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大家好

这次课我们将介绍一些

典型的窗函数及其各自的特性

上一次课

我们介绍了窗函数法设计

FIR数字滤波器的基本原理

其中采用矩形窗进行了

FIR滤波器的设计

但是

矩形窗设计的FIR滤波器

存在一个很大的问题

就是不管采用什么样的窗口长度N

滤波器的阻带最小衰减只能到21分贝

所以用矩形窗来设计FIR数字滤波器

它是存在一些局限性的

它没有办法设计

阻带衰减要求高的FIR滤波器

要解决这个问题

我们必须采用其他类型的窗函数

来进行滤波器的设计

这节课

我们将介绍一些典型窗函数及其特性

这些窗函数包括 矩形窗

三角形窗

汉宁窗

哈明窗

布莱克曼窗

和凯赛-贝塞尔窗

为了评价典型窗函数的特性

我们首先介绍几个主要的特性参数

第一个

旁瓣峰值衰减

它用αn来表示

它指的是窗函数的频谱旁瓣最大幅度

相对于主瓣峰值的衰减值

单位为分贝

第二个

过渡带带宽

它指的是用该窗函数设计的

FIR数字滤波器的过渡带宽度

它与窗函数频谱的主瓣宽度有关

有时候也可以把窗函数频谱主瓣宽度

近似作为过渡带的带宽

第三个是阻带最小衰减αs

它表示用这样一个窗函数

所设计的FIR数字滤波器阻带的最小衰减

单位为分贝

下面我们首先来看一看

上次课用到的矩形窗

它具有什么样的特性

矩形窗及其频谱分别是这样一种形式

矩形窗频谱的主瓣宽度是N分之4π

过渡带带宽为N分之1.8π

旁瓣峰值衰减为13分贝

阻带最小衰减为21分贝

这里我们给出了

用矩形窗函数来设计

一个低通滤波器

它的四种波形

分别是

(a)

矩形窗函数

(b)

矩形窗函数的幅度谱

(c)

用矩形窗所设计的

低通滤波器的单位响应

这里滤波器的长度是31

(d)

所设计低通滤波器它的损耗函数

由图(b) 我们可以看到

它的旁瓣峰值衰减13分贝

由图(d)

我们可以看到它的阻带最小衰减是21分贝

接下来我们看看三角形窗

三角形窗也叫做巴特利特窗

这是三角形窗函数

这是它的频谱

它的特性参数是

主瓣宽度为N分之8π

过渡带带宽为N分之6.1π

旁瓣峰值衰减是25分贝

阻带最小衰减也是25分贝

与矩形窗相比

我们可以看出

它所设计的滤波器阻带衰减有所改善

但是与此同时

它的过渡带宽度也展宽了

类似地

我们也可以给出三角形窗的四种波形

从图(b)我们可以看出

它的旁瓣峰值衰减是25分贝左右

从图(d)我们可以看出它的

阻带最小衰减也是25分贝左右

然后再来看看汉宁窗

汉宁窗也称为升余弦窗

这是汉宁窗函数以及它的频谱

它的特性参数是

主瓣宽度N分之8π

过渡带带宽N分之6.2π

旁瓣峰值衰减31分贝

阻带小衰减44分贝

从这些特征参数我们可以看出

它的过渡带宽和三角形窗基本相同

但是它的旁瓣峰值衰减

和阻带最小衰减

都明显优于三角形窗

这里给出了汉宁窗的四种波形

那么从这个(b)和(d)

我们也可以看到

它的旁瓣峰值衰减和阻带最小衰减

哈明窗是汉宁窗的进一步改进

所以它也称为改进的升余弦窗

这是它的窗函数

这是它的频谱

它的特性参数

主瓣宽度还是N分之8π

过渡带宽N分之6.6π

但是它的旁瓣峰值衰减 阻带最小衰减

都优于汉宁窗

分别是41分贝和53分贝

也就是它在过渡带带宽

和三角形窗与汉宁窗差不多的情况下

获得了比较突出的阻带最小衰减

所以这种窗函数

它的性价比比较突出

MATLAB的窗函数法默认就采用哈明窗

这是哈明窗的四种波形

我们同样可以从这个四种波形当中

看到它的一些主要的参数

比如阻带最小衰减是在50多分贝

再来看看布莱克曼窗

这是它的窗函数

它的频谱表达式比较复杂

我们就不在这里列出来了

这是它的特性参数

主瓣宽度 N分之12π

过渡带宽 N分之11π

也就是它的过渡带宽比前面几个窗要大

但是它所设计的滤波器

具有更高的阻带最小衰减

可以达到74分贝

这是布莱克曼窗它的四种波形

最后我们再来看看凯塞-贝塞尔窗

凯塞-贝塞尔窗的窗函数

是基于第一类零阶贝塞尔函数来构建的

而它的窗函数的性能

和这个贝塞尔函数其中的这个参数

β或者是α是有关的

当α取不同的值的时候

所得到的窗函数它具有不同的特性参数

这个表格

给出了一些典型特征参数所对应的α的值

从这个表我们可以看出

一般来说

α增大

过渡带宽和阻带最小衰减都增大

我们把前面介绍的这些典型窗函数

它的特性参数汇总到这样一张表里头

从这个表我们可以看出

一般来说

窗函数的阻带最小衰减越大

它的过渡带宽度也越大

但是过渡带宽度与滤波器长度N有关

而阻带最小衰减与滤波器的长度N是没有关系的

这个表

可以供我们采用窗函数法

设计FIR数字滤波器时参考

而这些典型的窗函数

MATLAB里面都有对应的函数

在设计滤波器时

可以根据需要来进行选用

其中矩形窗函数

原来我们所用的这样一个函数

将逐步被淘汰

凯塞窗的beta这个参数

实际上是对应于我们这里的参数α

最后对我们这一次课的内容进行一个小结

一

不同类型的窗函数

具有不同的频谱幅度特性

二

采用不同的窗函数

来设计FIR数字滤波器

可以获得不同的阻带最小衰减

而且该阻带最小衰减

与滤波器的长度N无关

三

一般来说

在滤波器长度N一定的条件下

窗函数阻带最小衰减越大

其过渡带宽也越大

四

哈明窗具有比较好的综合性能

较为常用

五

凯塞-贝塞尔窗是一种最优的窗函数

所设计的FIR滤波器

在阻带最小衰减相同的条件下

可以获得最小的过渡带宽

这一次课的内容

我们就学习到这里

再见