Piecewise Continuity, Uniform Continuity, and Discontinuities (分段连续性， 一致连续性与不连续性)在线视频

同学们 你们好

欢迎来到mooc在线课程微积分

前面两节课我们研究了

函数的连续性

包括单点连续性

以及区间上的连续性

同学们对此已经非常熟悉了吧

这节课我们还要深入的研究一些

与连续性有关的更为复杂的问题

包括三部分内容

一致连续性 不连续性

也就是间断点以及分段连续性

这其中 一致连续性

是有一定难度的

希望同学们能够认真 细致

透彻的学会这部分内容

好的 下面呢 我们就从

一致连续性讲起

Chapter Three Functions Limits and Continuity

函数 极限 与连续性

Unit Ten Piece-Wise Continuity

Uniform Continuity and Discontinuities

分段连续性 一致连续性 与不连续性

Section One Uniform Continuity

一致连续性

同学们 以前 我们学习了

函数在一个点的连续性

以及函数在

一段区间上的连续性等等

这个函数的连续性

它代表了 函数在自变量偏离

一个很小的位置的时候

函数值的变化 也变化很小

这就是连续性的含义

而今天呢 我们要学一个

一致连续性这个概念

一致连续性它要比单点的连续性

要强很多 它的含义呢 大致就是说

只要两个自变量接近到一定程度

就可以使相应的函数值

达到指定的接近程度

那么 一致连续性

可能以前同学们没有听说过

它是比连续性有更强的性质

我们下面讲一下

一致连续性的定义

希望大家要 认真和以前讲过的

普通的连续性要对比一下去理解

好的 我们下面讲一下定义

uniform continuity

a function f of x is called uniformly

continuous on its domain D

一个函数称作在它的

定义域D上是一致连续的

如果满足什么条件呢 请看

if for all ε positive

对任意大于0的ε

there exists some δ positive

存在某个δ大于0

使得 the absolute value of

f at x one minus f at x two

is less than ε whenever

the absolute value of x one

minus x two is less than δ

where x one and x two are in D

整个这个条件的意思

我再翻译一下 就是说

对任意的ε大于0

存在着某一个δ

只要 x1和x2 的距离小于δ

则相应的函数值的差距

小于ε 这就是一致连续的定义

这个定义看上去比较抽象

其实呢 我们慢慢地就能理解了

下面我们一点一点来解释

这个定义

compare 对比 我们要对比什么呢

就是对比上一单元我们讲过的

pint-wise continuity 逐点连续性

上一单元 我们回忆一下 讲的是

函数在一段区间上

或者某一个定义域上的连续性

这就是相当于说 一点一点的看

这个函数的连续性

叫 point-wise continuity

我们把上一单元讲过的

定义域上的连续性 也就是

逐点连续性用ε-δ 语言

重新翻译出来 这样的话就可以

和我们刚才讲过的

一致连续性能对比了

好 我们看以下 这个

pint-wise continuity 如果用

ε-δ language 写出来是怎么样的

a function f of x is called point-wise

continuous 逐点连续

or simply continuous on its domain D

在它的定义域D上是连续的

也就是逐点连续 它怎么定义的呢

就是 if for any x one in D

对于任意的D中的点x1

and for any ε positive

there exists some δ positive

such that f x one minus f at x two

the absolute of these two values

is less than ε whenever

the absolute value of x one

minus x two s less than δ

