分段叠加法的例题在线视频

下面我们通过一个例题继续学习分段叠加法

我们看图示简支梁求它的内力图

第一步我们可以先求支座反力

取AF简支梁整体作为隔离体

切断支座暴露出支座反力

整体对F点取力矩平衡

可以求出支座A的竖向反力

或者我们可以对A取力矩平衡

求出F支座的竖向反力

求出支座反力之后

第二步选定控制截面

对这个简支梁根据它的荷载特性

我们可以选定ACD和F

这四个截面作为控制截面

这里面支座处AF两个截面

它们的弯矩是0

CD两个截面的弯矩

是我们这个问题求解的重点

梳理一下刚才的求解思路

解第一步先求支座反力

取AF梁整体为隔离体

由F点力矩平衡求出A支座的竖向反力

再由整体竖向平衡求出支座F的竖向反力

第二步选定控制截面

ACDF这样四个截面

AF处因为是铰

所以弯矩是0

要求C截面的弯矩

取AC段为隔离体

切断A截面与支座之间的连接

暴露出来已经求得的支座反力17千牛

切断C截面暴露出来C截面的内力

弯矩和剪力

对C截面列力矩平衡方程

就可以把C截面的弯矩MC求出来了

同理为了求D截面的弯矩

我们将D截面截开

取梁的右半段DF为隔离体

切断的F截面暴露出支座反力向上的7千牛

切断的D截面有剪力和弯矩两个内力

对D点列力矩平衡方程可以将MD求出来

这样我们就求出了四个控制截面的弯矩

用分段叠加法做弯矩图

梁的轴线作为水平轴

标出四个控制截面的弯矩

AF两个截面是0

C截面是下侧受拉的26千牛米

D截面是下侧受拉的30千牛米

然后根据我们选定的控制截面

整根梁分成了AC CD DF这样三段

每一段连接杆端弯矩成为基线

在每一段叠加上

简支梁在杆间荷载作用下的弯矩图

比如说AC段要叠加上

简支梁在跨中集中力作用下的弯矩图

所以AC段最终的弯矩图是一个折线的图形

CD段叠加上

简支梁在均布荷载作用下的弯矩图

是一个二次抛物线

注意所谓弯矩图的叠加指的是竖标相加

DF段同理

接下来我们要把弯矩图上一些关键点的

弯矩值标注上去

比如说B点集中力作用下

B截面的弯矩算出来是17千牛米

要把17标上

E截面也是要算出它的弯矩值

这里面要注意在截面E处

原问题是作用有集中力偶的

所以弯矩图在截面E上是有台阶的

这个台阶的大小刚好是集中力偶的大小

这就是我们用分段叠加法求出的弯矩图

记住标上单位千牛米

画出弯矩图之后我们来做剪力图

做剪力图的方法有两种

一种是我们可以根据已经做出的弯矩图

根据它的斜率来画剪力图

然后我们回到原问题

每一段取隔离体来校核这个剪力图的正确性

或者我们把这个步骤反过来

先对原来简支梁的每一段进行隔离体分析

画出剪力图

再把这个剪力图跟弯矩图的斜率相对比

来进行校核

比如说我们这里选用前一种办法

根据弯矩图可以看出整根梁AB段

它的剪力是一个常数

可以把这根斜线的斜率求出来

BC段的剪力是一个常数

把这根线的斜率求出来

CD段剪力应该是一个斜直线

DE和EF段剪力是常数

由此我们得到这样的剪力图

把这个剪力图

跟刚才所取的两个隔离体进行对比

可以校核剪力图的正确性

这里要提醒大家注意的是

弯矩图画在杆件的受拉侧

不用标注正负号

而剪力图要把正的剪力画在杆轴的一侧

负的剪力画在杆轴的另一侧

这里面B截面作用有集中力

所以剪力图在B截面上是有台阶的

这个台阶的大小等于8千牛

刚好是集中力的大小

剪力的正负号根据我们的规定

使隔离体顺时针转动的剪力是正的

使隔离体逆时针转动的剪力是负的

比如说AB段的剪力

我们在AB段取一个截面把它截开

如果我取左半部分为隔离体的话

我们可以看到

这个截面上的剪力

是使左半部分这样一个小的隔离体

顺时针转动的

所以它是正的