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下面我们来分析5.5节

脉冲响应

不变法设计IIR

数字低通滤波器

首先

第一个问题

我们介绍有模拟滤波器

转换为数字滤波器的要求

根据因果系统稳定的条件

因果稳定的模拟滤波器

转换为数字滤波器

我们仍然期望

系统转换之后

仍然是因果稳定的

也说

S平面的左半平面

应该对应于Z平面的单位圆内

保证系统的因果稳定性

二

数字滤波器的频率响应

应能模仿模拟滤波器的

频响函数

S平面的虚轴应

设为Z平面的单位

圆 两种频率

响应之间呈线性的关系

根据基本思路

我们来给大家介绍脉冲

响应不变法的原理

这种方法使数字滤波器的单位

取样响应H(n)模仿模拟滤波器的

冲激响应函数Ha(t)

也令H(n)等于Ha(NT)

T是我们从模拟到

离散的抽样间隔

再求Ha(n)的Z变换得到

数字滤波器的系统函数

H(z) 由此得到

我们所设计的数字滤波器

这种方法称之为

脉冲响应不变法

根据思路

我们来介绍种设计

方法的具体过程

第一步

我们先设模拟滤波器的

系统函数是Ha(S)

表达式如图所示

其中SI是模拟滤波器

系统函数的单阶极点

我们以单阶极点

为例来进行设计

说明

第二步将模拟滤波器的系统

函数Ha（S）进行

拉氏逆变换

得到模拟滤波器的单位

冲击响应Ha（T）

根据模拟滤波器单位冲激响应

Ha（T）的表达是我们对

Ha（T）进行等间隔采样量

采样间隔为T

得到离散时间序列

H（n）

得到H（n）之后

我们第四步对H（n）进行Z变化

从而得到数字

滤波器的系统函数

H（Z）

由数字滤波器的系统函数

H（Z）的表达式

我们可以看到

模拟滤波器的极点

SI跟数字滤波器之间

对应的转换关系

那么

两组表达式H（Z）

和Ha（S）由模拟滤波器

转换为数字滤波器的对应关系

希望大家能关注两个关系式

以上脉冲响应

不变法设计数字滤波器

基本的过程

这种转换方式

我们来分析一下

他的转换的特点

我们对数字滤波器的系统函数

和模拟滤波器的系统函数

进行下的比较

可以看到

模拟滤波器的极点转

换为数字滤波器的极点

转换的映射关系是以表达式

来进行完成映射的

由这组映射关系

大家可以看到

模拟滤波器的系统函数和

数字滤波器的系统函数当中

进行部分分式展开以后

部分分式的展开

系数均为AI 零点

没有对应关系

通过这种对应关系可以看到

如果模拟滤波器系统稳定

转换到数字滤波器之后

按照这种映射关系完成转换之后

数字滤波器也是稳定的

根据以上的转换

我们来分析一下S平面

和z平面的映射关系

通过相应离散化的方法

我们有模拟滤波器的单位

冲激响应H（t）进行取样

得到的取样信号是表达式

我们对表达式求拉氏变换

可以看到是拉氏变换的结果

从而得到了取样信号的

拉氏变换

把信号和数字滤波器的

系统函数做一下比较

我们可以得到这组关系

通过比较

我们可以得到如下的结论

数字滤波器系统函数Z

按照映射关系进行转换

那么它对应的

模拟滤波器的系统函数

数字滤波器和模拟

滤波器之间的系统

函数的转换的对应关系

根据这组映射关系

我们具体分析一下S平面

和Z平面是如何实现

具体的映射关系的

为了分析的方便

我们根据映射关系

把S平面表示为实部

和虚部的形式

把Z平面表示为极坐标的形式

根据这组映射关系

我们把表达式进行一下

大家可以看到

这组结果

实部和实部相等

虚部和虚部相等

因此我们得到极坐标和

S平面之间的一组映射关系

就是这组关系

通过这组关系

我们来分析下面的对应

具体的形式

σ根本等于零的时候

极半径等于1