where x two is in D

这个定义非常像 刚才这个

一致连续性的定义

但是我们仔细看看 差异在哪呢

这的差异非常明显 就是说

指定的 x1 然后呢

再指定ε 大于0

这时候存在δ 大于0

怎么怎么样 因此我们看出

这个逻辑顺序稍微不太一样

但是就这么一点不一样

它导致了非常大的差异

可能 仅仅通过这两种抽象的

ε-δ语言 大家对一致连续性

还是不能形成一个清晰的认识

下面呢我们通过一种比较

生动形象的图像分析的方法

来加深对一致连续性的理解

这就是我们下面要讲的 remark 1.3

the difference between point-wise

continuity and uniform continuity

首先我们还是看一下

原始定义中的差异

in the definition of point-wise continuity

the δ depends on the value of x

因为我们事先指定了x1

因此呢 后面取的δ它会依赖于x

in the definition of uniform continuity

δ does not depend on the value of x

but only depends on the behavior

of f of x and the value of ε

which is positive

这个呢 我们就是说

把刚才这两种定义

先看一下表面上的差异

就是说δ是不是依赖于x的问题

因为在一致连续中

δ只依赖于ε和整体的f

好的 我们看一下

这两种连续性的关系

首先我们明确一点就是

uniform continuous implies

point-wise continuous

从定义上 我们看得出来

一致连续性它要比

逐点连续性要强

也就是说 一致连续

一定隐含着逐点连续

那么 它的差异

就是我们下面要讲的重点

a simple graphical interpretation

of uniform continuity

简单地用图像来解释一致连续性

这就是我们下面要讲的

remark 1.4

a function f is uniformly continuous

on its domain D 一个函数

在它的定义域D上是一致连续的

if 什么条件呢

given a diameter of ε positive

对于指定的直径ε大于0

we can always cut a tube of

diameter ε 我们总能找到

一段tube tube 什么意思呢

就是一个小管子 这个小管子呢

它的直径是ε 大于0

to short enough a length δ 大于0

只要让这个小管子足够的短

短到多长呢 就是长度为δ 大于0

that it can ran freely along the curve

without bumping into the

sides of the tube 这个时候呢

我们可以拿这个管子

把整个这个曲线穿过去

当然穿的过程中

这个管子要保持水平

这个整个这段话说的意思就是

一致连续性的直观解释

好的 我们把刚才这段话

再画出来 看它是什么意思

the following picture illustrate this idea

这里我们画了一个图

图中呢 有一段tube 小管子

它的长度是δ length is δ

diameter 直径是ε

我们把这段小管子

水平的让它试图通过

整个这个函数的图像

如果它能够完整地通过

而且不碰到这个函数的曲线的话

则我们称这个函数

在这段定义域上是一致连续的

这就是刚才这段话的形象解释

下面呢 我们拿两个具体的例子

来对比一下这两种连续性

请看 we have two functions

f one and f two

f one 就是 sin x

f two is one over x

它的定义域呢 不太一样

sin x 定义在整个实轴上

one over x 我们这里呢

只看在0到正无穷这段区间上

好的 我们看一下它们俩的图像

通过这个图像

我们就能够感觉出来

对任意的ε大于0

也就是对任意窄的管子

它的直径非常窄ε

我们总能找到 足够短的长度

使得 它能够完整地通过sin x 曲线

但是对于 one over x也就是f(2)

