第二十五节 违背基本假设的回归（二）在线视频

同学们 大家好

欢迎来到管理定量方法课程

我是今天的主讲老师 杨老师

第二十五节我们介绍违背基本假设回归的

第二个部分

在二十四节我们介绍了违背基本假设回归

所提出的异方差的问题

以及解释了什么是异方差

异方差的经济后果是什么

这里我们接着介绍

如何去检验异方差

一种方式就是通过图示法

这一节 我们介绍第二种方法解析法

解析法检验异方差的基本共同思想

是由于不同的观察值

随机误差项具有不同的方差

因此检验异方差的主要问题是

判断随机误差项的方差

与自变量X之间的相关性

很多方法都是围绕这个思路

通过建立不同模型的研判标准

来检验异方差的

这里我们给大家主要介绍的是

斯皮尔曼等级相关系数检验法

Spearman rank correlation

这个方法的特点是对样本量

没有过多的要求

所以大样本和小样本

都可以用于检测异方差

使用范围相对广泛

斯皮尔曼等级相关系数rs

就等于1减6倍的中括号里σdi的平方

除以n乘以n的平方减1

其中公式中 di表示的是第I个单元

或者是现象的两种不同特性

所处的等级之差

而n表示的是带有级别的单元

或者是现象的个数

那么如何来求解斯皮曼等级相关系数

我们先建立一个简单线性回归模型

以简单线性回归模型为例

y就等于β₀加β₁X加（随机）误差项

第一步 先运用普通最小二乘法

对原方程进行回归分析

计算出随机误差项

第二步 计算斯皮尔曼等级相关系数

将随机误差项的绝对值

和解释变量观察值x按从小到大

或者从大到小的顺序分成等级

等级的大小可以人为进行规定

一般取大小顺序中的序号

如果有两个值相等

则规定这个值的等级

取即等级的算术平均值

然后计算随机误差项的绝对值

与x的等级差di

di就等于x的等级

减去随机误差项绝对值的等级

然后根据我们刚才所给出的公式

来计算斯皮尔曼等级相关系数

这里有同学要问

那么自变量如何来选择

实际上我们在建模过程中

我们要对什么样的自变量

哪一个xi有可能会产生异方差

有一个基本的研判

另外如果判断不出来

我们可以把所有的x

都带入斯皮尔曼等级相关系数来进行检验

第三步 对于总体的等级相关系数

rs进行显著性的检验

原假设H0是μs等于0

H1备择假设是μs不等于0

样本的斯皮尔曼等级相关系数rs的显著性

可以通过一个t检验来进行检测

t值给出公式

t就=rs乘以√n-2

再除以√下1-rs的平方

它服从一个T分布

对给定的显著性水平α

查t分布表得到t值

若t值超过临界值t值

表明样本数据异方差性显著

否则认为不存在异方差性

对于多元回归模型可以分别计算

随机误差项绝对值与每一个自变量的

斯皮尔曼等级相关系数

再分别进行上述的检验

这里有一个统计的经验

如果模型的斯皮尔曼等级相关系数

超过0.5以上

意味着异方差是比较严重的

讨论了回归模型的异方差性检验之后

我们接着讨论如何对模型的异方差

进行修正

异方差性虽然不损坏

普通最小二乘法估计量的无偏性和一致性

但却可能使它们不再具备最优性

甚至不是渐进有效的

在大样本中参数的显著性检验失效

降低了预测的精度

直接运用普通最小二乘法进行估计

不再是恰当的

需要采用相应的修正补救办法

以克服异方差的不利影响

异方差修正的基本思路是变异方差

为同方差性

或者尽量缓解方差变异的程度

这里我们给大家介绍两种异方差的

修正方法

我们先介绍其中一种

在很多经济学计量模型的建构过程中

都会采用第一类方法对模型的异方差

进行修正

模型对数变换法

模型对数变换法仍以

模型Y等于α加βX

加随机误差项为例

变量Xi和Yi分别用常用对数LNX

和常用对数LNY来替代

也就是对数据 x和数据y

进行常用对数的变换

则模型变化为LNY

就等于α加βLNX

加随机误差项

进行普通最小二乘法的估计

通常可以降低异方差性的影响

其原因是什么

对数变换压缩了测量的尺度

把两个数值几乎为10倍的之差

有可能会降低到两倍

我们可以利用IBM SPSS软件

来进行实验

下面我们就利用IBM SPSS软件

给大家做斯皮尔曼等级相关系数检验

以及利用对数变换来对模型进行

异方差性的修正

我们仍然利用上一讲的数据来进行

异方差的检验和异方差的修正分析

