虚力法求刚体体系的位移在线视频

第五章里

我们首先从刚体体系的位移计算学起

这是一个比较简单的情况

用虚力法来求刚体体系的位移计算

那么什么是虚力法呢

这是个问题

我们首先来回顾一下刚体体系的

虚功原理

它是这样说的

设刚体体系上作用有

任意平衡的力系

这构成了一个任意平衡力系状态

又设体系发生了任意可能位移

这构成了任意可能位移状态

我让平衡力系

在可能位移上做虚功

虚功的总和恒等于零

这就是刚体体系的虚功原理

我们来仔细看一下这个虚功原理

这里面要说明的是

可能位移状态指的是

体系发生了符合约束条件的微小位移

可能这两个字包含两点

第一

要符合约束条件

第二

要是微小的位移

在刚体体系的虚功原理里面

存在两类变量

一个是力一个是位移

力和位移也正是我们力学的两个核心要素

对应于力的

是一个任意的平衡力系的状态

对应于位移的是一个任意的可能位移状态

这里面要注意两个任意

也就是说

平衡力系和可能位移

这两个状态都是任意的

而且它们是相互独立的

这就是刚体体系的虚功原理

事实上

刚体体系的虚功原理

我们已经在机动法做影响线时

使用过了

我们现在来回顾一下

梁AB

受单位移动荷载的作用

如果我现在想要画支座反力B

它的影响线的话

那么我们在机动法中

用的是这样一个办法

第一步

去约束代之以约束力

把B支座的约束去掉

代之以支座反力FRB

结构变成具有一个自由度的机构

这个机构在单位荷载

支座反力共同作用下

处于平衡状态

单位荷载以及支座反力

组成了一个平衡力系

然后为了求影响线

我们让这个机构AB

沿着Z的方向产生了虚位移

得到图上这样一个虚位移的状态

然后

我们让真实的力

在虚位移上做虚功

列出虚功方程

由这个虚功方程导出

虚位移图形的形状

就是影响线的形状

如果令δZ等于1

图形反号就是影响线图形

在这个过程当中

我们利用了刚体体系的虚功原理

左侧是它真实的力的状态

我们要求的也正是其中的真实的力FRB

右侧是为了求力

我虚设的可能位移状态

这里位移是虚设的

位移是假的

所以我们把它叫做虚位移法

虚功原理根据那两个状态

谁是虚的可以分成虚位移法

以及虚力法

机动法做影响线时

我们虚设的是位移

要求的是真实的力

这种方法叫虚位移法

我们利用虚位移法

把一个原本要求力的问题

转化成了要求位移的问题

在这一章里

问题相反

我们要求的是位移

那么位移的状态是真实的

力的状态是虚设的

所以我们利用的是虚功原理中的虚力法

下面我们利用虚功原理中的虚力原理

来求刚体体系的位移

相应的方法

我们称之为单位荷载法

下面我们来进行具体的解释和学习

我们看图上这个例子

静定梁AB

已知支座A向上移动C1这样的距离

那么这个支座移动

将会使得静定结构AB

发生位移

如红色虚线所示

现在我们要求B点的竖向位移

我们要求的是静定结构

在支座移动时所产生的位移

对于静定结构

当支座发生沉降

整个体系内部没有变形

它的位移就跟刚体位移是一样的

图上静定梁AB由于支座A

上升C1这么大的距离

而产生的位移

就像是没有支座A

整个AB机构绕着

中间的这个铰支座产生转动

这样的刚体位移是一样的

所以我们要解决的

是一个刚体体系的位移计算

显然

计算这个位移

我们可以用几何的办法

这是一个比较简单的问题

我们可以直接用

三角形相似

得到C1表示的B截面竖向位移Δ

但是现在我们要用另外一种途径

另外一种方法来求解这个问题

图上这是我要求解的真实的位移状态

为了求这里的Δ

我虚设一个力的状态

在拟求位移Δ的方向上

设置单位荷载

把原结构拿过来

在Δ的方向

也就是B的竖向设置一个单位力

得到如右图所示

这样的虚设的平衡力系状态

这个状态下支座反力

和这个单位力相平衡

根据平衡条件

我们可以求出虚设的力系状态下

支座A的反力

反力FR1等于负的b除以a

右图便是虚设的平衡力系状态

这样我们对于要研究的体系

得到了真实位移状态

以及虚设力系状态

这两个状态是独立的

下面

我们利用刚体体系的虚功原理

虚设的平衡力系

在真实的刚体位移上做虚功

b状态在a上做虚功

得到虚功方程

由虚功方程

我们可以直接导出

Δ的值

上面这种方法

因为我们是在所求位移Δ的方向上

虚设了单位力

所以我们称之为单位荷载法

单位荷载法是一种虚力法

它利用虚力原理

把求位移的问题

转化成了求平衡状态下力的问题

我们把上面这一部分

做一总结和疏理

支座移动时

静定结构的位移计算

静定结构在支座移动时

并不引起内力

也不引起应变

所以

支座移动使得静定结构产生的

是刚体位移

它的计算

是刚体体系的位移计算问题

对于刚体体系的位移计算

我们不是用几何方法来进行求解

而是虚设单位荷载

利用虚力原理来进行求解

也就是单位荷载法

这里要注意的是

虚设的单位荷载应是

拟求位移相应的单位荷载

