典型单跨梁的内力图在线视频

下面我们来研究几种典型单跨梁的内力图

我们要根据上一小节学过的

荷载与内力之间的关系来画内力图

我们先看图上这个简支梁

所谓简支梁指的是梁通过铰支座和滚轴支座

与基础相连

在这个简支梁上梁的跨中截面C处

作用有集中力FP

梁的总长计为L

我们这里要用结构力学的方法

来做弯矩图和剪力图

也就是说要利用上一节我们学过的

荷载与内力之间的关系来做图

我们首先看这个弯矩图

它的形状应该大概是什么样子的

AC段

AC段梁上没有均布荷载作用

所以剪力是一个常数

弯矩是斜直线

同理BC段的弯矩图也是一个斜直线

我们又知道AB是两个铰结点

这两个铰结点上弯矩为0

所以我们只要求出C截面的弯矩

就可以把左右两个斜直线确定出来

我们可以首先求得AB两个支座的支座反力

各是向上的二分之一FP

然后很快得到C点左右截面弯矩

都是四分之一FPL

而且是下侧受拉的

所以最终画出来的弯矩图

是这样一个三角形

这个三角形在C截面上有尖点

这个尖点的指向跟集中力FP的指向是相同的

要注意在这个弯矩图的绘制过程中

我们只简单的计划了四分之一FPL

这样一个数值

它的形状是我们根据刚才学过的

荷载与内力之间的增量关系得到的

画出M图之后

我们再来画它的剪力图

先把支座反力标在图中

我们知道AC段的剪力是一个常数

我们把AC段的任意一个截面截开

比如我们取左侧为隔离体

我们可以看到这个截面上的剪力是向下的

大小是等于二分之一FP

它使得左侧这一段的隔离体顺时针转

所以这个剪力是正的

再看CB段

CB段上任意一个截面的剪力也是一个常数

我们把这个截面截开

取右半段为隔离体

我们可以看到这个截面上的剪力应该是向下的

它使得这个红色的隔离体段逆时针转动

所以这个剪力是负的

大小还是二分之一FP

这样我们得到它的剪力图

根据我们结构力学中的规定

弯矩不分正负

都画在截面纤维的受拉一侧

而剪力和轴力图是分正负的

我们要把正的剪力画在杆轴的一侧

负的剪力画在杆轴的另一侧

同时要注意在图形下面标注

它到底是弯矩图还是剪力图

还是轴力图

我们再看图上这样一个均布荷载q作用下的

简支梁的内力图

根据荷载与内力之间的微分关系

我们知道剪力的斜率是均布荷载

也就是这里的常数q

所以它的剪力图是斜直线

而弯矩的二阶导是均布荷载q

也就是说这个AB梁

它的弯矩图应该是一个二次抛物线

三点确定一个二次抛物线的形状

我们已经知道铰AB两点的弯矩是0

那么要得到这个抛物线

我们还需要一点的弯矩

我们算一下跨中截面C的弯矩

因为左右两个支座的支座反力

都是二分之一q乘以l

所以我们把跨中截面C截开取左侧

或者取右侧为隔离体都可以

对C截面来列力矩平衡方程就可以得到

C截面的弯矩

它的大小是八分之一ql方

这样我们连接AB两个零点

再加上这个八分之一ql方

就可以得到这个二次抛物线的图形

这就是简支梁受均布荷载作用下的弯矩图

求得这个弯矩图之后

我们再来画剪力图

我们知道这个剪力图应该是一个斜直线

两点定一直线

我们把支座反力标注在图上

可以看到跟支座相连的A截面

我们如果把它截开的话

取A以左这个非常小的微段作为隔离体

那么此时A截面的剪力是向下的

让这个小微段顺时针转

所以A截面的剪力是正的二分之一ql

类似的我们可以得到

B截面的剪力

是负的二分之一ql

将它们这两点连成一条斜直线之后

就得到了这个简支梁的剪力图

这个剪力图过C点

也就是说C截面的剪力是0

剪力是0意思是说弯矩图的斜率是0

所以在弯矩图中C截面的弯矩是最大的

它是抛物线的顶点

再强调一下弯矩图我们把它画在

杆件受拉的一侧

而剪力图和轴力图

我们把正的画在一侧

标上正号

负的画在另一侧

标上负号

我们再看第三种情况

简支梁AB在跨中C截面

受一个顺时针的集中力偶作用

这个力偶的大小是小m

根据我们之前讨论过的

荷载与内力之间的增量关系

我们知道这个弯矩图在C截面是有台阶的

也就是说C左右两个截面的弯矩大小不同

这个台阶的总高度刚好应该是小m

我们再看AC段

梁的AC段上没有均布荷载作用

剪力是常数

弯矩是一个斜直线

两点定一直线

这个直线的一点是A点弯矩为0已知

那么另一点的弯矩是多少呢

我们关键是要知道

C左这个截面的弯矩是多大

类似的BC这一段它的弯矩图也是一个斜直线

我们要知道C右这个截面的弯矩是多大

这个弯矩怎么求

我们可以求支座反力再取力矩平衡来求

也可以进一步用集中力偶与内力之间的关系

来进行分析

C左右两个截面弯矩不同

但是剪力相同

也就是说C左右这两段斜直线

它们的斜率是相同的

它们是平行的

