的整数部分

这个函数它是right-continuous at all integers

在所有的整数点都是右连续的

但是不是左连续的

为什么呢

我们看一下它的图像

这就是floor function

取整函数的图像

请看在任何一个整数点

当x自变量

从右侧趋近于这个点

的时候呢

它的确是趋近于函数值

但是从左侧趋近于这个

整数点的时候呢

它并不趋近这个函数值

因此我们说这个函数是

right-continuous at all integers

它是在所有的整数点是右连续的

但不是左连续的

好的同学们

我们看一个非常类似的例子

这个例子中

我们取这个函数

f(x) equals x minus floor of x

既然这个地板函数floor of x

取的是x整数部分

那么x减去它的整数部分

得到是什么呢

就是所谓的小数部分了

it represents the decimal part of x

对于这个函数我们能说什么呢

希望同学们自己思考一下

对比一下

其实结果跟刚才这个地板函数差不多

也就是说

f(x) is right-hand continuous at all integers

but not left-hand continuous

建议同学们把刚才这个f(x)的图像画出来

我们这里给了一个参考的图像

同学们

现在我们已经学习了

什么叫做连续性

包括左连续右连续等等概念

下面我们看一下跟连续性

有关的一些定理

好的我们看第一个定理

If f (x) is continuous at c

如果f在c处是连续的

并且呢

f(c) is positive

或者呢

f(c) is negative

这时候我们能说什么呢

there always exists an

open neighborhood (c-δ, c+δ)

in which f (x ) is positive

or negative if originally

f(c) is less than zero

for all x in this open interval (c-δ, c+δ)

整个这句话什么意思呢

意思就是说如果f有一个点c

它在这个地方连续

并且在这个点取值为正

那么在c点的一个开邻域

也就是(c-δ, c+δ)处

整个都有f取值为正

或者为负

整个这个定理的意思呢

就是说f在它的连续点处

它具有在一个邻域上的保持

符号的特性

这是一个非常重要的连续性的性质

我们再看几个定理

if f(x) and g(x) are continuous functions at c

那么

the sum of f and g

the subtraction of f and g

the product of f and g

they are all continuous at c

也就是说如果f和g在某一点c处是连续的

那么它们的和函数

差函数

以及乘积函数

都在那个c点还是连续的

另外

if g(c) is not zero

如果g在c处取值不等于零的话

那么f/g

也就是它们的商函数

is also continuous at c

这个定理说明给定的函数fg

如果在c处是连续的

那么它的加减乘仍然在那个点连续

只要分母g(x)在c处不为零

那么做商函数

仍然在那个点是连续的

好我们再看另外一个定理

Suppose that f (x) is continuous at c

and g (x) is continuous at f (c )

给定一个函数f

它在c处连续

另外一个函数g

它在f(c)处连续

这个时候我们考虑它们的复合函数

Let h(x ) = g (f (x))

then h(x) is continuous at c

复合函数h它也一定在c处连续

这个定理说明什么呢

对于连续函数而言

如果每复合一次

在相应的点不连续

那么复合完了的函数

还是在事先给定那个点是连续的

好我们这里提到了所谓的复合函数

h(x)= g (f (x))

这个在英语中叫做

composition function

复合函数

这个复合函数

在有的书中是这样记的

就是 g o f

g与f之间画一个空心的点

它表示复合函数

关于函数的连续性

除了以上这些基本内容以外

还有很多其它的性质和理论

这些都是微积分这门课的重点

我们在后面的课程中要经常使用这些知识

好

希望同学们牢牢掌握

上面我们讲到的这些基本的

与连续性有关的内容

同学们

这一讲中

我们重点讲解了

函数在一个点的连续性

包括左连续

右连续等等

同学们在学习这部分内容的时候呢

不要死记硬背

而要充分理解这些内容背后的思想

下一节课我们继续研究连续性

其重点是函数在一段区间上的连续性

好的 我们下节课再见