温度改变时静定结构位移计算在线视频

各位同学大家好

在学习了静定结构

在支座移动和荷载作用下时

所产生的位移计算方法之后

这一节课我们来学习温度改变时

静定结构的位移计算

首先我们来看一下

只有温度改变时

静定结构的受力特点和变形特点

只有温度变化时

静定结构内部没有内力

各个杆件由于热胀冷缩而发生自由的变形

比如图上这个简支梁

如果上侧升温t1摄氏度

下侧升温t2摄氏度

假设t2大于t1

那么在这样的温度变化作用下

上侧纤维伸长

下侧纤维也伸长

但是下侧纤维伸长量更大

使得原来的简支梁

产生图上红色虚线这样的变形

考察梁中间的一个截面C

C截面由于温度改变

发生了图上这样的位移变到C一撇的位置

这里C点发生的位移可以分为这样三个分量

一个是C截面的水平位移ΔCH

C截面的竖向位移ΔCV

以及C截面的转角记作θC

这就是静定结构在温度改变时

它的受力特点和变形特点

特别要注意的是静定结构温度变化时

结构内部不产生内力也没有支座反力

这样一个零内力

零反力的状态

满足静定结构所有的平衡条件

它就是静定结构的真实解答

具体的在温度变化时

静定结构它的某个截面位移

又该如何计算呢

下面我们来讨论它的计算公式

假设图上这样一个静定的悬臂刚架

在某一时刻

刚架内侧和外侧的温度都是10摄氏度

在另一时刻

刚架内侧温度为35摄氏度

外侧为25摄氏度

那么由左图这个时刻到右图这个时刻

刚架内侧和外侧分别发生了温度改变

内侧升温25摄氏度

外侧升温15摄氏度

以下我们将以t1 t2

表示静定结构它的温度改变值

下面我们来研究一下由于温度改变

杆件截面它所产生的变形

从静定结构的某个杆件当中

我们截取出这样一个微段ds

这里面h是截面的高度

截面的上边缘升温t1

下边缘升温t2

在我们这门课中凡是考虑温度改变时

都引入这样一个假设

我们设沿着杆件截面的厚度方向

或者说高度方向

温度成线性变化

同时我们用α来表示材料的线膨胀系数

α指的是单位长度

每升高1摄氏度材料的伸长量

下面我们来计算一下

这个杆件的两个标志性的温度值

一个是杆件截面上下边缘的温差

记作Δt

这里我们假设t2大于t1

Δt等于t2减t1

另外一个是杆件轴线处的温度改变值t0

根据我们的假设

温度沿着杆件这个高度h方向成线性变化

所以我们很快由t1和t2的线性插值

得到t0它的表达式

对于矩形截面来说

我们知道它的轴线是位于中心的

所以t0刚好等于

上下边缘温度改变值的平均值

这样我们回头来看

这个微段的右侧截面

那么由于热胀冷缩

上边缘升温t1

那么最上边缘的纤维将伸长αt1乘以ds

同理下边缘将升温t2

所以下边缘的纤维伸长αt2ds

沿着整个这个截面

它的温度是线性变化

纤维的伸长量也是线性变化的

轴线处的纤维伸长量为αt0ds

那么温度改变前原来是这样一个微段 黑色的

温度改变后

这个微段它的一些纤维发生了伸长

那么原来这个垂直的这个平面

现在变成了右侧这个斜着的橘色的平面

可以看到对于这个微段ds来说

由于温度改变它发生了两种变形

一种是沿轴线方向的伸长压缩

也就是轴向变形

轴向变形我们这里以杆件轴线处的变形量

为代表进行计算

另外还有这个截面原来是这样竖直的

变形之后变斜了

原来的这个截面竖直的方向

跟这个斜截面之间产生了夹角

也就是说横截面产生了转角

这是弯曲变形

由此我们得到微段ds它的两种变形量

是这样表示的

首先轴向变形量拉应变

单位长度的伸长量

这里用轴线处的伸长量来表示

或者说以轴线处的应变值

来表示整个截面的拉应变

弯曲应变

对应的是截面的转角dθ

它所产生的曲率

所以弯曲应变κ是等于dθ除以ds

dθ等于什么呢

根据我们的小变形假设

它可以用上下边缘的伸长量相减

再除以h来表示

由此得到弯曲应变的表达式

这里面Δt以后

我们将以上下边缘的温差的绝对值来表示Δt

剪应变 没有

γ等于0

这样我们把所产生的轴向应变和弯曲应变

代到位移计算的虚力原理虚力方程中

就得到温度改变时

静定结构杆件截面位移计算的公式

如下

这个公式当中1仍然表示单位荷载

和M杠和FN杠表示的是在单位荷载作用下

我所构造的虚设平衡力系中所产生的内力

