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大家好

我们继续学习第二知识模块

今天学习第四讲

时域离散信号的傅里叶变换

与模拟信号傅里叶变换之间的关系

主要内容有

模拟信号的傅里叶变换

也就是模拟信号的频谱

时域离散信号的傅里叶变换

也就是离散信号的频谱

采样信号与模拟信号频谱之间的关系

时域离散信号的傅里叶变换

与模拟信号傅里叶变换之间的关系

最后我们将讨论

模拟频率与数字频率之间的定标关系

我们先来复习一下

模拟信号的傅里叶变换

有关模拟信号的傅里叶变换

在信号与线性系统的课程当中

我们已经介绍过了

它的定义

用公式(1)来表示

其傅里叶逆变换用公式(2)来表示

我们再看一下

时域离散信号的傅里叶变换

也就是

我们这一章的第一节所讲的内容

时域离散信号的傅里叶变换

它的定义用公式(3)来表示

其逆变换用公式(4)来表示

这里我们要注意一下

它的积分区间

由于序列的傅里叶变换具有周期性

所以在它的逆变换当中

它的积分区间是从-π到π

好 那么我们要问大家了

如果时域离散信号

是通过模拟信号采样得到的

也就是x(n)等于xa(nT)

那离散信号的频谱

和模拟信号的频谱之间

有什么关系呢

离散信号的频谱

采样信号的频谱

和原有的模拟信号之间频谱

又有着什么样的联系关系呢

下面我们先看一下

采样信号和模拟信号

傅里叶变换之间的关系

公式(5)

是采样信号的数学模型

将其进行傅里叶变换

我们就得到了公式(6)

在公式(6)当中

我们可以看到

原来的模拟信号的频谱是Xa(jΩ)

那采样信号的频谱

Xa(jΩ)我们在上边加了一个小三角

采样信号的频谱^Xa(jΩ)

和原有的模拟信号的频谱

显然它是一种周期延拓的关系

它所延拓的周期是采样频率Ωs

我们再来看一下

时域离散信号的傅里叶变换

与模拟信号的傅里叶变换之间的关系

这是在前一页

我们给大家的公式(2)

模拟信号的傅里叶变换

如果在公式(2)当中

我们令t等于nT

这样一来

就可以把公式(2)

表示成公式(7)

我们再重新写一下公式(7)

在公式(7)当中

是一个广义积分

它的积分限的是从负无穷大

一直到正无穷大

那么我们给它

进行一下叫分段积分

每个积分的区间为2π/T

这样就可以把公式(7)

表示成公式(8)

由于是分段积分

所以说

我们把它的积分是用了一个Σ

来表示所有段的合成

下面我们做一个变量的代换

令这个Ω’等于Ω减去2πr/T

并且

我们再将Ω'重新用Ω来代替

这样的就可以得到公式(9)

我们看一下公式(9)

是不是可以进一步地化简呢

重新写一下公式(9)

在公式(9)当中

这一项 e^(-j2πrn)

它的值是等于1的

所以这一项我们可以把它去掉

好 我们再做一下交换

求和和积分的次序

就得到了公式(10)

我们再做一次变量代换

如果我们令ω

数字里的频率等于ΩT

这样公式(10)

就可以变成了公式(11)

在这里面我们看到

做了一个变量的代换

由于变量代换的结果

就造成前面出现了一个1/T的

这样的一个相应的系数

我们再比较一下

前面所给大家的公式(4)

公式(4)是什么呢

是序列的傅里叶逆变换

那么比较一下我们就发现

公式(11)当中

我们画横线的这部分

实际上它就代表着X(e^jω)

那么对于刚才我们

所得到的这个公式(11)

再比较一下

我们所给的公式(4)

显然

X(e^jω)就可以用公式(12)来表示

也就是我们这里面看到的∑这一项

好 再比较一下

前面我们所给大家的公式(6)

公式(6)代表的是什么呢

它代表的是采样信号的频谱

那采样信号的频谱

和原模拟信号的频谱之间

它有一个周期延拓的关系

我们再来观察一下

如果对于这个采样信号的频谱

我们令

这个Ω等于ω除以T

这样

我们就可以得到了这个公式(12)

也可以

把它用公式(13)来进行表示

好了

我们重新梳理一下

这几个频率之间的关系

那么我们就发现呢

对于采样信号来讲

它是原来的模拟信号

经过Ωs的周期延拓所得到的

那么对于序列的傅里叶变换来讲

我们看到的

它也是一种延拓

那我们在进行延拓的时候

这个Ωs是多少呀

这是前面我们所给的公式(13)

序列的傅里叶变换

和采样信号傅里叶变换之间的关系

公式(6)

采样信号的频谱

和原模拟信号频谱之间的关系

那公式(2)所代表的

就是序列的频谱和

原来的模拟信号的频谱之间的关系

它也是一种周期延拓的关系

那么前面我们已经讲了

数字域的频率和

模拟域的频率之间是有

ω等于ΩT的关系

所以通过比较

我们就可以看到

这个ωs 是等于2π的

好了

通过前面的分析

我们就可以得到下面的结论

序列的傅里叶变换

与模拟信号的傅里叶变换之间的关系

和采样信号

模拟信号傅里叶变换之间的关系

是一样的

都是模拟信号的频谱

进行周期延拓而成的

只是在频率轴上有相应的区分

那么在频率轴上的取值

它有着相应的对应关系

就是这里面我们看到的ω等于ΩT

最后 我们把模拟频率

与数字频率之间的定标关系

用图1来表示

对于模拟频率来讲

我们可以用f来表示

它的单位是用Hz来表示的

然后这个Ω是角频率

是弧度每秒

通常情况下

我们在进行频率的表示的时候

是用归一化的频率的方式

来进行表示的

那么在归一化的时候

模拟域的频率

它的归一化是用f比上fs

来进行归一化的

而在数字域的频率当中

它的归一化是用ω比ωs

来进行归一化的

当然前面我们已经讲过了

ωs 它是等于2π的

所以说

我们在进行频谱的分析

在画频谱分析的

这样一个图形的时候

通常情况下

横坐标

我们基本上都是用这种

归一化的频率来进行描述的

这样就是我们在分析的时候

比较方便一些

但是我们大家一定要注意了

由于是用归一化的方式来进行描述的

它几个相应的特殊点

比如说0点

是0频率点

那么当它表示0.5的时候

这个表示的是fs/2的点

当这里边我们看到

在横坐标上是1的时候

实际上它的频率是fs

同样的道理

那么对于数字域的频率来讲

当我们看到0.5的时候

我们应该知道

它的这样的一个数字域频率应该是π

同样的道理

当我们看到这个数字1的时候

它所代表的数字域的频率应该是2π

好

下面我们把这节课的内容

给大家做一个简单的小结

这节课当中

我们主要介绍了

模拟信号的傅里叶变换

还有它的逆变换的相应的公式

时域离散信号的傅里叶变换

以及它的逆变换的相应的公式

那在这里边实际上

我们再次强调

由于序列的傅里叶变换

它具有周期性

所以在求它的逆变换的时候

它的积分限是从-π到π的

第三个问题呢

我们给大家讨论了

采样信号与模拟信号频谱之间的关系

是一种周期延拓的关系

它所延拓的周期是ΩS

同样

对于时域的离散信号的傅里叶变换

与模拟信号的

傅里叶变换之间的关系呢

它也是一种周期延拓的关系

最后我们给出了模拟频率

与数字频率之间的定标关系

今天的学习就到这里

再见