互等定理(1)在线视频

在第五章静定结构位移计算这里

我们始终围绕着虚功原理展开

这一章我们以刚体的虚功原理开头

那么在接近尾声的时候

我们对虚功原理进一步的进行深入的讨论

导出互等定理

首先我们来复习一下变形体的虚功原理

对变形体假设有两个状态

一个是力系作用下的平衡状态

一个是产生符合约束条件的微小连续变形状态

虚功原理指的是平衡力系状态里的外力

在变形位移状态里面所做的外虚功

等于平衡力系里面的内力

在位移变形状态里面所做的内虚功

外虚功等于内虚功

这就是变形体的虚功原理

它涉及到同一变形体的两个不同状态

根据变形体的虚功原理

首先我们导出功的互等定理

这个定理是这么说的

在任意的线性变形体系中

有两个状态

第一状态用绿色表示

第二状态用橘色表示

第一状态的外力在二状态的位移上所做的虚功

和二状态的外力在一状态的位移上

所做的虚功

相等

那么这里面虚功W有两个下标

第一个下标表示的是做功的力

第二个下标表示的是做功的位移

它们分别都处于哪一个状态

那么功的互等定理是什么意思呢

它又是怎么导出的呢

我们看简支梁这样一个最简单的变形体系

对于简支梁AB

假设它的第一状态是这样子的

在1 2截面上作用有两个竖向集中力

FP1一撇和FP2一撇

一撇表示它们是第一个状态里面的量

这个时候

在这样的荷载作用下

杆件截面将产生内力

分别以上标带一撇的量表示

同时这个杆件将产生绿色的虚线所示的变形

那么考虑这个杆件里还有两个截面a和b

在这样一组荷载作用下

ab截面产生位移

记作Δa撇和Δb撇

对于同样这个简支梁AB

考虑它所处于的第二个状态

梁上还是有同样的a b 1 2四个点

四个截面

在状态2里

我在a b截面作用有外荷载

Pa两撇和Pb两撇

这里面两撇表示它们是状态二里面的量

在这样的荷载作用下

截面产生内力

内力仍然是以上标两撇表示

它们是状态二里的量

此时在荷载作用下

杆件AB产生图上这样的变形

而截面1 2处分别发生

Δ1两撇 Δ2两撇的位移

这里同一个变形体系AB

处于两个相互独立的状态

状态一和状态二

功的互等定理就是说状态一里面的外力

这两个绿色的荷载

在状态二橘色的变形上所做的外虚功与

状态二里橘色的这两个外力

在状态一的绿色变形上所做的外虚功

它们是相等的

也就是说下边这个表达式

两个状态交叉做虚功

两个外虚功相等

这是为什么呢

我们根据虚功原理进行简单的推导

首先我们对这个变形体AB这样使用虚功原理

我们把状态一看作平衡力系状态

把状态二看作位移协调状态

让状态一的外力在状态二的位移上做外虚功

它等于状态一的内力在状态二的应变上

所做的内虚功

这样我们得到下边这个式子

假设我考虑的是线性弹性体系

那么我们把其中的应变用内力表示

就得到了下边这样一个内虚功的表达式

这里面我们是引入了线性弹性体系

内力和应变之间的关系

紧接着我们对同样这个变形体系AB

再这样用一次虚功原理

反过来把状态一看作位移协调状态

而把状态二看作平衡力系状态

让状态二的力在状态一的位移和变形上做虚功

外虚功等于内虚功

再把线性弹性体系的应变和内力之间的关系

代入进去

得到下边这样一个式子

我们可以看到两个外虚功W12和W21

它们等于相同的一个内虚功表达式

这样我们就得到结论

两个外虚功相等

也就是得到功的互等定理

再次提醒同学们注意

功的互等定理它的推导过程当中

我们使用了线性弹性体系的应变内力关系

所以功的互等定理只适用于线性变形体系

紧接着我们将由功的互等定理

推导它的三个推论

位移互等定理

反力互等定理

以及位移反力互等定理

我们首先看位移互等定理

在任一线性变形体系中

由荷载FP1引起的

与荷载P2相应的位移影响系数

等于荷载P2引起的

与P1相应的位移影响系数

这个位移影响系数我们用希腊字母的δ表示

也就是δ12等于δ21

δ也被称为柔度系数

我们看δ有两个下标

一个是i一个是j

回头看定理当中的δ21

它指的是P1

也就是1处作用荷载

在P2处也就是在2处所引起的位移

所以这里面第二个下标j表示产生位移的原因

而第一个下标i表示发生位移的方向 方位

柔度系数δij它本质上是一个位移

它是由单位力所产生的位移

为什么会有位移互等定理这样的结论呢

这要先从功的互等定理说起

根据功的互等定理

我们对变形体这样一个简支梁为例

首先状态一是在1截面作用有FP1这样一个力

此时在1截面所产生的位移记作Δ11

而在2截面产生的位移记作Δ21

对于同样这个变形体

我在2截面上作用荷载FP2

此时1截面和2截面所产生的位移

分别是Δ12和Δ22

这里面的位移四个量它们也都是有两个下标

第一个下标表示位移发生的位置

是在1截面还是在2截面呢

而第二个下标表示产生这个位移的原因

是在哪个截面上作用了荷载

比如这里的Δ12和Δ22

它们是在2截面作用荷载所产生的两个位移

要注意位移量的两个下标它们的含义

这样由功的互等定理

状态一和状态二交叉做外虚功

对于每一个状态

它的平衡外力系除了外荷载之外

其实还有支座反力

但是由于另一个状态里面支座没有位移

所以反力做的功都是零

那么由功的互等定理

我们可以很快得到这样一个等式

P1在状态二的1点位移上做虚功

等于P2在状态一的2点位移上做虚功

基于这个等式

我们引入所谓的位移影响系数

也就是柔度系数δij

我们记力pj所引起的位移

Δij与pj它们的比值为δij

所以根据这个式子

我们可以非常明确清晰的看出

δij的物理意义

它是力Fpj所引起的i处的位移

引入这样一个记号之后

δij就可以用来乘以FPj

从而表示上面这个等式当中的大Δij

这样我们得到下面这个式子

左右两边把P1 P2这两个非零量约掉

就导出了位移互等定理

注意位移互等定理表示的是两个柔度系数

两个位移影响系数之间的相等关系

这里面这个位移影响系数

它可以是由集中力偶所引起来的

也可以是由广义荷载所产生的

如果荷载是集中力偶的话

那么相应的位移影响系数δij

是相对于角位移的

如果荷载是广义荷载

那么它相应的位移影响系数是广义位移

对于广义位移的影响系数

它们在数值和量纲上仍然保持相等

在这一小节中

我们首先由变形体的虚功原理

导出了功的互等定理

又由功的互等定理推导出第一个结论

位移互等定理

位移互等定理既适用于静定结构

也适用于超静定结构

在下一小节中

我们将继续用功的互等定理来推导

另外两个结论