当前课程知识点：管理定量方法 > 第四章 数据的描述与统计推断 > 第十节 概率与随机变量（二） > 第十节 概率与随机变量（二）
同学们大家好
欢迎来到管理定量方法课程
我是今天的主讲老师
杨老师
第十讲
我们介绍概率与随机变量的第二部分
上一讲
我们介绍了一下
概率的概念
和随机变量的概念
也介绍了
离散型随机变量的概率分布特征
离散型随机变量取值为具体的
可分割的单个数值
还有一大类的随机变量
需要我们注意
连续型的随机变量
连续型随机变量
其随机变量取值
为某一区间内任何数值
临近数值之间没有任何的间隔
我们给大家画了一张图
来表示
离散型随机变量的概率质量函数
我们可以看到
离散型随机变量概率质量函数的特点是
一条一条的数值
而连续型的随机变量
其概率密度函数
表现为一条连续的曲线
连续型随机变量的概率密度函数
是对连续型随机变量X
概率密度函数 f(x)来描述的
X取值接近于x的相对可能性
或者是强度
连续型随机变量的概率密度函数f(x)
具备以下的三个特点
首先 f(x)是大于等于0的
图形一定是在x轴的上半部分
第二 f(x)连续型随机变量的概率密度函数
其曲线下面的图形面积为1
X取值在a和b之间的概率
等于密度函数
曲线下方a到b之间的图形面积
我们可以采用积分的方法来计算
表示连续型随机变量的
累积分布函数
随机变量X的累计分布函数
定义为对f(x)
随机变量的概率密度函数
进行一个积分的计算
下面 我们给大家介绍重点介绍的是
常用的连续型随机变量的
概率分布特征
重点给大家介绍三种
一种是最常见的正态分布
第二种T分布
第三种是F分布
首先我们来看看正态分布
Normal Distribution
正态分布
又叫高斯分布
是由统计学家高斯发现的
是我们最常用的
连续型随机变量的概率分布特征
正态分布的概率密度函数是什么呢
如果随机变量x的
概率密度函数为f(t)
等于根号下2派乘以σ之一
再乘以 e的负2
σ平方分之t
减μ括起来的平方
这么多次
这就是正态分布的
概率密度函数的具体公式
可以看到这个公式里边
有两个非常重要的变量
一个是正态分布的均值μ
另外一个是正态分布的标准差σ
如果随机变量x的概率密度函数
符合这样的一个基本形态
我们就称X服从均值为μ
标准差为σ的正态分布
normal distribution
记作如下的公式
但是 高斯又发现
其实我们在计算正态分布概率的过程中
需要对概率密度函数f(x)
进行一系列的积分
实在是非常不方便
但是高斯发现
如果有一个随机变量Z
服从均值为μ等于0
和标准差σ等于1的
正态分布的时候
我们称之为
随机变量X服从标准正态分布
standard normal distribution
在这种情况下
我们记为x服从Z分布
Z分布是一个标准正态分布
它的均值为0
标准差为1
那么高斯就构建了标准正态分布表
供后人来查阅
正态分布在分布图形上
是一个什么样的函数关系
如果X服从均值为μ
标准差为1的标准正态分布
那么x的概率密度函数就为f(x)
我们可以画出
正态分布的概率密度函数的图形
大家看下图
正态分布的概率密度函数
类似于一个钟型的曲线
这个钟型的曲线的特点是
当正态分布的均值发生变化的时候
正态分布的钟形曲线会向左
或者是向右发生移动
我们可以看到
当正态分布的均值为0
1和2的时候
标准差都为1
那么 钟形曲线正态分布的中心线
会向右发生移动
如果正态分布的均值μ=2
不发生任何的变化
标准差发生变化
标准差分别为0.5 1和2
那么这个正态分布的钟型曲线
会发生形状上的变化
当标准差越大
数据越分散
那么钟形曲线就会变得更平缓
如果标准差变得更小一些
钟型曲线会变得更高耸
数据会更集中一些
我们给大家画出来
一家valley纺织品公司
月收益率的正态分布图形
实际上
正态分布是我们遇到的
连续型随机变量的概率分布特征
最常见的一类
那么如何把一般的正态分布
转换为标准正态分布
我们在前面提到
标准正态分布是Z分布
如果Z分布服从一个均值为μ等于0
标准差σ等于1的正态分布的时候
那么正态分布就服从标准正态分布
如果X是一个服从均值为μ
和标准差为σ的正态分布
则我们把随机变量X减去它的均值μ
再除以它的标准差σ
X就变成了一个标准正态分布的Z分布
Z分布是服从标准正态分布的
即均值μ等于0
标准差σ=1
这是高斯发现的标准正态分布
除了正态分布之外
还有没有其他的连续型的概率分布特征
实际上在1908年的时候
爱尔兰的啤酒厂
