当前课程知识点：结构力学（一） > 第3章 静定结构的受力分析 > 3.2 梁的内力计算 > 荷载与内力之间的关系
在这一节中我们将开始学习梁的内力计算
梁是结构工程中起源最早
应用最广泛的结构构件之一
1638年伽利略在他的著作
关于两门新科学的对话中
就开始对梁的理论和计算方法进行系统研究
受横向荷载作用的梁
它的截面内力以弯矩和剪力为主
在这一节中我们将只关注于静定梁的内力计算
我们将顺次研究这样四个问题
一个是荷载与内力之间的关系
一个是几个典型单跨梁的内力计算和内力图
三分段叠加法
最后进行一个简单的小结
第一小节荷载与内力之间的关系
首先看微分关系
我们从梁中截取出一个微段
这个微段的长度计做dx
以这个微段梁杆轴的中心o为原点
建立图上的x o y坐标系
这个微段受到这样的荷载作用
竖向的分布荷载qy
以及水平方向的分布荷载qx
在这样的荷载作用下
微段左右两个被截开的截面上有内力
左侧截面的内力分量有轴力 剪力和弯矩
右侧截面也是一样的
如果左侧截面的轴力记做FN
那么右侧这个截面因为跟左侧截面相比
它的x坐标增加了dx这样一个微元的长度
所以右侧截面的轴力要比左侧截面轴力FN
多一个由dx而引起的增量
这个增量记作dFN
类似的左侧截面的剪力记作FQ
那么右侧截面的剪力就是
FQ再加上一个FQ的增量
也就是FQ的微分dFQ
弯矩也是类似的
左侧截面弯矩记作M
那么右侧截面的弯矩就是在M基础上
增加一个增量dM
这里轴力 剪力和弯矩
我们都按照正方向画在图中
下面我们对这个微段进行受力分析列平衡方程
我们首先沿着y方向列平衡方程
在剪力以及分布荷载qy的作用下
微段在y方向力平行得到这样的方程
对它进行整理
可以得到右侧这个表达式
这个表达式说明FQ就是剪力
剪力的变化率
大小跟分布荷载qy的大小相等
但是符号相反
差一个负号
我们再对这个微段列力矩平衡方程
微段关于o点力矩平衡
参与这个力矩平衡方程的量
包括分布荷载qy 剪力以及弯矩
因为这是一个微段
它的长度dx是很小的
所以我们认为qy在dx这个微元长度上
是均匀分布的
这样qy对o点的合力矩等于0
那么参与力矩平衡方程的只有弯矩和剪力
在这个方程中我们看到有这样一项
dFQ和二分之一dx相乘
这里两个d是两个微量相乘
跟其他项相比
他们属于高阶微量
在方程中略掉
整理得第一个式子
dM比上dx等于FQ
这个式子说明弯矩的变化率是等于剪力的
把上面这个式子代到刚才导出的这个式子当中
我们进一步可以得到最右边这个等式
弯矩对x的二阶导等于负的qy
也就是说弯矩图的斜率的斜率在数值上
等于分布荷载qy的大小
符号是相反的
类似的我们可以对这个微段沿着水平方向
列平衡方程
可以得到水平方向轴力的变化率
大小是等于轴向的分布荷载qx的
把刚才三个方程导出的三个微分关系
进行一下总结
也就是说梁的剪力图上
某点的切线的斜率等于该点横向荷载的集度
也就是qy的大小
但是这个斜率和qy之间正负号相反
第二弯矩图上某点切线的斜率等于该点的剪力
把1和2融合在一起
也就是说弯矩图上某点的斜率的斜率
等于该点的横向荷载的集度
也就是qy
但是他们的符号相反
轴力图与剪力图类似
它上面某点的斜率等于该点
轴向分布荷载的集度
简单的来说就是剪力的斜率等于分布荷载
弯矩的斜率等于剪力
弯矩的二阶导等于分布荷载
下面我们再看集中荷载与内力之间的增量关系
在梁的B点处作用有集中荷载Fp
我们围绕B点左右对称的截取出一个微段
微段总长为dx
以B为原点建立坐标系
对这样一个微段进行受力分析
它左右两侧的截面上分别有内力 剪力和弯矩
左侧截面的弯矩记作MB左
右侧截面的弯矩记作MB右
左侧截面和右侧截面的剪力
依次用下标左和右同样加以区分
我们对这样一个隔离体
进行受力分析列平衡方程
首先我们沿着y轴方向列一个力的平衡方程
可以得到