首先我们看看这组数据

这组数据是国家统计局颁布的

国内各个不同的城市和地区的

某一年度的从业人数和财政收入

第一列是各个地区城市的从业人数

单位是万人

第二列是各个地区或城市的

财政收入 单位是万元

下面我们先做一个普通最小二乘法的回归

我们在做回归的时候

保留回归模型的随机误差项

首先我们要点分析 回归 线性回归

在这里我们可以看到

我们把从业人数点入自变量

把财政收入点入因变量

我们前面也谈了

如果想要保留回归模型的随机误差项

需要点保存

点保存之后

我们要点未被标准化的残差

点未被标准化的残差之后

我们点继续continue

点了继续之后

我们点确定就可以得到回归模型了

我们再复习一下回归模型的结果

我们可以看到在模型摘要里边

简单线性回归模型的

拟合优度R方是66.5%

还是有改进的余地的

另外这个模型

是y海德等于负的1141998.16

加18569.63x

x前面的回归系数B1的t值

是7.585

p值是0.000

通过了回归模型的t检验

模型是显著的

我们看一看在原始数据中

生成了回归模型的残差项

软件标注为residuals RES-1

这一列就是残差

下面为了计算斯皮尔曼等级相关系数

我们需要对残差项加一个绝对值

如何做绝对值

我们前面介绍了IBM SPSS软件的

另外一个功能

计算变量

我们可以点转换 计算变量

打开一个对话框

把刚才的公式去掉

这里边我们输入一个目标变量叫做e

来代表随机误差项的绝对值

那么如何去求残差的绝对值

我们可以看到计算器里边

是不存在绝对值符号的

所有的计算符号 运算的过程

我们都可以在一个函数组里边找到

就是在函数组里边的算术

我们点Abs

absolute就是加绝对值的意思

我们选点Abs之后点箭头

计算表达式

我们把需要计算的残差项选中

点入数字表达式

我们计算的就是残差的绝对值

等于目标变量e

可以点确定

就可以计算出来数列绝对值了

这就是随机误差项的绝对值

算完随机误差项的绝对值之后

我们去生成随机误差项的绝对值

与自变量从业人数X之间的一个

斯皮尔曼等级相关系数

我们可以找到分析 相关 双变量

双变量我们点的是残差的绝对值e

和从业人数自变量x之间的

斯皮尔曼等级相关系数

相关系数要选择斯皮尔曼

而且软件会帮助我们做一个

显著性的双尾 t检验

来进行假设检验

我们点确定之后

就可以直接得到一张相关系数表了

相关系数表里面显示

残差和从业人数的斯皮尔曼等级相关系数

是0.680

而且p值是0.000

是非常显着的

斯皮尔曼等级相关系数已经超过了0.5

所以说这个研究我们发现

模型中是存在着一定的异方差的

下面我们对异方差进行一个修正

如何进行异方差的修正

我们把原始数据中的残差

和残差的绝对值删掉

删掉之后我们可以对从业人数和财政收入

分别进行常用对数的变换

如何进行常用对数变换

仍然可以用到我们前面讨论的

转换计算变量的功能

把刚才的数学表达式删掉

我们先对从业人数x取常用对数

设目标变量为LNX

那么在算术函数组里

我们可以找到常用对数LN值

我们点进去就可以找到数字表达式

我们求的是从业人数

点入从业人数 常用对数

等于目标变量LNX

点确定

这样就生成了一个新的数列

我们可以看到这个数列的变化的幅度

减小了一些

减少了部分的来自于数据的异方差

下面我们把财政收入Y也进行一个

对数变换

转换 计算变量

把原始公式删除掉

目标变量换成LNY

点进去之后

我们把财政收入点入数字表达式

求财政收入的常用对数等于目标变量

点确定

我们把自变量 x和因变量y全部进行了

对数变换

其振幅都缩小了

减少了部分的数据来源的异方差

我们再做一个普通最小二乘法的回归

点回归 线性回归

这里我们的自变量和因变量

自变量换成了LNX

因变量换成了LNY

直接点确定

来看看回归的结果

得到回归模型

回归模型的摘要中显示

回归模型的拟合优度R方是88.3%

可以看到比原来的普通最小二乘法的

回归模型的拟合优度要提高了将近20%

这个模型还是非常显著和有效的

模型拟合效果得到了极大的改善

因为去除了很大一部分异方差

以上就是对异方差的检验

和对数变换模型修正

好 这节课就讲到这里

同学们再见