3-6 视频在线视频

大家好

这节课我们来学习频率域采样

主要内容包括

频域采样定理

频域内插公式

以及案例分析

我们首先来看频域采样定理

设序列x(n)的Z变换为X(z)

并且收敛域包含单位圆

对X(z)在单位圆上

进行N点等间隔采样得到X(k)

采样点是z等于e^(j2πk/N)

把它代到X(z)的正变换式当中

就可以得到公式(1)

其中k是0到N-1

公式(1)还可以简写成

下面这种形式

公式(1)说明了

X(k)是在单位圆上

对序列的Z变换的N点等间隔采样

而单位圆上的Z变换

又是序列的傅里叶变换

所以X(k)也是在区间0到2π上

对序列傅里叶变换的N点等间隔采样

对X(k)进行N点的离散傅里叶反变换

得到序列xN(n)

那么这个序列

和原序列x(n)是什么关系呢

二者是否是相等的

下面我们来进行分析

xN(n)和X(k)

是一对离散傅里叶变换

对它们以N为周期进行周期延拓

得到时域和频域的周期序列

时域和频域的周期序列

是一对离散傅里叶级数

而周期序列的主值序列

又是时域的有限长序列

这个公式是IDFS公式

在这个公式中

求和范围是k从0到N-1

周期序列在这个区间就是X(k)

而X(k)是在单位圆上

对Z变换进行等间隔采样得到的

也就是公式(1)

把公式(1)代入到下面的公式中

因为在IDFS这个公式里面

有变量n了

所以公式(1)当中的变量n

换成变量m

改变公式中求和的次序

并且把两项系数合并成一项

得到公式(2)

在公式(2)中

WN的k(m-n)次方求和

我们看它的结果是什么

当m-n等于rN的时候

由于WN的N次方等于1

所以WN的krN次方也是等于1的

因此这一项就是N个1相加

结果是N

因为m是从负无穷到正无穷

所以r也是从负无穷到正无穷

当m-n不等于rN的时候

利用等比级数求和

结果是0

所以对于中括号里面的这一项来讲

当m等于n+rN的时候

这个值是1/N乘以N等于1

当m不等于n+rN的时候

中括号里面的值是等于0

也就是说

只有当m等于n+rN的时候

公式(2)才会有值

因此

可以把公式(2)写成∑x(n+rN)

r等于负无穷到正无穷

这是一个周期序列

对周期序列取主值

就得到了xN(n)

也就是公式(3)

公式(3)描述了原序列x(n)

和xN(n)之间的关系

xN(n)是原序列

以N为周期进行周期延拓

再取主值得到的

我们总结一下这个过程

序列x(n)进行Z变换

或者是傅里叶变换

然后进行频域采样

得到X(k)

对X(k)进行N点的离散傅里叶反变换

得到xN(n)

xN(n)和x(n)的关系就是公式(3)

所以频域采样

原序列x(n)是要周期延拓的

而有这个周期延拓

就可能有混叠

所以xN(n)和x(n)不一定是相等的

那么在什么条件下二者会相等呢

这个就是频域采样定理研究的内容

假设序列长度是M

频域采样点数是N

也是序列x(n)的延拓周期

对于一个长度为M的序列

只有当延拓周期

大于等于序列长度的时候

才不会发生混叠现象

也就是N大于等于M的时候

由X(k)恢复的序列

才会和原来序列相等

这个就是频域采样定理的内容

在第一个模块里面

我们学习了时域采样定理

也就是时域采样

会导致频域的周期延拓

要想频谱不发生混叠的话

就需要满足这个条件

采样频率要大于等于

二倍的信号最高频率

这个时候才能够由时域采样序列

不失真的还原出原来的连续信号

而频域采样会导致时域的周期延拓

要想不发生时域混叠现象

就要求频域采样点数

大于等于序列的长度

这个就是时域采样定理

和频域采样定理

由于X(k)是对X(z)和X(e^jω)的采样

所以在满足频域采样定理的情况下

可以用内插公式

由X(k)恢复出X(z)和X(e^jω)

把X(k)的离散傅里叶反变换式

带入到x(n)的Z变换式中

就可以得到X(k)和X(z)的关系式

中括号里的这一项是φk(z)

是复频域内插函数

整个公式

也就是公式(5)

是复频域内插公式

就是由X(k)恢复出X(z)的公式

当z于e^jω的时候

还可以得到x(n)的傅里叶变换的

频域内插函数和内插公式

公式(6)是由X(k)

恢复X(e^jω)的内插公式

其中

φ(ω)公式(7)是频域内插函数

下面我们来举例分析

已知稳定序列x1(n)的Z变换是X1(z)

设x2(n)是一个长度为N的序列

它的N点离散傅里叶变换是X2(k)

并且已知X2(k)和X1(z)的关系

让我们来求x2(n)

下面我们来分析一下这个过程

序列是x1(n)

它的Z变换是X1(z)

根据X2(k)和X1(z)的这个关系式

我们可以知道

X2(k)就是X1(z)

在单位圆上的N点等间隔采样

也就是进行了频域采样

对X2(k)进行N点离散傅里叶反变换

得到x2(n)

这个过程和我们前面讲的过程

是一样的

所以x2(n)和x1(n)的关系是什么呢

x2(n)就是x1(n)

以N为周期进行周期延拓

再取主值

这样的话

如果我们有了x1(n)

根据这种关系就可以得到x2(n)了

已知的是X1(z)

我们来求x1(n)

X1(z)等于1/(1-7/8z^(-1)）

所以它的极点是z等于7/8

因为是稳定序列

所以收敛域是大于7/8

那么这个序列

应该是一个因果序列

x1(n)等于7/8的n次方u(n)

根据频域采样定理

x2(n)应该等于x1(n)以N为周期

进行周期延拓

再取主值

把x1(n)带到这个公式里面来

对于阶跃序列

括号里面的变量

应该是大于等于0的时候

序列会有值

所以r就应该是从0到无穷

因此

公式就变成了∑(7/8的n+rN次方)

r从0到无穷

把7/8的n次方

提到求和号的外面来

然后进行级数求和

就可以得到最终的结果

x2(n)等于(7/8)^n除以1-(7/8)^N

n是从0到N-1

那么我们比较一下

x2(n)和x1(n)

这两个式子是不相等的

根据频域采样定理

当频域采样点数大于等于

序列的长度的时候

二者才会完全相等

但是x1(n)它是一个无限长的序列

所以这两个序列不相等

但是N的值越大

它就会越接近于原来的序列

但是N的值也不可能无限制的加大

所以在实际计算当中

对于持续时间很长的信号

由于采样点数太多

会导致无法在计算机中进行计算

所以一般都会进行截断处理

也就是说取有限个点来进行处理

这节课我们学习了频域采样定理

频域采样

时域会产生周期延拓

当频域采样点数

大于等于原序列长度的时候

才能由频域采样恢复出原序列

否则会产生时域混叠现象

使恢复出来的序列和原序列不相等

这节课的内容

我们就学习到这里 再见