右侧截面的剪力等于左侧截面剪力减去Fp
也就是说集中力作用点B
它左右两侧截面的剪力是不相等的
这两个剪力之间差了Fp这么大
我们再对微段关于B点列力矩平衡方程
得到左边这样一个等式
在这个等式中我们可以看到
左右两个剪力都要乘以二分之一dx
这样一个微量
跟另外两项M左和M右相比
它是一个高阶微量
我们将其忽略
那么就可以导出右边这个等式
也就是说在集中力作用点B
它左右两侧截面的弯矩是一样的
总结下来在集中力作用点的左右截面
剪力不同 有突变
剪力图将会有一个台阶
这个台阶的高度就是左右两侧剪力之差
也就是Fp
弯矩图在集中力作用点处有尖点
也就是说左右两个截面
它的弯矩值相等
但是弯矩图的斜率不同 剪力不同
而且这个尖点的方向将是同集中力的指向相同
我们再看集中力偶与内力之间的增量关系
力偶是由一对大小相等 方向相反
但是作用线之间有一定距离的
这样一对力而形成的
设杆件的B截面作用有集中力偶小m
这个力偶是顺时针方向的
我们还是以B为中心
左右对称的取出一个微段
这个微段它的总长记作dx
仍然建立图示这样的坐标系
那么B左右两个截面将分别有弯矩和剪力
这样两个内力分量
我们对这个微段列力的平衡方程
以及力矩平衡方程
由力的平衡方程得到
B左右两侧截面的剪力是相等的
但是B左右两侧截面的弯矩是不等的
这两个弯矩之间的差
刚好是集中力偶的大小m
也就是说在集中力偶作用处的左右两个截面
弯矩左右不同 有突变
弯矩图有台阶
这个台阶的高度就是左右截面弯矩之差
也就是小m
集中力偶的大小
而集中力偶作用处
它的左右两个截面的剪力是相同的
剪力相同说明弯矩图它的斜率是相同的
上面我们讨论了荷载和内力之间的微分关系
和增量关系
这些特点
对于我们后面做弯矩图和剪力图至关重要
非常有用
-1.1 结构力学的学科内容
-1.2 结构的计算简图和简化要点
-1.3 杆件结构的分类
--杆件结构的分类
-1.4 荷载的分类
--荷载的简化和分类
-1.5 结构力学求解器
-2.1 几何构造分析的几个概念
-2.2 平面杆件体系的基本组成规律
--几何构造分析例题
--几何构造分析的习题
-2.3 平面杆件体系的计算自由度
--计算自由度的概念
--计算自由度的例题
--计算自由度的习题
-2.4 本章小结
--第2章小结
-3.1 静定平面桁架
--桁架的特点和组成
--结点法
--截面法
--静定平面桁架受力分析的习题
-3.2 梁的内力计算
--分段叠加法的例题
--梁的内力计算小结
--梁的内力计算习题
-3.3 静定多跨梁
--静定多跨梁受力分析的习题
-3.4 静定平面刚架
--静定平面刚架受力分析的习题(一)
--静定平面刚架受力分析的习题(二)
-3.5 组合结构
--组合结构
--组合结构受力分析的习题
-3.6 三铰拱
--三铰拱
--三铰拱受力分析的习题
-3.7 本章小结
--第3章小结
-4.1 移动荷载和影响线的概念
-4.2 静力法作简支梁内力影响线
-4.3 结点承载方式下梁的内力影响线
-4.4 静力法作桁架轴力影响线
-4.5 机动法作静定内力影响线
--静定内力影响线的习题
-4.6 影响线的应用
--荷载最不利位置的习题
--小结
-4.7 本章小结
--第4章小结
-静定结构位移计算的虚力法概述
--概述
-5.1 虚力法求刚体体系的位移
--虚力法求刚体体系位移的习题
-5.2 虚力法求静定结构的位移
--变形体的虚功原理
--单位荷载法
-5.3 荷载作用时静定结构的弹性位移计算
--荷载作用静定结构位移计算的习题(一)
-5.4 图乘法
--图乘法
--荷载作用静定结构位移计算的习题(二)
-5.5 温度改变时静定结构位移计算
--温度改变静定结构位移计算的习题
-5.6 互等定理
--互等定理(1)
--互等定理(2)
-5.7 本章小结
--第5章小结
-课程总结
