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大家好

我们继续学习基础知识模块

今天学习第四讲

模拟信号数字处理方法

主要内容有

模拟信号数字处理框图

模拟信号的采样与恢复

时域采样定理

信号采样与恢复实例分析

数字信号转换成模拟信号的实用方法

首先我们来看一下

模拟信号进行数字处理的框架

从图1可以看出

模拟信号进行数字处理

主要包括这样几部分

首先是模拟信号的滤波

那么这里边我们写的是预滤波

主要指的是对模拟信号进行相应的

高频滤波

滤除在模拟信号当中的一些高频成分

然后是将模拟信号进行A/D转换

它的方法

也就是我们这一节当中所要介绍的

模拟信号的采样

将模拟信号转换成数字信号之后

我们就可以对其进行一系列的

必要的数字信号处理了

经过处理的数字信号

我们为什么还要把它再

转化成模拟信号呢

也就是框图当中所出现的D/A转换

因为在实际工程当中

比如说语音信号或者是图像信号

我们人类的耳朵和眼睛

只能识别相应的模拟信号

而不能识别数字信号

所以经过数字处理的信号之后

我们还要对其进行D/A转换

那么转换以后的模拟信号

可能

在信号当中会含有一定的高频分量

所以说

我们最终还要将其进行平滑滤波

这里通常所用的也是低通滤波器

下面希望大家思考两个问题

第一个问题也就是模拟信号

被采样以后

它的频谱会如何变化呢

第二个问题

是在什么情况下可以从采样信号当中

不失真的恢复出原来的模拟信号

我们先来看一下

模拟信号是如何被采样

和如何进行恢复的

主要分析

理想冲激采样 公式(1)

表示的是理想冲激采样信号

那么将原有的模拟信号

和采样信号进行相乘

我们就可以得到

用公式(2)来表示的采样信号

经过采样之后

我们再看一下采样信号的频谱

根据我们在上学期信号与线性系统

课程当中所学习的内容

时域的信号相乘

它的频谱是变成卷积的关系

也就是说

采样信号的频谱将由公式(3)来描述

通过公式(3)我们可以看到

采样信号的频谱

是将原信号的频谱进行搬移

而得到的

在它的幅值上也有一个1/T的区别

这个T是冲激采样信号的周期

下面我们用图形的方式

来展示一下采样信号的频谱

第一个图

我们给大家的是原信号的频谱

第二个图

我们给的是采样脉冲的频谱

如果采样频率Ωs

大于等于2倍的信号的最高频率

我们就将会得到图3

显然 这个图3所展示的

就是采样信号的频谱

是原信号的频谱进行相应的搬移

但是如果采样的频率

Ωs小于等于Ωc/2

它就会出现第四个图所显示的频谱

就将产生一定的混叠

通过频谱的分析

问题一的答案也就有了

采样信号的频谱

是原信号频谱沿频率轴

以Ωs为周期延拓而成的

那么在沿拓的过程当中

如果要不发生频率的混叠

必须Ωs要大于等于2Ωc

下面我们再看一下

采样信号的恢复过程

采样信号恢复的原理很简单

我们只要将采样信号

通过一个理想的低通滤波器

就可以从采样信号的频谱当中

恢复出原信号的频谱

但是 要不失真的能够

提取原模拟信号的频谱

我们对采样的过程是有要求的

也就是说Ωs要大于等于2Ωc才行

这样一来公式(5）

就给出了

对于采样信号

只要我们乘上一个门函数

保证这个门的宽度

能够把我们原有的信号

能够取出来就可以了

当然这个门如果太宽了

它已经取到经过搬移的下一个频谱了

也会出现相应的问题

这个后面我们通过

给大家相应的例子

我们可以看到这一点

公式(6)给我们的

就是对于采样信号

我们除了可以用公式(5)

恢复它的频谱

还可以用公式(6)

