5.3视频在线视频

下面我们来分析5.3节

巴特沃斯模拟低通滤波器

大家好

今天我们继续开始

数字信号处理的学习

今天我们介绍第五部分

5.3节

巴特沃斯模拟

低通滤波器的设计

模拟滤波器的设计

模拟滤波器的设计方法

发展的已经很成熟

并且有若干典型的

模拟滤波器供我们选择

比如巴特沃斯、切比雪夫

椭圆和贝塞尔类型的

滤波器

这些滤波器都有严格的

设计公式

以及现成的曲线和图表

供设计人员使用

大家请看

这是常见的四种模拟

理想滤波器的幅频特性

其中低通滤波器

高通滤波器带通滤波器

和带阻滤波器

这是常见的四种类型的

模拟滤波器的幅频特性曲线

希望大家要熟悉

在滤波器设计过程当中

最重要的第一个问题

就是模拟滤波器的设计指标

及其逼近方法

对于模拟滤波器的设计指标

一般指

通带截止频率Ωp

阻带截止频率Ωs

通带的最大衰减αp

阻带的最小衰减αs

如图所示

这是低通模拟滤波器的

幅频特性曲线

其中

通带截止频率阻带截止频率

大家可以看到它对应的位置

对于

单调下降的幅频特性而言

通带的衰减和阻带的衰减

按照定义表达式如图所示

对于单调下降的幅度特性

通带最大的衰减αp

阻带的最小衰减αs

定义如下

那么

在模拟滤波器的指标当中

还有一个重要的参数

Ωc我们称之为是

3dB的截止频率

那么

滤波器的技术指标给定以后

需要

设计一个传输函数Ha(S)

