第十一节 抽样分布在线视频

同学们大家好

欢迎来到管理定量方法课程

我是今天的主讲老师 杨老师

第十一节 我们来学习抽样分布的概念

在讲抽样分布概念之前

我们先关注一下

两组非常重要的概念

第一 是参数和统计量

第二 是统计误差

首先 什么是参数和统计量

我们这里给一些符号

μ σ平方 σ 和π

μ是总体的均值

σ平方是总体的方差

σ是总体的标准差

π是总体的比例

一般我们把这些数据

称为参数

参数是反应总体分布特征的指标

我们统称为总体参数

简称参数

平时我们用到的还有x拔

s方 s和p

x拔指的是样本的均值

s方表示的是样本的方差

s表示样本的标准差

p表示样本的比例

那么这些指标

都是反映样本分布特征的统计指标

我们统称为样本统计量

简称为统计量

这里我们给出来所有的总体参数

和样本统计量的计算公式

这里就不一一来做解答

那么什么是统计误差

在我们通过样本来估计总体信息的时候

会遇到两大类的统计误差

一类是非抽样误差

另一类是抽样误差

非抽样误差

一般包括两类

登记性误差

和非随机性误差

尤其是登记性误差

是可以进行检测的

我们可以尽量地减少

在计量的过程中

所得到的登记性误差

但是我们在抽样的过程中

不可避免的

会产生抽样误差

抽样误差是一种随机性的误差

它跟我们使用的计量方法

抽样方法是息息相关的

抽样误差是可以度量和控制的

讲了这两个概念之后

要给大家讲述的重点内容

是抽样分布规律

什么是抽样分布规律

我们通过一道题

来引出这个概念

EAI公司的人事主管

正在制定一项公司25,000名员工的简报

其中包括

500名中层管理人员的人均年薪

和公司中已经完成了管理培训项目的

管理人员所占的比例

我们想知道

统计指标是总体的参数μ和π

也就是

公司中中层管理人员的

人均年薪数量μ

和公司中

已经完成管理培训的管理人员的比例π

但是现在原始数据有限

我们可以做一个抽样调查

我们从500名中层管理人员中

总体中抽取了30名人员

计算得30名员工的平均年薪

x拔是51814元

30名员工中有19名员工

完成了管理的培训

样本的比例p

就等于19÷30=63%

也就是30名员工中

有63%的管理人员

参加了管理培训

那么我们想问

能不能说

公司所有的中层员工的平均年薪

就是51814元

公司中所有的管理人员

参加了管理培训的比例就是63%

显然是不可以的

那么为了能够弄清楚

总体的样本均值

和样本比例的分布规律

我们可以把500个

由30名经理所组成的一个简单随机样本

均值x拔的频数

和相对频数的分布规律

做一张频数分布表

通过这张表格

我们又可以得到

从500名中层管理人员中

随机抽取30名公司经理

组成的一个简单随机样本

均值x拔的相对频数分布的直方图

可以大概的看到

x拔的分布规律

近似一个正态分布

所以 通过这个案例

我们可以得到

抽样分布的规律

抽样分布规律

可以用以描述

抽样误差的规律性

是统计推断的一个理论基础

我们简单的讨论一下

两大类的抽样分布规律

一类是单一样本均值的抽样分布规律

另外一个是研究两个样本均值之差的

抽样分布规律

在讨论x拔的抽样分布规律的时候

我们经常会用到两个定理

一个定理是正态分布再生定理

一个是中心极限定理

首先我们来讨论一下

正态分布再生定理

统计学家发现

当我们从总体里抽取样本的时候

如果总体服从正态分布

而且这种分布规律全部已知

我们从总体中

抽取的样本容量为小n的样本

样本均值x拔

是一定服从正态分布的

样本均值的期望值和方差是多少

X拔样本均值

照样服从正态分布

它的均值为μ

标准差是总体的标准差

σ除以根号 n

这是退还抽样的情况

