当前课程知识点：结构力学（一） > 第5章 静定结构位移计算的虚力法 > 5.3 荷载作用时静定结构的弹性位移计算 > 荷载作用静定结构位移计算的例题
上一小节
我们推导了荷载作用时
静定结构弹性位移的计算公式
今天
我们来看两个例子
我们先看第一个例子
简支梁受均布荷载作用
求跨中C点的竖向位移ΔCV
并讨论剪切变形对位移的影响
为了求C点的竖向位移
我们用单位荷载法
在C截面加竖直向下的单位力
如右图所示
那么
左侧这个图是我们要求的
给定真实位移变形的状态
右侧这个图
是我们为了求位移而虚设的平衡力系状态
下面我们分别讨论这两种状态下
它的弯矩 剪力
我们先看真实荷载作用的真实位移状态下
以A点为零点
向右为x的正半轴
那么
取出x长这样一段
作为隔离体
这段隔离体上作用有均布荷载q
A截面有支座的竖向反力
所切断的x截面有弯矩和剪力
弯矩和剪力可以表示成关于x的函数
这是真实位移状态下它的内力
我们再看右图虚设的平衡力系状态
同样的
取x这一段作为隔离体进行研究
A截面有支座反力
切开的截面暴露出弯矩和剪力
我们可以写出用x表达的弯矩 剪力的式子
这里的弯矩和剪力
是虚设平衡力系状态里的
然后我们利用变形体的虚力原理
利用荷载作用时
位移计算的公式
让虚设平衡力系在真实位移变形状态上做虚功
ΔCV我们写成两部分的和
一部分是剪力产生的剪切变形
记作ΔCQ
另一部分是弯矩所产生的弯曲变形
记作ΔCM
我们先来算一下弯曲变形
所产生的C点竖向位移
代入荷载作用时
结构位移计算的公式
考虑对称性
我们对0到二分之l长
半个杆件长度进行积分
然后再乘以2倍
里面是EI分之M杠
乘以MP
M杠
单位荷载作用下虚设平衡力系里的内力
MP
真实荷载作用下
真实状态里的内力
然后积分得到最终的结果
是右边这个式子
类似的
我们来计算一下剪切变形所产生的
C截面竖向位移
如下面这个式子所示
计算出ΔCM和ΔCQ之后
我们来讨论弯曲变形所产生的位移
与剪切变形所产生的位移
它们之间的大小关系
我们看到
在ΔCM和ΔCQ它的表达式里面
涉及到共同的项是
均布荷载q
杆长l
不同的项是
抗弯刚度EI
以及剪切刚度GA
假设我们的杆件是矩形截面
那么剪力不均匀系数小k
是等于1.2的
我们取泊松比等于三分之一
那么杨氏模量E
跟剪切模量G的比值
等于2倍的1加μ
算出来是三分之八
对于这个矩形截面
设梁高是h
那么它的I和A的比值
是十二分之h方
我们把上面这一组值代到ΔCQ
与ΔCM的比值计算中
可以得到
剪切变形所产生的位移
与弯曲变形所产生的位移的比值是
2.5倍的梁高除以梁长的平方
可见
剪切变形所产生的位移的大小
取决于梁高和梁长的比值h比上l
假设h比l等于十分之一
也就是说它是一个细长梁
跟高度相比
长度是高度的10倍
这个时候我们得到
剪切变形引起的位移
是弯曲变形引起的位移的百分之2.56
这种情况下
把剪切变形所产生的位移忽略是合理的
如果l更长
h比l更小的话
那么这种忽略所带来的误差将会更加的小
如果h比l等于二分之一
也就是说梁的高度是长度的二分之一
这是一个深梁
那么此时我们算得ΔCQ
是ΔCM的百分之64
在这种情况下
如果我们把剪切变形所引起的位移忽略掉
那就不合理了
进一步的
如果h和l的比值比二分之一还大
那么如果你真要忽略掉剪切变形所产生的位移
带来的误差将会更大
所以深梁
剪切变形产生的位移
不容忽略
这就是这个例子
下面我们再看一个桁架
受荷载作用时位移计算的例题
图上
这个比较简单的静定桁架
在这样的荷载作用下
我们来求C点的竖向位移ΔCV
已知各个杆件的抗拉刚度EA都是常数
这是一个桁架在荷载作用下求位移的问题
解这道题目
我们首先想
桁架的位移计算里
由于所有杆件都只受轴力