一个工人叫做高塞特
发现了另外的一种分布规律
这是一种小样本的分布规律
我们把它命名为T分布
由于高赛特发表这篇统计的文章
用的是笔名student
我们为了纪念高赛特
就把T分布也称之为学生分布
T分布是什么样子的
实际上T分布是一个复合函数的分布
我们先讨论一下什么是卡方分布
设随机变量x1x2
一直有xn服从均值为0
标准差为1的正态分布
标准正态分布
则随机变量大X
就等于把所有的标准正态分布
x1到xn做平方求和
σx的平方
分布规律是服从自由度为n的卡方分布
设随机变量大X服从均值为0
标准差为1的标准正态分布
Y服从一个卡方分布
设随机变量T
就等于这个随机变量X
除以Y再除以n再开平方
服从一个自由度为n的T分布
实际上我们可以看到
T分布是由一个卡方分布
和正态分布组合的一个复合分布
T分布的图形类似于标准正态分布
但是在图形的表现形式上
比标准正态分布的钟型曲线
其中心的部分要低一些
两个尾部较高
第三种连续型的概率分布特征是F分布
F分布是一种正偏态的有偏态的分布
也叫做右偏分布
F分布是1924年英国的统计学家
Fisher爵士提出的
并以其姓氏的第一个字母来命名
它是由两个服从卡方分布的
独立随机变量
各除以其自由度后的
比值的一个抽样分布规律
是一种非对称的
右偏的分布规律
且位置是不可互换的
F分布有着非常广泛的应用
如在方差分析
回归方程的显著性检验中
都有着重要的地位
这里我们给大家看一看
F分布的概率密度函数形式
设随机变量X
服从一个自由度为n的卡方分布
Y服从一个自由度为m的卡方分布
设随机变量F
等于 x除以其自由度n
再除以y除以自由度m
服从一个分子自由度为n
和分母自由度为m的F分布
也就是说 F分布是有两个卡方分布
说F分布是有两个卡方分布
分别除以本身的自由度所做的一个商
仍然可以属于一个复合型的分布
这里 我们要看到
F分布有两个自由度
一个是分子的自由度n
一个是分母的自由度m
有两个自由度所决定的F分布
在图形上显示出来
F分布是一个右偏态的分布
这样的一个分布规律
随着分子的自由度n
和分母的自由度m的不同
其图形在形状上
也会表现出差异
但是仍然表现为一种右偏态
或者叫做正偏态的分布规律
在后续的课程中
我们会利用正态分布
进行参数估计和假设检验
T分布用于回归模型的
回归系数假设检验
F分布用于回归模型的总检验
好 这节课就上到这里
同学们再见
-第一节 管理学研究概述
-第二节 研究的有效性
-第一章 习题
--第一章 习题
-第三节 数据的采集（一）
-第四节 数据的采集（二）
-第五节 问卷与访谈
-第二章 习题
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-第六节 变量的测量（一）
-第七节 变量的测量（二）
-第三章 习题
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-第八节 数据的描述
-第九节 概率与随机变量（一）
-第十节 概率与随机变量（二）
-第十一节 抽样分布
-第十二节 参数估计
-第十三节 假设检验（一）
-第十四节 假设检验（二）
-第四章 习题
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-第十五节 问卷的结构效度——探索性因子分析（一）
-第十六节 问卷的结构效度——探索性因子分析（二）
-第十七节 聚类分析（一）
-第十八节 聚类分析（二）
-第五章 习题
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-第二十节 相关和回归分析（二）
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-第二十四节 违背基本假设的回归（一）
-第二十五节 违背基本假设的回归（二）
-第二十六节 违背基本假设的回归（三）
-第二十七节 多重共线性的诊断和修正（一）
-第二十八节 多重共线性的诊断和修正（二）
-第六章 习题
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-第二十九节 硕士学位毕业论文指导（一）
-第三十节 硕士学位毕业论文指导（二）
-第七章 习题
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