准确地来说

虚设的单位荷载

要在拟求的位移上做虚功

这样

单位荷载所做的虚功在数值上

刚好等于要求的那个位移值

单位荷载法求刚体体系的位移

计算步骤如下

设在这个体系

在这个问题里

支座K发生了给定位移CK

K可以是n个

也就是说

这个要求的问题里

可以包含n个支座位移

第一步

我们沿着拟求位移Δ的方向

来虚设相应的单位荷载

注意单位荷载要在

Δ上做虚功

求出单位荷载作用下

支座反力

也就是虚设力系状态下的支座反力

然后我们得到两个状态

让平衡力系状态

在真实位移状态上做虚功

写出的是虚力方程

由虚力方程

解出拟求的位移Δ

这里面要注意的是

等式的右边

是一个求和项

求和里面的每一项是

CK乘以FRK一扛

FRK上面带一扛

表示它是单位荷载作用下

求出的支座反力

也就是虚设的平衡力系状态下的反力

这一项表征的

是虚设的支座反力

在真实位移CK上做虚功

所以当二者方向相同时

它们做的虚功是正功

也就是乘积为正

最后

我们要对所有给定的支座位移

来算这样的虚功项

对它们进行整个的求和

再取负号

得到的是拟求位移Δ

求出的Δ如果是正的

那就说明真实位移的实际方向

与虚设的单位荷载方向是相同的

也就是说

单位荷载在位移上做正功

否则

如果求出的Δ是负值

说明跟我们虚设的单位荷载的方向

是相反的

以上我们给出了刚体体系的虚功方程

在虚功方程中

通过虚设力系状态

得到虚力原理

也就是用于求解刚体体系

真实位移的虚力法

由于我们虚设的荷载是单位荷载

所以这个虚力法也被称为单位荷载法

我们并且给出了单位荷载法

求刚体体系位移计算的

具体过程 步骤以及公式

下面我们来看第一个例题

已知图示刚架

支座B向右移动水平距离A

我们来求ΔCV

也就是C的竖向位移

ΔDH

D截面的水平位移

以及ΔφC

ΔφC是C左右截面的相对转角

这个问题我们要求的是

静定结构在支座移动时

产生的位移

此时

静定结构不产生内力没有变形

它的位移是刚体位移

对于这个刚体位移

显然我们可以用几何的方法来进行求解

但是略显麻烦

这里

我们用单位荷载法来解

首先

我们来解C截面的竖向位移ΔCV

图上是给定的真实位移状态

为了求ΔCV

我们要虚设一个

在ΔCV上做虚功的单位荷载

也就是在C点作用竖向的单位荷载

这时我得到了虚设力系状态

在这个力系状态下

我们由平衡条件

可以求得此时的支座反力

我们让这个虚设力系状态

在左边的真实位移状态上做虚功

支座反力里面

我们看到

只有B支座的水平支座反力

在给定位移上做的虚功不是零

也就是说

真实位移状态下

只有一个B支座的水平位移a

这样

我们得到上面这个等式

由此求出ΔCV

求出来的值是个正值

说明跟我刚才虚设的

单位荷载的方向是相同的

也就是说C截面的竖向位移是向下的

类似的

我们再来求

D截面的水平位移ΔDH

这是真实位移状态

为求ΔDH

我要在结构上作用一个

在ΔDH上做虚功的单位力

显然这个单位力可以设成

水平方向的单位荷载

假设水平向左

由此得到虚设的平衡力系状态

求出此时支座反力

让这组平衡力系

在左边的真实位移上做虚功

列出虚功方程

得到ΔDH

它是等于负的二分之a

求出来是负号

说明跟我假设的单位荷载

向左这个方向是相反的

所以D截面的水平位移是向右的

再看ΔφC的求法

ΔφC是C左右截面的相对转角

这是一个广义位移了

图上是真实的位移状态

为了求这个真实的相对位移

我得虚设单位荷载

这个单位荷载该怎么设呢

我们要设的是

在ΔφC上做虚功的单位荷载

ΔφC由左侧截面的转角

和右侧截面转角之和得出

所以我在左侧截面设一个单位力偶

右侧截面也设一个单位力偶

也就是说

这里的单位荷载是

C左右两侧的一对力偶

集中力偶在转角上做虚功

右侧我得到了虚设的平衡力系状态

在这个平衡状态下

求出支座反力来

然后让虚设的平衡力系状态

在真实位移状态上做虚功

这里面单位荷载做虚功项事实上是

左侧的单位1的力偶

乘以左侧截面的转角

再加上右侧截面单位1的力偶

乘以右侧截面的转角

最后的结果就是

1乘以ΔφC

等式右边是负的

支座反力在给定位移上做虚功

这里支座反力向右

给定的位移也向右

所以做的虚功

括号里面的这个虚功

是正的

再加上前面公式自带的一个负号

最后得出负的

也就是说

实际的相对转角方向

跟我虚设的力偶方向

是相反的

这样

我们就利用单位荷载法

完成了这个问题的求解

下面小结

这一节里

我们针对刚体体系的位移计算

初步体验了虚力法求位移

它的基本原理和基本方法

这里面最重要的是基本原理

我们利用的是刚体体系虚功原理中的

虚力原理

我们计算了

支座移动时静定结构的位移

要注意

静定结构在支座移动时

它的位移是刚体位移

没有内力没有变形

下一节

我们将开始研究

变形体体系的位移计算