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大家好

这次课我们将讨论窗函数法

设计线性相位FIR数字滤波器的步骤

上两次课

我们分别介绍了

窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器的基本原理

以及一些典型的窗函数及其特性参数

那么这一次课

我们将在上两次课的基础上

利用一个线性相位FIR数字滤波器的设计实例

来介绍窗函数法的基本方法和步骤

同时我们也会介绍

窗函数法的两个MATLAB设计函数

并给出窗函数法的一些设计实例

首先我们来看一看

窗函数法的基本步骤

假设我们要设计

这样的一个线性相位高通FIR数字滤波器

并且我们希望设计出的

滤波器阶数尽量地低一些

技术指标要求是

通带截止频率二分之π

阻带截止频率四分之π

通带最大衰减1分贝

阻带最小衰减40分贝

针对这样的一个设计要求

下面我们依次来介绍窗函数法的各个设计步骤

首先第一步

我们要根据阻带最小衰减的要求

选择适当的窗函数的类型

根据上一次课

我们讨论不同窗函数以及它们的特性参数

所总结出来的这样一个表格

我们发现

在表格中

汉宁窗及其以下的这些窗

它都能够满足

阻带最小衰减大于40分贝的这样的一个要求

但是在这些窗里面

滤波器长度N相同的情况下

汉宁窗它的过渡带宽是最小的

当然凯塞窗由于它比较复杂

我们这里面没有考虑在内

所以为了在满足技术指标的条件下

滤波器的阶次尽可能地低

我们选择汉宁窗

确定了窗函数之后

下面我们就来计算

它所需要的滤波器的阶数

也就是我们要选择适当的窗口的长度

使得窗函数的过渡带带宽

小于等于滤波器的过渡带带宽的要求

现在技术要求里面给定的过渡带带宽的要求

是通带截止频率减去阻带截止频率

等于四分之π

而汉宁窗的过渡带带宽

是N分之6.2π

根据这样一个要求我们求出来

N应该要大于等于24.8

因为设计的是一个高通滤波器

N必须为奇数

因此我们取N等于25

根据窗函数法的基本原理

下面我们要做的

就是构造期望的频率响应函数

因为我们要设计的是一个高通滤波器

所以我们选择

具有线性相位的理想高通滤波器

作为期望的频率响应

其中它的群延迟选为二分之N-1

也就是12

而理想高通滤波器的截止频率

取为过渡带的中心频率点

对于我们这个例子就是八分之3π

接下来就是求出

期望频率响应所对应的单位响应hd(n)

这里我们求出的

就是一个理想高通滤波器的频率响应

有的时候

这个期望的频率响应难以表达为封闭的公式

这时候我们也可以

对期望响应从ω=0到ω=2π

进行一个M点的等间隔采样

那么hd(n)

就可以近似地用这个采样值的IDFT来代替

当然这种替换它是会有一定的误差的

我们可以通过增加采样点数M

来降低这种误差的影响

得到了hd(n)之后

我们对hd(n)进行加窗

就可以获得所设计滤波器的单位响应h(n)

最后我们还需要验证

设计出来的滤波器

它是不是满足预期的设计要求

因为窗函数法

它不是严格按照设计公式来设计滤波器

在设计的过程当中

可能还会有一些近似的处理

所以设计出来的滤波器

它的技术指标是不是满足预定的要求

还需要进行最终的验证

如果验证不满足要求

则需要更换窗口函数

或者是调整窗口的长度

重新进行滤波器的设计

窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器

在很大程度上它依赖于计算工具

那么在MATLAB当中

就提供了两个窗函数法

设计FIR滤波器的函数

一个是FIR1

当我们用这个函数来设计

低通或者是带通的FIR滤波器的时候

它的基本调用格式是这样的

其中n是滤波器的阶数

它等于滤波器的长度N-1

wc

它实际上指的是ωc

对应的是过渡带的中心频率

我们也称之为六分贝截止频率

当ωc是一个标量的时候

设计的是一个低通滤波器

当ωc是向量的时候

设计的是带通滤波器

而且这个向量它可以是一个多维的向量

也就是对应这个滤波器

它可以具有多个通带

window是一个n+1维的向量

对应的是一个窗函数

比如我们可以采用布莱克曼窗

如果我们不标注窗函数

默认的话它采用的是哈明窗

如果设计高通或者是带阻FIR滤波器

则在上面的调用格式基础上

我们还要再加上一个ftpye这样一个参数

用这个参数来指定滤波器的类型

high表示高通

stop表示带阻

除了FIR1这样一个标准函数之外

MATLAB还提供了

一个任意幅度特性窗函数法设计函数 fir2

它的调用格式是这样的

其中f是一个归一化的频率向量

m是与频率向量f相对应的幅度向量

f和m的向量长度必须相同

fir2这个函数的具体用法

我们将在后面的频率采样法中进行举例说明

接下来我们来看一下

基于MATLAB窗函数法设计举例

第一个例子

就是前面我们介绍设计步骤时

所采用的这样一个高通滤波器的例子

我们把它的技术指标重新列到这

对应的MATLAB设计程序如下

其中窗函数还是需要人工来选择

程序的基本思路

首先是根据过渡带的宽度

来确定窗口的长度N

然后求取过度带的中心频率ωc

在此基础上

就可以用FIR1这个函数

来设计FIR数字滤波器

后面还会有一些滤波器的技术指标校验

以及绘图的程序

我们就没有在这里给出来了

这就是这个高通滤波器

用MATLAB设计出来的结果

单位响应h(n)

它的波形以及对应的损耗函数曲线

接下来我们再来看看另外一个例子

设计一个线性相位的FIR带阻滤波器

这是它的技术指标要求

由于是带阻滤波器

它的截止频率参数一共有四个

分别是

下通带截止频率

下阻带截止频率

上阻带截止频率

和上通带截止频率

我们同样给出了它的MATLAB设计程序

基本设计思路

和前面高通滤波器的设计是类似的

主要的差别在于

它的截止频率是一个向量

这是这个FIR带阻滤波器的设计结果

滤波器的长度N等于81

我们分别画出了它的单位响应和损耗函数曲线

最后我们对窗函数法的设计步骤做一个小结

一

根据阻带最小衰减的要求

选择窗函数的类型

二

根据滤波器过渡带宽的要求

计算窗口长度

三

选择理想的线性相位FIR数字滤波器的频率响应

四

对理想的频率响应取傅立叶反变换

得到期望的滤波器单位响应

最后对期望的单位响应加窗

就可以得到所设计滤波器的单位响应

这一次课的内容

我们就学习到这里

再见