两个平行的斜直线

它们之间的这个高度是小m

AC和CB的长度相同

根据相似三角形我们可以知道

这个台阶上半截和下半截大小应该是相同的

也就是说C左右两侧截面的弯矩的大小

都是二分之一小m

由此我们得到简支梁ACB的弯矩图

两段斜直线组成

求得弯矩图之后

我们来做剪力图

ACB整个梁上它的剪力大小都是相等的

方向也是相同的

都是m除以l

而且是使微段逆时针转

所以它是负的m除以l

由此我们得到为常数的剪力图

它与杆轴相平行

大小是m除以l 是负的

如果这个集中力偶小m是作用在

简支梁的B截面处

那么它的弯矩图

AB跨中间没有均布荷载

剪力是一个常数

所以弯矩图是一个斜直线

两点确定一个直线

这两点其中一点是铰A

铰A的弯矩是0

另外一点是B截面的弯矩

B截面在集中力偶作用下

它的弯矩是上侧受拉的小m

所以我们得到这根简支梁它的弯矩图

斜直线画在受拉侧

支座反力如图所示

AB段任意一个截面

它的剪力之间都是相等的

剪力是一个常数

大小是m除以l

这个剪力使得隔离体逆时针转是负的

把它画在图中标上负号

我们看图上均布荷载作用在悬臂梁上

它的弯矩图和剪力图

所谓悬臂梁是指梁在一端

通过固定支座与基础相连

我们先分析弯矩图的形状

均布荷载作用下

这个梁的弯矩图应该是一个二次抛物线

我们已知这个二次抛物线在B点是0

在A点我们把AB段截取出来

对A截面列力矩平衡可以得到A截面的弯矩

也就是A支座给A截面的支座反力矩

它的大小是二分之一ql方

那么这里我们已经知道了抛物线的两个点

另外我们还知道B截面不仅弯矩是0

而且剪力是0

剪力是0说明弯矩图在B点

它的斜率是0

所以B是二次抛物线的顶点

根据这个条件

我们就可以画出这根二次抛物线来

它就是悬臂梁AB

在均布荷载作用下的弯矩图

有了这个弯矩图我们再来画剪力图

刚才这个弯矩图

我们也可以通过另外一种方式得到

我们先把支座A对杆件的竖向支座反力求出来

是向上的ql

然后我们通过加约束 去约束的方式

把这个悬臂梁等效转换成

以下两个状态的叠加

我们把A截面的转动约束去掉

暴露出来它的支座反力矩

二分之一ql方

这样A端由固定支座变成了铰支座

再在B端加上一个滚轴支座

这样把悬臂梁等效成

图上这样两个简支梁的状态相叠加

左侧的简支梁受均布荷载q的作用

AB两个支座将有支座反力

右侧这个简支梁在A端受到集中力偶

二分之一ql方的作用

左右两个支座将有图上所示的支座反力

我们可以看到这两个简支梁的状态的叠加

合在一起

在受力上

跟原来的问题是等价的

它们所受的总的外荷载等价

它们的支座反力也是等价的

我们画出图上这两个简支梁的弯矩图

把它们加在一起就是悬臂梁的弯矩图

我们先画简支梁在A端受到二分之一ql方

集中力偶作用下的弯矩图

它是一个斜直线

我们用红色的虚线表示

称之为基线

在这个基线基础上再叠加上

简支梁在均布荷载q作用下的

抛物线这样的弯矩图

也就是说在这个红色虚线围成的三角形下面

把抛物线八分之一ql方给它挖掉

得到图上阴影部分就是悬臂梁的弯矩图

也就是刚才两个简支梁叠加出来的弯矩图

这是我们第一次初步使用了叠加法来做弯矩图

到目前无止我们在桁架分析中

有一个例子中用了叠加法

把荷载分成了对称和反对称的两部分

在这里我们画悬臂梁弯矩图再次用了叠加法

我们把一个悬臂梁等效成两个简支梁

受荷载作用的叠加

这里我们可以使用叠加原理

是因为我们研究的只是线性弹性体系的问题

有了弯矩图之后

我们再做剪力图

这个悬臂梁的剪力图是一个斜直线

B点剪力是0

A截面剪力是ql

标上正负号

我们再看一个

悬臂梁在集中荷载作用下的弯矩图

悬臂梁AB的悬臂端也就是B端

受竖直向下集中力FP的作用

那么它的弯矩图应该是一个斜直线

在B点是0

在A点是FP乘以杆长l

弯矩图画在受拉侧

再画剪力图

AB段任意一个截面的剪力大小都是FP

方向是正的

画出剪力图标上正负号

上面我们对几种典型的

简支梁和悬臂梁的弯矩图 内力图进行了讨论

这里讲得比较详细

因为这是同学们第一次涉及

用结构力学的方法来做内力图这样一个问题

要强调这样三点

第一在画内力图时要先画弯矩图再画剪力图

这是因为在工程结构中梁 刚架等结构形式

它的杆件内力往往是以弯矩为主

以弯矩为结构设计的控制目标

第二要充分利用荷载与内力之间的关系

来快速画弯矩图和剪力图

我们可以看到上面每一个图形的绘制

实际我们的计算量并不是那么多

我们只要求关键点

关键截面的内力值就可以了

第三弯矩图 剪力图的绘制要完整

弯矩图画在杆件受拉侧

而剪力图要把正的画在一侧

负的画在另一侧

轴力图也是类似的