如果是不退还抽样

我们可以再加一个系数

来估计样本均值的标准差

X拔服从正态分布

其正态分布的均值为总体的均值μ

标准差是根号下大N减去小n

再除以大N减1

这就是正态分布再生定理

正态分布再生定理的前提条件是

总体的分布规律全部已知

但是这种情况之下

我们实际抽样的过程中

是不常见到的

实际抽样的过程中

很难知道总体的分布规律

既然不知道总体的分布规律

我们如何确定抽样分布的规律

中心极限定理给了我们很好的回答

中心极限定理

是正态分布再生定理的一个推论

如果设某总体的元素总量为大N

期望值为μ

标准差是σ

若从该总体中

抽取随机的样本容量为小n的样本

当小n很大的时候

统计经验发现

当样本量小n超过30个样本的时候

则样本的平均数x拔

样本统计的抽样分布规律

近似为正态分布

即x拔还是服从正态分布的

它的均值为μ

x拔的标准差

为总体的标准差σ除以根号n

如果是不退还抽样的话

再乘以一个修正系数

根号下大N减小n

再除以大N减1

这就是中心极限定理

中心极限定理告诉我们

当不知道总体的分布规律的时候

只要抽取的样本量

小n超过30个

即大样本的情况之下

就能够确定

样本的均值x拔的抽样分布规律

照样近似地为正态分布

这里的大样本n超过30

指的是研究的问题是单一的随机变量X

这就是我们常见的

中心极限定理

在讨论完中心极限定理之后

我们可以研究

两个样本均值之差的抽样分布规律

当我们从两个总体中

分别独立的抽取样本容量

小n1和小n2的样本时

有两个样本均值之差

所可能形式的相对频数

构成它们的分布形态

也称之为两个样本均值之差的

抽样分布规律

两个样本之差的抽样分布规律

是从两个大样本的总体中

来进行抽取

两个总体的均值之差

x拔1减去x拔2的期望值

就等于总体的均值μ1

减去总体的均值μ2

其分布的方差

为各自方差之和

即可以得到σx拔1

减去x拔2的平方

x拔1减去x拔2的方差

就是等于σ1的平方

除以n1加上σ2的平方

除以n2

那么当我们从两个总体中

抽取的都是大样本

研究两个样本均值之差的

抽样分布规律的时候

就可以得到x拔1减去x拔2

仍然服从正态分布

这个正态分布的均值

仍然是μ1减μ2

标准差是根号下σ1的平方除以n1

加上σ平方除以n2

我们用一张图

来对今天研究内容进行总结

尤其是讲到

这两个非常重要的定理

正态分布再生定理

和中心极限定理

我们对样本均值的抽样分布规律

进行一个总结

当我们从总体中进行抽样的时候

如果总体的分布规律

已知是正态分布

而且正态分布所有的特征

都是已知的

在这种情况之下

无论我们从总体里面

抽取的是大样本

还是小样本

样本的均值

仍然是服从正态分布的

这是我们讲到的

正态分布再生定理

更多的情况之下

我们从总体中

抽取样本的时候

并不知道总体的分布规律

是正态分布还是非正态分布

在这种情况之下

我们需要抽取大样本

在单一的随机变量的研究过程中

样本量需要超过30个以上

在大样本的情形之下

样本的均值x拔

仍然近似服从于正态分布

如果我们的研究条件有限

我们并不知道

总体的分布特征

是不是正态分布

如果是非正态的分布

这时候

我们可以从总体里边

抽取的样本又是小样本

我们可以利用非正态分布来解

非正态分布小样本的情形

更多的情况之下

样本均值服从于T分布

T分布是正态分布的一个变形

在我们相关的统计学的课程中

已经有了介绍

我们在这里就不做赘述了

以上是关于抽样分布规律的

一些知识总结

抽样分布规律

将有助于我们去理解

后续课程中讲到的参数估计

和假设检验

推断统计学的基本原理

好 今天的课程就讲到这

同学们再见