这个函数图像 这个做不到了

为什么呢 因为对任意指定

直径为ε的小管子

你不可能找到它的足够小的长度

使得它能够把整个这个曲线

完整地通过

而不碰到任何函数的图像

因为它在0处

越来越陡峭越来越陡峭

因此这是做不到的

所以呢 我们说 sin x

它在整个R上是一致连续的

而one over x 就是f two

它在从0到正无穷开区间上

它不是一致连续的

尽管它是连续的

这个例子充分说明了

一致连续与逐点连续的差异

好的根据刚才这两幅图

from these graphs we intuitively

find that f one which is sin x

is uniformly continuous

whereas f two which is one over x

is not uniformly continuous on

zero to infinity

就是我们刚才所解释的

因此我们看到 有的函数

它在它的定义域上是连续的

而且是一致连续的有的函数

它只是在它的定义域上连续

但并非一致连续 这就是差异

好的我们再看一个具体的例子

show that sin one over x is not

uniformly continuous on zero to one

这里 我们给出了一个具体的例子

要通过严格的ε-δ 语言来

证明这个函数它不是一致连续的

尽管sin one over x 这个函数是在

0到1开区间上是连续函数没问题

好 我们怎么说明

它不是一致连续呢

我们就用严格的定义

proof for any n which is an integer

positive integer let Sn equals

one over two n pi plus a half pi

我们取了一个特殊的数Sn

这个数它是介于0 1之间的

另外呢 我们再取一个数

Tn which is one over two n pi

好了 这个数也是介于0 1 之间

那么 Sn和Tn 它的关系是这样

Tn会比Sn 大一些 这是显然的

而且呢 Tn减去Sn

它的具体数值实际上是这么多

我们已经把它写出来了

这个数 我们看出来 它是小于

one over two n pi

也就是说Tn 会比Sn 大一点

但是最多大的程度

也就是 one over two n pi这么大

也就是说它们两个

实际上是非常接近的两个数

Tn and Sn 好的 那么

我们再可以放大一点点

也就是这个数 实际上会小于n分之一

但是呢 sin one over Tn

minussin one over Sn

这是可以具体算出来的

它的结果 是这么多

sin of two n pi plus a half pi

and then take absolute value

这当然结果就是1了

于是我们发现

我们总能找到两个

非常非常接近的数

也就是 Tn 和 Sn

它们两个不相等 但是充分接近

然而 sin one over x 这个函数

在这两个点的差值却是1

这件事情就可以确定地

告诉我们sin one over x is not

uniformly continuous on zero one

当然这个证明我们写的非常简略

如果同学们想

完整地写清楚这个证明的话

需要把刚才一致连续的定义

全部反过来 也就是

先要说明什么是 非一致连续

not uniform 这个希望同学们

在课后自己练习一下

how to express that a function

is not uniformly (continuous )

on its domain

好 我们再看一个例子

example 1.7

fix an arbitrary constant σ positive

假设我们给定某一个整数σ

这个数是固定下来的

show that the function f(x)

