分段叠加法作弯矩图在线视频

在静定桁架和梁的内力分析中

我们都初步体验了用叠加法简化计算它的好处

这一小节我们将着重讨论对于单跨梁

或者说结构中的直杆段

如何用分段叠加法简化做弯矩图的过程

能够使用叠加法的前提是

研究的是线性弹性体系

也就是说材料的性质

和它的几何性质都是线性的

在这里叠加原理指的是

结构中由全部荷载所产生的内力或变形

可以等效转换成每一种荷载单独作用

所产生的效果的总和

对于结构中的直杆段

我们可以采用分段叠加法

来简化做弯矩图的流程

我们先看图上这样一个简单的简支梁AB

它受两种荷载作用

一种荷载是沿着AB杆轴

垂直方向的均布荷载q

另外一种荷载是A截面和B截面

各受一个集中力偶MA和MB的作用

要画这样一个简支梁的弯矩图根据叠加原理

我们可以把它分成这样两个状态的叠加

第一个状态是简支梁AB在MA MB

这样两个集中力偶作用下的弯矩

另外一个状态是

简支梁只在均布荷载q作用下的弯矩

这两个状态外荷载相加起来与原状态等价

杆件的内力合在一起

也跟原状态杆件的内力相等价

上面第一个状态它的弯矩图在左端A截面

是下侧受拉的MA

B截面是下侧受拉的弯矩MB

AB段中间弯矩图是一个斜直线

连接这两点得到它的弯矩图

而下边均布荷载作用下简支梁的弯矩图

同学们一定非常熟悉了

它是一个AB为0点的二次抛物线

跨中弯矩值八分之一ql方

l是杆件的长度

那么把上下这两个状态的弯矩图叠加在一起

就是原问题的弯矩图

也就是说要画这个简支梁的弯矩图

应该是这样一个流程

先求得A截面的弯矩是下侧受拉MA

B截面的弯矩是下侧受拉MB

把MA MB连成一个斜直线

我们用虚线表示 称之为基线

在这个基线上再叠加上

简支梁在均布荷载作用下的二次抛物线的图形

这里要注意我们是把同一个截面

在两种状态下的弯矩的竖标叠加在一起

好了

这个绿色的实线所围成的这个图形

就是简支梁的弯矩图

这是叠加法在弯矩图中的初步应用

下面我们研究稍微更复杂一点的问题

简支梁受到图上这样的荷载作用

如果要直接画这个问题的弯矩图

计算将是比较繁复的

如何用结构力学的办法来画呢

我们把这个梁CD截面截开

AB截面也跟支座截开

这样把梁切成了三段

我们先取AC段出来做隔离体

截开截面相当于去掉约束

代之以约束力在A截面受到的约束力

是一个支座反力

C截面受到的约束力是剪力和弯矩

这样的内力分量

第一步去约束 代之以约束力

下面我们再对AC段给它加约束

用约束来代替其中的部分约束力

比如说我保留在AC段上作用的外荷载Fp

以及C截面的弯矩MC

给AC段加上一个简支的支座

把它变成这样一小段简支梁

从受力分析上来看

我们可以发现

上边这个AC和下边简支梁AC

他们的外荷载相同

支座反力也是相同的

也就是说A截面的竖向力

C截面的竖向约束力

现在在下图中变成了支座反力

上边的AC段梁和下面的简支梁AC受力等价

下面AC这个简支梁它的弯矩图

我们可以画出来

A点弯矩为0

C点弯矩是向下受拉的MC

连成红色的基线

叠加上简支梁在跨中Fp

这样一个集中力作用下的三角形弯矩图

这是简支梁AC的弯矩图

也是原来这个梁当中AC段的弯矩图

二者受力等价 内力也是等价的

这个等价的过程

我们是通过先去约束代之以约束力

再加约束

这样两步得到的

同理我们把梁中的CD段截出来

去约束代之以约束力

CD两个截面分别暴露出来剪力和弯矩

别忘了要把外荷载均布荷载q画在上面

截出DB来

去约束代之以约束力

D截面暴露出来弯矩和剪力

而B截面暴露出支座反力

然后加约束

在CD段我们保留均布荷载q

以及C截面的力偶MC和D截面的力偶MD

加简支支座这样的约束

用支座代替上图中的剪力

这样CD段等价成了最下面这样的CD简支梁

这个简支梁的弯矩图

C截面下侧受拉MC

D截面下侧受拉MD

二者连成一个斜直线

在斜直线的基础上叠加上

简支梁在均布荷载q作用下的抛物线弯矩图

八分之一ql方

这是简支梁CD的弯矩图

也是原来梁中CD段的弯矩图

二者在受力上是等价的

DB段也是类似的

这样我们就把上面ACDB

这样一个大的简支梁的弯矩图的绘制

等效成了下面三段小的简支梁弯矩图的绘制

这种方法就叫做分段叠加法

归纳起来分段叠加法在具体实施时可以这样做

首先我们找到整个梁上的控制截面

也就是一些关键截面

比如这里的支座截面A和B

比如均布荷载的起点C截面

以及均布荷载的终点D截面

我们求得ACDB这四个关键点的弯矩

AB两点弯矩是0

把CD两个截面的弯矩标注在图中

然后我们把AC两端的弯矩连成基线

用红色虚线表示

再把CD段C端和D端截面的弯矩连成基线

DB弯矩连成基线

然后在AC段叠加上

简支梁在跨中集中荷载作用下的弯矩图

是一个尖点向下的三角形

CD段叠加上

简支梁在均布荷载q作用下的弯矩图

是一个二次抛物线

而DB段类似

叠加上简支梁在集中力偶M作用下的弯矩图

是两段平行的斜直线

由此得到图上梁AB最终的弯矩图

归纳起来分段叠加法做弯矩图的具体步骤

一选定控制截面

求控制截面在全部荷载作用下的弯矩值

将各控制截面的弯矩值按比例画在图上

画在受拉侧

在各控制截面之间连以直线

这个直线我们称之为基线

可以选择哪些截面做控制截面呢

比如集中力或集中力偶作用的截面

比如分布荷载的起点和终点

或者梁的左右端支座截面等

连成基线之后

第二步便是在各个控制截面之间

在基线上叠加这个直杆段作为简支梁时

由杆间荷载所产生的弯矩图

分段叠加法中

我们把一个大的梁受复杂荷载作用下的

画弯矩图这样的工作等效成了

一个一个小的直杆段

该直杆段在等效成简支梁

画简支梁弯矩图的这样的工作

到此为止我们画弯矩图都是通过

荷载与内力之间的关系

以及分段叠加法这样的方法来实现的