希望Ha(S)的幅度特性

分别满足给定的指标

αp和αs

下面我们来介绍

巴特沃斯模拟

低通滤波器的设计方法

第一个问题

对于这类滤波器的设计

我们通常

都可以参考严格的数学公式

大家请看

对于这个幅度平方函数

我们称之为巴特沃斯类型

的幅度平方函数

我们可以把它

表示为频响函数

或者是两个系统函数相乘的

形式

在这种情况下

我们来设计巴特沃斯

模拟低通滤波器

如图所示

大家看一下

巴特沃斯幅度特性

和滤波器阶数N之间的关系

巴特沃斯模拟低通滤波器最

大的特点幅度平方函数是

单调下降的

也就是说

他的通带和阻带的

特性均为下降的趋势

而且随着N的增加

幅度平方函数

幅频特性下降的比较厉害

但是当N大到一定程度之后

它的幅度下降没有很明显的

变化

因此单纯的依靠

增加滤波器的阶次

来设计滤波器

很难获得很高的性价比

我们总结一下

对于巴特沃斯模拟

低通滤波器

它的特点是

通带有最大平坦的幅度特性

而且阻带是单调下降的

第三个特点

随着滤波器阶次N的增大

幅度下降越大

并且能过渡带越窄

这是他的三个特点

希望大家注意

对于巴特沃斯类型的

模拟低通滤波器

根据他的幅度平方函数

我们可以找到他的

2N个极点

极点用Sk表示表达式

表达式如图所示

根据相应的推导

分析可以看到

对于

巴特沃斯类型的

模拟低通滤波器

它的2N个极点分布

是很有规律的

如图所示

为了形成稳定的滤波器

根据稳定性的条件要求

系统函数的所有极点

都位于S平面

左半平面

因此在2N个极点当中

我们只取S平面左半平面

的N个极点构成

滤波器的系统函数HaS

而右半平面的N个极点

构成系统函数的

另一部分Ha（S）

我们以滤波器阶次

N=3为例

来构造它的系统函数

可以看到它的六个极点

分别表达式如图所示

我们取其中左半平面的

3个极点S0 S1 S2

来构造此滤波器的系统函数

Ha（S）

那么

根据这样的一个规律

我们取S0 S1 S2

构造了

巴特沃斯类型滤波器的

系统函数

为了设计的统一

将所有的频率

对Ωc进行规一化处理

规一化处理之后

的滤波器的系统函数表达式

如图所示

根据规划之后的

模拟低通滤波器的

系统函数的特点

我们引入一个新的变量

规一划的复频率P

同时

我们引入

规一划的频率λ

在这种情况下

滤波器的系统函数Ha（S）

我们可以用规一划的

系统函数Ha（P）来进行表示

滤波器的极点Sk

可以转换为规一划的极点

Pk

Sk和Pk之间的关系

大家可以看到

这是Sk的表达式

这是归一化之后

Pk的表达

是经过了归一化处理之后

我们给出

归一化的巴特沃斯滤波器

它的系统

函数的

一般的通式的表达形式

Ha（P）就是这样的一个形式

那么也就是说我们在设计

滤波器的过程当中

根据他的极点分布想办法

把Ha（P）找到

就得到了

归一化的滤波器的系统

函数的表达式

得到归一化的系统函数

的表达式之后

我们就可以去归一化

得到我们要设计的

巴特沃斯类型的

模拟低通滤波器的系统函数

下面我们总结一下

巴特沃斯模拟

低通滤波器的设计方法

第一步

根据

技术指标确定

滤波器的阶次N

第二步

求规划的极点

Pk并带到归一化

的系统函数Ha（P）当中

或者是

查表得到规划的系统函数

Ha（P）

第四步

根据技术指标

确定3dB截止频率

去归一化处理

得到

实际的滤波器的系统函数

Ha（S）

根据这样的一个设计步骤

我们来进行设计方法

具体计算的一个说明

第一步

我们需要由给定的

技术指标确定N

那么N

跟什么量有关系呢

根据巴特沃斯

模拟滤波器的幅度

平方函数的表达式

参考

它的阻带衰减

和通带衰减

和相应指标的关系是

我们首先

把他的两个衰减的

表达式转换为指数的

这样的一个形式

也就是说

都是用幅度平方函数的形式

来进行

表示

转换成这个结果之后

我们对比他的幅度

平方函数的

这个表达式和这个表达式

之间的关系

我们得到

这样的一个表达式

去掉它的幅度

平方函数

可以看到

这组表达式当中

只跟四个指标和N

有关系

由此

我们在进行进一步的变形

就得到这组表达式

我们可以把

3bB的截止频率的影响

去掉

另两个式子之比经过整理

得到这个表达式

得到这组表达式之后

我们就能

得到N和四个指标之间的

一组关系式

在这组关系式当中

我们为了表示的方便

可以利用对数的这部分

等于Ksp

Ωs比Ωp的部分

我们令她是λsp

所以说

N的表达式

变为这个比较简单的形式

我们把它整理一下

大家可以看一下

这个颜色的表达式

就是我们N

和滤波器的

四个指标之间的关系式

这是我们最终

求解N的表达式

希望大家要熟悉

得到滤波器的阶次N之后

下面我们来计算

虑波器的3dB的截止频率

Ωc

Ωc跟什么量有关系呢

通过刚才的分析

我们注意到

这组表达式得到

这组关系式之后

我们发现

3dB截止频率

分别跟通带的指标有关系

和阻带的指标有关系

如果我们按照

通带的指标计算的话

组带指标会有余量

如果我们利用

阻带的指标来计算的话

通带的指标会有余量

第三步

我们需要根据确定的N

查表可以很方便地

得到他的规一划的

系统函数的表达式Ha（P）

最后一步

我们把

归一化的系统函数

进行去规一划处理

得到我们要设计的

滤波器的系统函数

另P=S/Ωc带到规一划

滤波器的系统函数当中去

可以得到

我们要设计的

滤波器的系统函数

Ha（S）

以上就是我们设计

巴特沃斯模拟滤波器

基本的计算步骤

希望大家要熟悉

下面我们看一个例题

要求设计巴特沃斯

低通滤波器

通带截止频率

通带的最大衰减

阻带的截止频率

以及组带的最小衰减

四个指标给定

要求设计巴特沃斯类型的

低通模拟滤波器Ha（S）

根据我们刚才的分析

第一步

确定模拟低通滤波器的N

根据刚才的计算公式的分析

我们需要分别计算

N相关的这两个量具体数值

那么可以看到Ksp

λsp跟

通带阻带的衰减

以及它相应的截止频率

有关我们带入具体的数值

分别得到具体的参数

经过代入这个公式之后

N是4.26

我们一般取

N是取整取五

由此确定了滤波器的N

是5

滤波器极点的表达式

可以看到

跟N密切相关

我们就可以计算它的

5个极点

得到

归一化的系统函数Ha（P）

这是得归一化系统函数的

方法之一

方法二

我们可以根据

我们计算出来的

N=5查表

得到它的5个极点

这是方法二

方法三

我们可以直接查表

得到它规一划的系统

函数的系数

并带到规一划的

滤波器系统函数的表达式

当中去

从而得到

我们要设计滤波器的

规一划类型的系统函数

Ha（P）

下一步

第三步

我们需要对Ha（P）

进行去规一划的处理

需要先求3dB

的截止频率

在求3dB截止频率的过程

当中

我们可以按通带指标确定

也可以按阻带指标确定

作为举例

在此

按通带的指标来

进行计算 计算

结果如图所示

经过验证

可以看到阻带的指标

是有余量的

最后

我们把

我们计算得到的3dB的截止频率

用去归一化的方法

带到我们归一化的

系统函数的表达式当中去

从而得到我们要设计的

滤波器的系统函数

Ha（s）表达式

通过这个具体的例子

我们通过相应的仿真验证

可以看到

巴特沃斯类型

滤波器的频率特性曲线

无论在通带

还是在阻带

都是频率的单调函数

当通带边界满足

指标要求的时候

通带内会有一定的余量

这样

更有效的设计方法

是将精确度均匀的

分布在整个频带内

从而可用阶数较低的

系统满足设计要求

这种效果

可用具有等波纹特性的

切比雪夫滤波器来设计实现

以上就是今天我们所讲的

模拟巴特沃斯类型

低通滤波器的设计方法

希望大家重点掌握

它的设计原理和设计步骤

今天我们就学习到这里

谢谢下次课再见