equals one over x is uniformly continuous

on half open half closed interval

from σ to infinity

其中σ 可以取到 同学们

这个例子跟刚才的例子

有什么差异呢

刚才我们考虑的函数也是1除x

但是区间不一样

刚才我们说 one over x

1除x这个函数呢 在从0到正无穷

这个开区间上是不一致连续的

现在我们取的区间 是从

σ到正无穷

这个时候σ 是一个给定的数

因此这是一个不同的区间

好 我们说只要在这个区间上看

这个one over x 这个函数

它就是一致连续的

这就是两个例子的差异

好我们看看怎么证明

here is the proof

for any s, t which is in σ to infinity

在这个区间上 we have

one over s minus one over t

the absolute value of these two things

is the absolute value

of s minus t over st

好的 这个数我们估算一下

它呢 会less than or equal to

one over σ square times

theabsolute value of s minus t

它会比右端的这个数小一些

这里我们已经用到了 s t

它是比σ大或者等于σ这件事情

好的 这时候我们说

for any ε positive and any

s t in σ to infinity satisfying

the condition that s minus t is

less than δ 注意这个δ

我们已经取定了 取定成什么呢

σ square times ε 也就是说

给定了ε 我们就取这样的δ

which is σ square times ε

会怎样呢 we have the absolute value

of one over s minus one over t is

这个刚才其实已经算出来了

就是上面这么多 它会

less than or equal to δ over σ square

which is ε 这样的话 它恰好就满足了

一致连续的所有条件 因此我们说

one over x is uniformly continuous

on the interval from σ to infinity

这样 我们就证明了这样的事情

接下来 我们讲一个非常重要的事实

an important fact

which is theorem 1.8

if f(x) is continuous on closed interval

a to b then it is uniformly continuous

on that interval 也就是说

只要f在闭区间上连续 则

一定在这个闭区间上

它也是一致联系的

这是一个非常重要的性质

闭区间上连续的函数一定

在相应的闭区间上是一致连续的

注意 开区间是不对的

因为刚才我们已经看到这个例子了

Section Two Discontinuities

不连续性

同学们 刚才我们研究了

函数的连续性还有一致连续性

以及它们的差异

接下来 我们要考虑一个反问题

就是 不连续性

不连续产生的点叫间断点

它也是非常重要的点

下面就是我们要讲的间断点

那么间断点 有哪些种类呢

我们根据不同的情形

把间断点分成了三种

下面我们详细讲

这三种是哪些

assume that f(x) is continuous in

a deleted neighborhood

假设f在某个

去心邻域中是连续的 好的

这个去心邻域 我们把它记成

U which is the open interval

from c minus r to c plus r

and then delete c 好

在这个U中 f 是一个连续函数

但是注意 f在c点

我们不要求它有定义

but this function is

not continuous at c

我们假设f在c点是不连续的

这个时候 我们取两个极限值

let limit as x approaches c minus

f(x) be L minus

and limit as x approaches c plus

f(x) be L plus 这两个记号

也就是L减 L加 表示f在

c点的左侧右侧两个极限值

根据这两个不同的极限值

我们需要划分该点 也就是c点

的不连续性种类

就是下面我们要讲的定义

discontinuity

if the above f is not continuous

at c we classify the discontinuity

into three types

我们把c点的不连续性

划分成三种 请看

第一种叫 removable discontinuity

汉语叫做可去间断点

什么情况呢if L plus equals L minus

but they are not equal to positive or

negative infinity we call

c a removable discontinuity

条件也就是说

两端的极限都存在

但是都不能是正负无穷这种情况

这时候我们叫

c是一个可去间断点

注意这个条件已经隐含了

f在c点它是没有定义的

或者它的取值不能是L正

也不能是L负

因为这个时候它俩相等

如果f在c点取值

恰好等于了 L正或者L负

那f直接连续了

这时候当然就没有

非连续性这个事情了

只有f在这种情况下

它是不连续的

但是左侧右侧极限都存在

是某一个实数 而且相等的情况

我们才叫这种情况是

removable discontinuity

可去间断点

第二个 jump continuity

什么情况呢

if L plus and L minus are finite

如果他们两个都是有限的数

也就是它们两个都不是正负无穷

好的 而且呢 they are not equal

这就是这种情况下

左侧极限和右侧极限

两个都存在但是不相等

we call c a jump discontinuity

我们叫c是一个间跃的间断点

或者叫做跳跃间断点

有的时候也叫 step discontinuity

好的这两种情况 我们讲完了

我们看一下最后用排除法

我们剩下什么情况

就是所谓的 essential discontinuity