弯矩和轴力

它们在真实的由于温度改变而产生的

位移变形状态上做虚功

外虚功等于内虚功

真实的变形状态里面Δ是真实的

待求的 未知的截面位移

κ是由于温度改变而产生的弯曲应变

也就是上面这个表达式

ε是由于温度改变而产生的拉应变

那么我们把上面的拉应变和弯曲应变表达式

代到这里面来

就得到下面这样一个式子

对于这个位移计算公式

我们要注意它两项的符号

第一项是对应于弯曲应变所产生的位移

那么这里面包含两个状态的量

一个是真实变形状态下的量

这里面Δt对于右边这个杆件来说

如果要是下侧升温量更大

t2比t1大的话

那么下侧受拉上侧受压

Δt我们在具体计算时用绝对值表示

它哪侧边缘的纤维是受拉还是受压

我们要根据具体的t2t1这两个值来判断

对于平衡力系状态里面的弯矩M杠

那么如果M杠和Δt使同侧纤维受拉

那么它们做的虚功是正功

前面应该取正号

如果M杠和Δt使杆件的不同侧纤维受拉

那么它们之间做的是负功

前面应该取负号

所以第一项弯曲应变所产生的位移

是正号还是负号

要具体考察

Δt和M杠是否使杆件同侧纤维受拉

使同侧纤维受拉则为正

第二项对应于轴向应变所产生的位移

这里面还是分成两个状态的量

对于真实变形状态下的量t0来说

拉为正压为负

对于平衡力系状态下的量

轴力FN杠来说也是拉为正

压为负的

在温度改变时

静定结构内部不产生内力

而由于杆件的自由变形

会使得截面发生位移

位移计算公式如图所示

温度改变将使得杆件内部产生两种变形

弯曲变形以及轴向变形

它们分别对位移量产生贡献

在这个公式当中要注意正负号规则

弯矩M杠和上下边缘的温差Δt

如果它们使杆件同一侧纤维伸长

那么这说明M杠

在真实的弯曲变形上做正虚功

乘积为正

对于第二项轴向变形产生的位移

t0以升温拉为正

FN杠这个轴力也是以拉为正

下面我们来看一道例题

求图上这样一个简支刚架

它的右端C截面水平位移ΔCH

这里面刚架产生了温度变化

刚架外侧温度不变

而刚架内部升温10摄氏度

即杆件的线膨胀系数为α杆件为矩形截面

它的横截面高度为h

我们首先确定这是一个静定结构求位移的问题

产生位移的因素是温度改变

用虚力法也就是单位荷载法

构造虚设的平衡力系状态

这里我要求的是C截面的水平位移

所以跟之前一样

我们来在结构的C截面上设一个水平的单位力1

在这个单位荷载作用下

计算支座反力以及杆件的内力

我们画出它的弯矩图以及轴力图

因为温度改变时主要产生两种变形

弯曲变形和轴向变形

计算出Δt也就是上下边缘的温差

Δt按照t2减t1的绝对值来表示

同时判断在M杠图中

刚架的内侧纤维受拉

而在实际的变形状态时

刚架也是内侧纤维受拉

轴线处的温度升高值记为t0它是5度

好了下面我们代入位移计算的公式中

温度改变下产生的位移

由弯曲应变和轴向应变两部分组成

弯曲应变所产生的变形中

公式计算时涉及到Δt和M杠

两个状态里的量

M杠是单位荷载作用下的弯矩

Δt是真实变形状态里的弯曲应变

在这个问题里

它们使所有杆件都是同侧纤维受拉

所以做出来的是正的虚功

前面取正号

对于轴向变形状态

涉及到单位荷载作用下的轴力FN杠拉为正

真实变形状态下轴线处的升温值t0

仍然是拉为正

把具体的数值代进去的时候

我们发现需要算一下M杠图的面积积分

需要算一下FN杠这个图的面积

最后得到正的ΔCH表示实际的位移方向

就跟我假设的向右这个方向是相同的

这道题就解完了

以上就是这一小节的主要内容

温度改变时静定结构它的位移计算

基本原理仍然是沿着单位荷载法虚力法

这样一个思路进行

不同的是这里真实状态下所产生的应变

跟温度改变量有关

我们用温度改变量线膨胀系数以及截面参数

把应变值表示出来

代入单位荷载法的计算公式中即可

以上我们已经考察了

荷载 支座移动 温度改变

这三种因素各自影响下

静定结构它的位移计算方法以及计算公式

如果一个静定结构同时受到这三个因素的作用

那么由于我们考虑的是线性弹性体系

我们可以把上面这三种因素

所产生的位移进行叠加

得到位移计算的总的公式

以上我们从虚功原理出发

研究了静定结构位移计算的原理和计算方法

下一节我们将对虚功原理进行深入的讨论

导出互等定理

这一节就先到此结束