来恢复它的时域信号

实际上时域的卷积

在频域当中的对应的相乘

这就是我们通常所说的

时域卷积定理

这里特别关键的频谱是一个门函数

它的时域的波形g(t)应该是什么

在信号与线性系统的课程当中

我们也学过

它将是按照

取样函数的规律进行相应的变化

通过上面内容的学习

大家不难理解时域采样定理

采样定理包括两方面的内容

一 对连续信号进行等间隔采样

形成采样信号

采样信号的频谱

是原连续信号的频谱

以采样频率为周期

进行周期性延拓形成的

二 假设连续信号属于带限信号

最高截止频率为Ωc

如果采样频率Ωs大于等于2Ωc

那么让采样信号通过一个增益为T

截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器

就可以唯一的恢复出原来的连续信号

否则的话

会造成采样信号当中的频谱混叠现象

也就不可能

无失真地恢复出原来的连续信号

下面给大家几个

信号采样与恢复的例子

首先我们看一下第一个例子

在图4当中

输入的模拟信号

是1000Hz的正弦信号

采样脉冲信号占空比是50%

它的采样频率是8000Hz

所用的恢复滤波器的截止频率

是1.28kHz

输入的信号

是绿色的曲线

采样脉冲

是黄色的线条

那么所得到的采样信号

是这个绿色的曲线

最终恢复出来的信号

是这个藕褐色的曲线

从图4当中我们可以看到

这是一种无混叠的采样

恢复的滤波器

取的截止频率也比较合适

所以呢

无失真地恢复出了原有的连续信号

我们再看一个例子

在这个例子当中

输入的模拟信号

还是1000Hz的正弦信号

采样频率没有变化

只是恢复滤波器的截止频率

变成了5.12kHz

从这个图

显然我们可以看到

所恢复的信号不再圆滑了

里面出现了一些高频分量

下面我们再看一个例子

在这个例子当中

所恢复的信号和原来的模拟信号

差别比较大

那么在采样的时候

实际上它是一种无混叠的采样

但是它的恢复滤波器的截止频率更高了

是8000Hz

所以通过这个例子

我们可以看到

高截止频率恢复信号

除了恢复出了1000Hz的基波信号之外

还有大量的高次谐波分量

这里面主要是

七次谐波和九次谐波

图7是通过频谱仪

我们看到它的频谱成分

在这里边 就是高频分量

主要是七次谐波和九次谐波

因此在实际工程当中

如何将数字信号

有效的转化成模拟信号呢

是一个值得考虑的问题

下面我们看一下

将数字信号转换成

模拟信号的基本原理

这里只讨论理想恢复

也就是说

我们讨论内插函数恢复的方法

这是一个理想的低通滤波器

它的幅频特性可以用公式(8)来描述

如果我们要恢复出原有的信号的频谱

从数学的角度

可以通过公式(5)来进行计算

当然

当我们需要恢复它的

时域信号的时候

可以通过公式(6)来进行计算

这就是之前我们给大家的公式

那么前面我们也说过

幅频特性是门函数的

这样一个理想低通滤波器

它的时域特性 g(t)

是具有取样函数的特性

所以说我们所得到的

恢复的模拟信号xa(t)

可以用公式(9)来进行计算

通过分析这个公式(9)

它由两部分组成

第一部分

就是采样信号的采样值

它的第二部分

是具有取样函数的特性

我们也管它叫内插函数

那在这里

我们可以清楚的看到

在采样点上恢复的函数值

是等于原来的采样值的

而在采样点之间的各个函数值

是通过叠加而成的

所以呢

在这里面 g(t)

它的作用

就是起到了一个内插的作用

所以说 我们管它叫内插函数

那么这种内插的方法

在工程当中还有一种比较简洁的方法

这种实用的简洁的方法呢

就是一种叫零阶保持器的方法

它的基本的原理框图

我们用图9来表示

首先在这里边

我们看到的是一个解码器

解码器的作用

是将数字信号转换成十进制的信号

这个零阶保持器

就是将前一个采样值进行保持

一直到下一个采样值的到来

再跳到新的采样值

并再继续保持

因此这个零阶的保持器

它就相当于是常数的插值

由于经过零阶保持器所输出的信号

它是有台阶的

所以我们为了得到比较平滑的

恢复的信号

它的后端的还要接一个叫

平滑滤波器

一般情况下

这个平滑的滤波器

采用的是理想的低通滤波器

零阶保持器

它的幅频特性

可以用公式(10)来表示

下面我们看一下

通过这样一种零阶保持器的方式

所恢复信号的波形

图(a)是经过解码器的输出

还是一个离散的信号

然后经过零阶保持器之后

我们就得到了图(c)

是有台阶的这样的恢复的信号

那么这种具有台阶的恢复的信号

包括了许多高频分量

所以我们在它的后端要加一个平滑滤波器

好

下面我们把这一小节的主要内容

给大家做一个简单的总结

这次课主要讨论了

模拟信号的采样与恢复问题

采样定理

以及产生频谱混叠的原因

通过几个实际的例子

讨论了采样频率

恢复滤波器的带宽

对恢复信号的影响

那到现在为止

我们学习了基础知识模块的全部内容

基础知识模块

主要学习了

时域离散信号的表示与运算

LTI时域离散系统的数学模型

以及时域响应的求解

卷积及其应用

LTI系统的因果性

和稳定性的判定方法

系统初始状态对系统输出的影响

最后讨论了模拟信号数字处理的方法

涉及到信号的采样与恢复

采样定理等内容

希望大家课后认真复习

进行总结

并通过习题巩固学习的内容

今天的学习就到这里

再见