第三种情况

if either L plus or L minus

does not exists 也就是说

如果 刚才的 L正 L负中

只要有一个不存在

或者是正负无穷 这种情况

也认为极限是不存在的

or they are not finite

也就是说它们两个有可能是

正负无穷之一 这种情况呢

这时候我们都叫c是

essential discontinuity

是本性的间断点 essential discontinuity

以上这三种我们再看一下

就是可去间断点 跳跃间断点

和本性间断点 这就是

所有间断点的分类

同学们 刚才我们已经讲清楚了

三种分类 下面我们看

具体的三个例子

分别对应这三种不同的分类

请同学们仔细观察下面的例子

Example 2.2

consider the function f(x) equals

sin x over x 这个函数这么写出来

我们就看出来

x在0点是没有定义的

也就是c等于0处f它一定是

间断点 那么它有怎样的间断点呢

it has a removable discontinuity

有一个可去间断点

好 我们看一下它的图像

这里我们画出了f的图像

注意在0点处 f是没有定义的

但是 f的左右两端的极限

都存在 而且都是1

因此它就是一个可去间断点

好的 我们再看

example 2.3

consider the function of decimal part

of real numbers 考虑这样的函数

就是取x的小数部分

这样一个函数 这个函数

我们以前已经见过

好的 那这个函数

has jump discontinuities at

any integer m 我们看它的图像

这个函数因为我们以前见过

我们就快一点解释 请看

这个函数它在所有的整数点

它都是断开的 左右极限都不相等

因此我们说 它是一个

跳跃的间断点在所有的整数地方

well 我们再看一个例子

the function f(x) equals sin one

over x

这个函数它唯一在0点没有定义

让我们看一下0点是

怎样的一个间断点

it has an essential discontinuity at c

equals zero 为什么呢

请看图像 这个图像说明

f 在0点左右极限都不存在

因此这个情况下 我们划分成第三类

也就是c是一个本性间断点

Section Three Piecewise Continuity

分段连续性

同学们 在本单元最后一小节

我们看一下什么叫做

分段连续性的概念

函数的连续性 通常我们是在

某一个确定的区间上

或者定义域上讨论的

有的函数它在定义的时候

它就是分成很多小区间来定义的

现在我们对于这样的函数

我们有时候并不需要它整体连续

只是要求它分段的有连续性

这就是下面我们要引入的

分段连续性的概念 请看定义

definition of piecewise continuity

a function f is called

piecewise continuous in [a,b]

一个函数在闭区间 a b 上

叫做分段连续的 怎么样呢

if the interval the closed interval

[a,b] can be subdivided into

a finite number of subintervals

and on each of these subintervals

f is continuous and f has finite

right- and left-hand limits

这个条件很多

我们来一段一段再看一下

首先要求整个[a,b] 区间

可以分成有限个小的子区间

在每一个小的子区间上要求

f是连续的 这个连续性

跟前边连续性是一样的

而且要求在端点处

f的左极限或者右极限

一定有有限的极限 也就是

它不会趋近于正负无穷

好 这种情况下 我们就叫

f是分段连续的 简而言之

a piecewise continuous function

is made up of a finite number of

continuous pieces

简而言之就是

逐段连续的函数实际上是很多

小的连续函数的片段接起来的

好 这里我们画了一个典型的图像

a typical piecewise continuous function

它就是把[a,b] 分成了三段

每一段上都有一个连续函数

但是 你看 我们要求 在端点处

左右极限一定要真正的存在

是有限的数 但是可以不相等

于是 我们可以这样断言

remark 3.2

a piecewise continuous function

has only a finite number of

jump discontinuities

一个分段连续的函数

它只有有限个跳跃的间断点

好的 我们再看一个具体的例子

example 3.3

we have encountered steps function

阶梯函数 这个阶梯函数就是我们

以前讲过的floor function

f(x) equals bracket of x but

这个bracket 的意思是取整

取x的正数部分

on any finite interval

在任何一个有限长的区间上

is a piecewise continuous function

现在我们看一下它的图

取的这个阶梯函数

也就是取整函数

它在任何一段有限的闭区间上看

它都有有限个跳跃的间断点

它就是逐段连续的

我们再看一个例子

the function defined on zero to four

closed interval f(x) equals

这里 我就不念它的表达式了

总之这个函数在 从0到1

1到3 3到4这个分段的区间上

有它的解析表达式

这个函数 is piecewise continuous

它在每一段上都是

有连续函数来定义的

而且在端点处都有有限的极限值

因此 它就是 piecewise continuous

比如 我们可以把它的图像画出来

同学们 这一讲我们就讲这么多

我们重点学习了两种特殊的连续性

也就是一致连续性和分段连续性

另外 我们还讲了

三种不同的间断点

它们是可去间断点 跳跃间断点

以及本性间断点

关于连续性 我们就先讲这么多

下节课我们要讲一些新内容

就是无穷小量

无穷小量是计算极限的

非常重要的工具

所以 请同学们一定提前预习好

好的 我们下节课再见