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下面我们来分析5.4节

切比雪夫模拟低通滤波器

第一个问题

我们来讨论

切比雪夫一型滤波器的

设计方法

首先

我们来介绍

切比雪夫一型滤波器的

幅度平方函数

大家可以看到它的幅度

平方函数

为N阶切比雪夫多项式

这里的

ε是一个小于1的整数表示

通带内幅度波动的程度

Ωp称为通带的

截止频率

我们把Ω和Ωp

之比用X来表示

我们令X等于

Ω/Ωp称之为

对Ωp的归一化频率

我们整个的设计

都是针对通带的截止频率

来讨论它的幅频特性信息

在这里面

大家可以看到

对于切比雪夫1型

模拟滤波器

它的幅频特性

当N

是奇数的时候

它的幅值特性是

这样的一个形式

当N是偶数的时候

它的幅频特性

是这样的一个形式

总体来讲

它都属于是

在通带范围内具有

等波纹的特性

在阻带范围内

幅频特性是单调下降的

由此我们可以

推出幅度平方函数的表达式

与ε、Ωp、N有关系

根据切比雪夫

一型幅度平方函数的特点

我们可以知道

在通带的范围内

当X这个变量小于等于一

的时候

我们CNx的数值

在-1道1之间波动

也就是说

这个幅度平方函数的分母

在1和1+ε²进行波动

由此可以看到

幅度平方函数的数值

在1到1和1+ε²分之1

之间

进行波动

在这里

我们定义一个

允许通带的波纹

用δ来表示 表达式如图所示

由此

我们可以推出已知的

而δ的数值我们就可以

推得ε的数值

根据以上的分析

我们给出切比雪夫1型

和巴特沃斯低通滤波器

幅度平方函数的

特性曲线的比较

大家可以看到

在阻带的范围内

当频率大于

通带截止频率之后

在幅度平方函数

的表达式当中

X这个变量

是大于1的

所以CNx的

数值随x单调上升

由此可见幅度平方函数

是单调下降的

那么

通过如图所示

我们比较

四阶巴特沃斯

幅频特性

和四阶的切比雪夫幅频特性

曲线的特点可以看到

切比雪夫的过渡带

要优于巴特沃斯的

这个幅频特性

过渡带要窄一些

根据以上的分析

我们总结一下切比雪夫1型

滤波器设计的步骤

首先

根据设计要求

我们要确定

滤波器的设计参数

然后根据我们的分析

求滤波器的N和参数

ε

第二步求

归一化的滤波器

的传输函数Ha（P）

第三步

去归一化的处理求

系统函数HA（S）

由此得到切比雪夫1型

滤波器的系统函数

根据以上的这个设计步骤

我们看具体的设计过程

第一步

根据设计要求

确定滤波器的N和参数

ε

我们根据

滤波器设计指标

阻带衰减和通带衰减

跟幅度平方函数的

这样的一个关系

我们可以推出如下

的这个表达式

那么

根据这组表达式

我们发现αp是

频率等于通带截止频率

时的衰减系数

αs是频率等于阻带截止

频率时的衰减系数

根据这样的一个定义

我们可以判断出

αp和我们定义的

通带的波纹系数

δ是相等的

由此

我们得到这组关系式

得到这组关系式之后

我们求这两个式子之比

从而可以消掉ε²

然后再根据这组关系式

我们求他的反双曲函数

由此得到滤波阶次N

这组关系式

就是求滤波器阶次N的表达式

其中ε²的平方

和通带的衰减之间

的关系满足这组关系式

第二步

我们求归一化的

系统函数

根据切比雪夫1型滤波器

归一化系统函数的特点

我们可以看到

它的归一化的极点

等于这个表达式

其中

相应的这个参数由

这个表达式来确定

也就是说

所有的极点为一组

分布在椭圆上的点

那么

把规一划的极点求出来之后

意味着求出了归一化的

系统函数

最后一步

第三步我们去归一化处理

求滤波器的系统函数

采用的表达式是这个形式

也就是说

去规划的时候

我们参照的是前边归一化

的变量

通带的截止频率

所以说

去归一化的时候同样的

采用的是通带截止频率

这样的一个参照频率

大家要注意这个表达式

由此根据这组表达式

我们就由归一化的系统函数

得到了

我们所设计的

切比雪夫1型滤波器的

系统函数

HAS

根据以上的分析

我们来举一个实际的例子

看一下

切比雪夫1型模拟滤波器

的具体设计过程

要求设计

低通切比雪夫滤波器

通带截止频率

Fp等于6kHz

通带最大衰减

αp等于3dB

阻带截止频率

Fs等于12KHz

阻带最小衰减

αs等于25Db

第一步

根据我们的分析

首先求滤波器的阶次N

带入我们整理的设计公式

可以求得

N等于2.7118

我们取证N=3

根据ε和αp之间的关系

我们可以求得ε的数值

这是完成了第一步的计算

求得了滤波器的

N和相应的参数

ε的数值

第二步

我们求归一化的系统函数

我们需要根据归一化极点的

表达式来计算它相应的极点

三阶的系统 有三个极点

这是计算的

P1、P2、P3

的具体的数值

由此可以得到归一化

的系统函数的表达式

我们把规一划的极点

带到归一化系统函数的

表达式当中去

经过计算整理

得到了

切比雪夫1型

归一化的形式的

系统函数的表达式

第三步

进行去规一划的处理

根据我们的分析

我们令P=S/Ωp

带到归一化的系统函数

当中进行去归一化的处理

经过计算整理

得到了

我们所要设计的

切比雪夫1型模拟滤波器的

系统函数

Ha（S）

这就是整个的

计算和设计的过程

在实际当中

有一些相应的参考工具给

出了切比雪夫滤波器

分母多项式的系数表

大家可以利用

归一化的这个系统函数

的表格

根据

滤波器的阶次和

ε的数值来进行查表

确定他归一化的系统函数

这给大家的设计呢

提供了很多的便利条件

以上是

我们今天讨论的主要内容

切比雪夫滤波器

设计方法

以及那相应的设计举例

这是我们今天

讨论的主要内容

今天我们就学习到这里

谢谢下次课再见