所以只有轴向变形的影响
我们首先求出在真实荷载作用下
所有杆件的轴力
从图上看
我们首先从AB杆开始分析
AB杆的轴力 拉力FP
然后BC 零杆
再往下
由C结点受力平衡
我们知道AC杆的轴力是拉力
根号2FP
进而得到CD杆
负FP
AD杆
零杆
并且得到支座反力
那么
这样我们就得到了
在真实荷载作用下
各杆轴力的图形
也就是FNP图
为了求位移
我们要虚设单位力
要求ΔCV
所以我们在C点处加一个
竖向的单位荷载
求在这个单位荷载的作用下
所有桁架杆件的轴力
零杆
零杆
根号2
负1
0杆
右边得到的是虚设平衡力系里面的
各个杆的轴力的图形
也就是FN杠图
把这两个图形的结果
代入位移计算公式里面去
也就是说
让右侧的虚设平衡力系状态
在左侧的真实位移状态上做虚功
得到
ΔCV等于所有杆件里面
每个杆都是单位荷载作用下的轴力
与真实荷载作用下的轴力相乘
乘以杆长再除以EA
由此得到最后的结果
算出的结果
是正的
说明跟我所假设的单位荷载的方向
是一样的
也就是说
C点的实际竖向位移方向
是向下的
如果我们这道题算出的结果是负的
那就说明ΔCV
与所设的单位荷载方向是相反的
上面
我们就通过一个梁和一个桁架的例子
给同学们展示了如何求解
荷载作用时静定结构的位移
要提醒同学们注意的是
在计算时
不要一味得只代公式
而是要关注和理解公式背后的物理意义
我们可以注意到
在桁架的位移计算中
算式里是轴力和轴力相乘
相对容易
而在梁和刚架它的计算中
涉及到弯曲变形引起的位移计算时
我们往往需要对两个弯矩进行相乘
再积分的这样的计算
下一小节
我们将学习两个弯矩图
相乘的一种简化的积分方法
-1.1 结构力学的学科内容
-1.2 结构的计算简图和简化要点
-1.3 杆件结构的分类
--杆件结构的分类
-1.4 荷载的分类
--荷载的简化和分类
-1.5 结构力学求解器
-2.1 几何构造分析的几个概念
-2.2 平面杆件体系的基本组成规律
--几何构造分析例题
--几何构造分析的习题
-2.3 平面杆件体系的计算自由度
--计算自由度的概念
--计算自由度的例题
--计算自由度的习题
-2.4 本章小结
--第2章小结
-3.1 静定平面桁架
--桁架的特点和组成
--结点法
--截面法
--静定平面桁架受力分析的习题
-3.2 梁的内力计算
--分段叠加法的例题
--梁的内力计算小结
--梁的内力计算习题
-3.3 静定多跨梁
--静定多跨梁受力分析的习题
-3.4 静定平面刚架
--静定平面刚架受力分析的习题(一)
--静定平面刚架受力分析的习题(二)
-3.5 组合结构
--组合结构
--组合结构受力分析的习题
-3.6 三铰拱
--三铰拱
--三铰拱受力分析的习题
-3.7 本章小结
--第3章小结
-4.1 移动荷载和影响线的概念
-4.2 静力法作简支梁内力影响线
-4.3 结点承载方式下梁的内力影响线
-4.4 静力法作桁架轴力影响线
-4.5 机动法作静定内力影响线
--静定内力影响线的习题
-4.6 影响线的应用
--荷载最不利位置的习题
--小结
-4.7 本章小结
--第4章小结
-静定结构位移计算的虚力法概述
--概述
-5.1 虚力法求刚体体系的位移
--虚力法求刚体体系位移的习题
-5.2 虚力法求静定结构的位移
--变形体的虚功原理
--单位荷载法
-5.3 荷载作用时静定结构的弹性位移计算
--荷载作用静定结构位移计算的习题(一)
-5.4 图乘法
--图乘法
--荷载作用静定结构位移计算的习题(二)
-5.5 温度改变时静定结构位移计算
--温度改变静定结构位移计算的习题
-5.6 互等定理
--互等定理(1)
--互等定理(2)
-5.7 本章小结
--第5章小结
-课程总结
