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下面我们来分析5.6节

双线性变换法设计

IIR数字低通滤波器

第一部分

我们首先来介绍设计原理

双线性变换法设计

IIR数字低通滤波器

采用的是一种

非线性频率压缩的方法

我们将整个频率轴上

的频率范围

压缩到

正负π/T之间

再利用

Z=est

这个对应关系

转换到Z平面

如图所示

我们设

S平面是原来的系统函数

Ha(S)

设Ha(S)

是模拟

低通滤波器的系统函数

经过非线性的频率压缩之后

用Ha(S1)来表示

如图所示

也就是由S平面

转换到了S1平面

将S平面的左半平面

压缩到了+-π比T

一个带状的区域

用正切变换

实现频率的压缩

满足的关系式 这个表达式

通过这个表达式

我们分析

可见

当Ω1

从+-π/T

在这个带状区域内

进行变化的时候

对应的角频率可以发现

从负无穷到零

到正无穷进行变换

正好映射到

整个S平面的左半平面

然后我们再利用

脉冲响应

不变法

这个映射关系

将这个带状区域

映射到Z平面

由此可见

S1平面

这个阴影部分的带状区域

正好映射为Z平面的单位

圆的内部

满足了我们设计的要求

下面我们来分析

S平面和

Z平面的对应关系

根据刚才的分析

我们用这个

非线性的频率压缩

实现了

S平面到S1平面的转换

由此

利用这个关系式

转换到S平面

两边同乘以J

然后进行相应的整理

那么可以看到

S平面和

S1平面之间的对应关系

满足这个表达式

然后我们令

Z=es1T

由S1平面

映射到Z平面

我们经过整理之后

可以看到S平面

和z平面之间的对应关系式

满足这个表达式

由此

我们得到了S

平面和z平面的对应关系

这是一个非常重要的关系

希望大家要重视

S平面和

z平面的对应关系

我们得到之后

下面我们来分析

模拟角频率

Ω和数字域的频率

这个ω之间的关系

根据刚才的分析

我们令S=jΩ

z=ejΩ

带到刚才的

然后进行相应的整理

模拟频率

Ω和数字频率之间

对应关系

满足这个关系式

这就是双线性变换法

对应的频率变换关系

首先需要明确的是

模拟角频率

和数字与频率之间的

对应关系

满足这个表达式如图所示

那么S平面和

z平面的对应关系

满足这个表达式

希望大家能要牢固掌握

这两种对应关系

下面我们来分析

这种双线性变换法

它的主要的特点

首先它的优点是

克服了频率混叠的现象

他的缺点

是频率满足非线性的关系

会带来幅度响应和

相位响应的失真

适用于片段

常数

滤波器的设计

如图所示

经过这样的双线性变换之后

幅频特性和相频特性

发生了

相应的改变

也就是发生了

相应的失真的一种现象

根据以上原理的分析

下面我们来介绍

双线性变换法

数字滤波器设计的基本步骤

首先

需要确定

数字低通滤波器的

技术指标

这四个参数值

第二步

我们需要将

数字低通滤波器的指标

转换为模拟低通

滤波器的技术指标

那么转换的方法有两种

脉冲响应

不变法

对应这个转换关系

双线性变换法

对应这个非线性的转换关系

第三步

按照

模拟低通滤波器的

技术指标设计

模拟低通滤波器

第四步

将模拟滤波器

从S平面转换到Z平面

从而得到

数字低通滤波器的系统函数

H(Z)

根据前面

采用变换方法的不同

在转换过程当中

脉冲响应不变法

对于这组关系式

进行相应的转换

双线性变换法

对应这组关系式

来进行相应的转换

通过

以上这两种转换关系

大家可以看到

对于双线性变换法

当滤波器的阶次较高的时候

将H(z)

整理成需要的形式

计算复杂度也比较高

为了简化设计

在一些工具参考书里面

提供了将模拟滤波器

转换为

数字滤波器

各系数之间对应的关系

并列成表格

共查表设计使用

大家可以看

到由Ha(S)