σ小于零的时候r＜1

σ大于零的时候r＞1

根据三种情况

我们分别对应 S平面

和z平面发现

σ等于零 实部等于零

正好对应的是S平面的虚轴

那么

根据这组对应关系

发现虚轴对应的正好是单位圆

其他两种情况分别对应S平面的

左半平面和右半平面转换

到Z平面之后

根据组对应关系

大家发现左半平面

对应Z平面的单位圆内 S平面的

右半平面对应于Z平面的单位圆外

满足了我们所提到的第一条

S平面和z平面

保持因果稳定的映射关系

S的左半平面对应

z平面的单位圆内

根据

z平面和S平面的对应关系

我们发现数字域的频率

和模拟角频率之间满足关系

我们进行列表

发现有一组对应关系

即S平面的左半平面的

带状区域

它对应单位圆的角频率的一周

是2π周期

不同的频带对应不同的

2π周期

所以说S平面和Z平面

关于频率的对应关系不是

一一映射的关系

而属于是S平面多个频段

对应着z平面单位圆内2π

这样的一个区域

由以上的分析

我们来导出数字滤波器

和模拟滤波器频率

响应之间对应关系

根据刚才的分析

我们令数字滤波器的系统

函数z等于1的ST次幂

带到数字滤波器的

表达式当中去

从而导出模拟滤波器的

具体的表达 是在参考

数字滤波器的频响函数

和模拟滤波器频响函数

之间的关系

我们得到这个关系

大家发现模拟滤波器

按照2π/T周期的关系

进行研讨

通过这组关系

大家可以得到结论

如图所示

如果模拟滤波器满足条件

如果模拟滤波器的频带

带限于±π/t之间

转换而成的数字滤波器

它的频响函数就不会发生

频率混叠的现象

如果不满足关系

如图所示

大家可以看到在±π/t的

奇数倍附近就会产生频率

混叠的 现象

如果原信号的频谱不满足

带限的关系

我们用脉冲响应

不变法来实现

滤波器数字化的过程

就会产生频率混叠的现象

是脉冲响应不变法主要的缺点

根据以上过程的分析

我们总结以下脉冲响应

不变法设计的优点和缺点

采用脉冲响应不变法设计

数字滤波器可以看到 频率坐标

变换关系是线性的

它的时域特性 比较好

它的主要的缺点

是产生频率混叠的现象

因此

用种办法不适用于

设计高通带阻滤波器

一般情况需要加相应的保护器

一般情况需要加相应的保护

滤波器来避免这种

混叠现象的产生

下面我们看具体的设计实例

如何用脉冲响应不变法

将模拟滤波器的系统函数

转换成数字滤波器的

系统函数

已知模拟滤波器的

传输函数Ha(S)

那么

我们采用脉冲响应

不变法如何进行转换呢

根据我们相应的分析

首先将Ha(S)

进行部分分式展开

得到它的相应的几点

再根据相应的映射关系

得到H(z)的几点

z1和z2采用的映射关系

z等于e的st次幂

把由此得到的H(z)的极点

带到H(z)的表达式当中去

经过相应的整理

我们就得到了数字滤波器的

系统函数

用脉冲响应不变法

将模拟滤波器的系统函数

转换为数字滤波器系统

函数的主要的方法

z等于e的ST次幂

映射关系里面跟取样

间隔有密切的关系

下面我们给出具体的两个实例

当采样间隔分别

等于1s和0.1s的时候

分别得到数字滤波器的

系统函数

H1Z和H2Z

我们把两个数字

滤波器的系统函数

用它的频响函数来表示

得到频响函数的示意图

大家可以看到

左边图是模拟滤波器的

幅度特性

右边图

是转换而来的

不同的采样周期情况下

数字滤波器的幅频特性

可以看到T=1s的时候

和T=0.1s的时候

两个还是有很大的差异

后续设计过程当中

需要考虑不同采样间隔

对频响函数的影响的情况

以上内容是我们

今天讨论的主要的内容

用脉冲响应不变法设计

相应的数字滤波器

今天我们就学习到里

谢谢下次课再见