转换到H(z)

用这个相应的转换关系

计算量是非常大的

因此提供了相应的

对应的系数关系表

供大家进行查阅

从一定程度上

简化大家的分析

在设计过程当中

还有一个问题需要注意

那就是采样间隔T的选择

我们先分析脉冲响应

不变法

脉冲响应

不变法

采用的对应关系是

这组表达式

通过分析

我们在设计过程当中

为了避免

出现频率混叠的现象

我们需要要求

模拟低通滤波器

带限于

+-π/T之间

而实际当中虑波器

都有一定的过渡带的带宽

因此我们可以选择

阻带的截止频率

在这个范围内

根据这样的一个选择

我们可以设定

假如

先给定了数字低通的

技术指标

由于数字

低通滤波器的频响函数

是以2π为周期的

最高频率

处在Ω=π的位置

因此我们可以设定

数字域的

频率小于π

按照线性的

对应关系

我们可以得到

模拟域的频率

在这个范围内变化

那么对比这两组关系式

大家可以看到

我们在这种限定条件下

就可以任意选择T

从而

满足带限于

+-π/T这样的一个条件

为了计算的简单

一般选T=1

这是脉冲响应

不变法

对采样间隔的考虑

对于双线性变换法是

一种什么情况呢

经过分析

我们知道

由于双线性变换法

不存在频率混叠的现象

尤其是对于片段

常数

滤波器的设计

所以在双线性变换法当中

采样间隔T

我们可以任意选择

下面

我们看一个具体的设计例题

要求设计

数字低通滤波器

通带内的频率

允许的误差

以及

频率在0.3π到π之间

阻带衰减大于15db

指定模拟滤波器为

巴特沃斯低通滤波器

要求分别用

脉冲响应不变法

和双线性变换法

设计

数字低通滤波器

首先

我们来用脉冲响应

不变法

设计数字低通滤波器

根据设计要求

我们首先确定

数字低通的技术指标

然后

由数字指标

转换为模拟低通的指标

相应的数值参数

如图所示

我们选采样间隔为一秒

根据设计要求

模拟滤波器指定为

巴特沃斯低通滤波器

因此

先计算阶次N

3DB的截止频率

Ωc

具体计算结果

如图所示

我们选择

巴特沃斯的阶次为6

然后

根据通带的技术指标

我们来

确定3DB的截止频率

得到ΩC的数值

发现

此数值小于0.3π

满足通带的技术指标的要求

可以看到给阻带的衰减

留有一定的余量

从而防止混叠现象

根据计算

可得的

模拟低通滤波器的阶次

我们查表得到

归一化的系统函数

Ha(p)

然后

去归一化的处理

另p=S/Ωc代入上式

我们可以得到

去归一化的系统函数

最后

用脉冲响应不变法

将Ha(s)转换成相应的H(Z)

转换的方法

用脉冲响应不变法

用这组关系式来进行

相应的转换

以上就是脉冲响应

不变法

设计数字低通滤波器的

具体的过程

这种方法

适用于并联型网络结构

下面我们用

双线性变换法

来设计数字低通滤波器

用到的

转换关系是

这组非线性的关系

首先

确定

数字低通滤波器的技术指标

然后

利用双线性变换法

这组对应关系式

将数字低通的指标

转换为模拟低通的指标

这是具体的数值

第三步

根据设计要求

设计

巴特沃斯模拟低通滤波器

阶次N=6

下一步

我们根据

阻带的指标

来计算3DB截止频率

可以发现

阻带指标满足

给通带衰减留有一定的余量

可以看到

用这种方法

得到的归一化的系统函数

和脉冲响应不变法

结果是相同的

去归一化之后

得到

相应的系统函数的表达式

最后一步

用双线性变换法

将Ha(S)

转换成相应的H(Z)

这是具体的计算过程

以上为双线性变换法

设计

数字低通滤波器的

具体的过程

今天我们就学习到这里

谢谢下次课再见