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大家好

这节课我们讨论

离散傅里叶变换的应用

利用离散傅里叶变换计算线性卷积

主要内容包括

利用DFT进行循环卷积

线性卷积和循环卷积的关系

线性卷积和循环卷积相等的条件

以及利用DFT进行线性卷积

我们首先回顾一下

利用DFT计算循环卷积

假设有限长序列x(n)

和h(n)的长度分别是M和N

L是大于等于N和M中的大值

那么两个序列的L点循环卷积就是yc(n)

根据时域循环卷积定理

两个序列分别做L点的离散傅里叶变换

得到X(k)和H(k)

H(k)和X(k)相乘得到Yc(k)

再对Yc(k)进行离散傅里叶反变换

得到yc(n)

就是两个序列的循环卷积

这是我们前面学习的

利用DFT计算循环卷积的方法

其中DFT和IDFT

都可以用快速算法来实现

但是对于LTI系统

如果系统的输入是x(n)

单位取样响应是h(n)

那么系统的输出y(n)

应该是h(n)和x(n)的线性卷积

循环卷积可以用快速算法来实现

那么线性卷积是不是也可以呢

下面我们来分析一下

线性卷积和循环卷积之间的关系

如果二者相等

那么也就可以用快速算法

来实现线性卷积了

两个序列的线性卷积和循环卷积的定义

分别是公式(1)和公式(2)

在公式(2)中

双括号L表示的是序列以L为周期

进行周期延拓

可以表示成公式(3)右边的这种形式

把公式(3)代入到公式(2)中

得到下面的这个公式

交换一下求和的次序

我们看这一部分是个什么公式

∑h(m)乘以x(n+rL-m)

把它和线性卷积的定义式比较一下

可以发现这一部分

就是一个线性卷积的公式

只不过它不是yl(n)

而是yl(n+rL)

所以这个式子就可以写成公式(4)

也就得到了yl(n)和yc(n)的关系

那么公式(4)表达的是什么含义呢

就是循环卷积

是线性卷积以L为周期的

周期延拓的主值序列

那么yl(n)进行周期延拓

就有可能会发生混叠

要想不发生混叠的话

就需要延拓周期

大于等于线性卷积的长度

那么这样我们就得到了

线性卷积和循环卷积相等的条件

假设两个序列的长度分别是N和M

那么它们的线性卷积的长度是M+N-1

也就是两个序列长度之和减1

当循环卷积的长度

小于线性卷积的长度的时候

线性卷积进行周期延拓

会产生时域的混叠

所以这个时候

循环卷积和线性卷积是不相等的

当循环卷积的点数

大于等于线性卷积的点数的时候

线性卷积进行周期延拓

不会产生时域混叠

所以这个时候二者是相等的

因此L大于等于M+N-1

就是线性卷积和循环卷积相等的条件

我们还是看一个例子

两个序列它们的值都是1 2 3 4

对两个序列进行线性卷积

在这里我们用列表的方法来计算

计算线性卷积的时候

一个序列是不动的

另外一个序列要翻折 移位

然后分别和

不动的序列对应点相乘相加

就可以得到yl(n)

那么在这个表中

第一行是x(m)

第二行是h(m)

第三行是h(m)翻折得到的序列

然后对这个翻折序列

依次向右移一位

得到的这些序列

分别去和x(m)对应点相乘相加

例如n等于0的时候

就是h(-m)和x(m)

去对应点相乘相加

结果是1

n等于1的时候

是h(1-m)和x(m)对应点相乘相加

得到的结果就是4

其它的点也是这样

我们就得到了线性卷积的结果

那么这两个序列的循环卷积

我们在前面已经学过了计算的方法

这是两个序列4点循环卷积的结果

8点循环卷积的结果

因为两个序列的长度分别是4

所以线性卷积的长度应该是4加4减1

也就是等于7

而4点循环卷积

L等于4

是小于线性卷积的长度的

所以结果和线性卷积是不一样的

而L等于8的时候

因为大于线性卷积的长度

所以yc(n)和yl(n)的值是一样的

那么我们刚才介绍了

循环卷积是线性卷积的周期延拓

再取主值

当L等于4的时候

就是把yl(n)向左移四位

向右移四位

然后对应点去相加

很明显

因为延拓的周期太短了

所以产生了时域混叠

而且7点的序列以4为周期进行延拓

那么前三个点是要混叠的

也就相当于线性卷积的后面的三个点

重叠到了最前面的三个点上

最后再取主值序列

这样就得到了4点的循环卷积

如果是5点的循环卷积

7减5等于2

相当于是把序列的最后面的两个点

叠加到最前面的两个点上

下面我们来看一下

结果的图形的表示

这样更直观一些

在Matlab中有线性卷积的函数

可以直接计算线性卷积

对于循环卷积可以采用矩阵法和DFT法

如果采用矩阵的方法

首先形成循环倒相序列

然后依次循环右移一位

形成一个L乘L的矩阵

另外一个序列形成一个列向量

然后进行矩阵相乘

就可以得到循环卷积了

这是两个序列的线性卷积

以及4点 5点

一直到8点的循环卷积

从这几个图中我们可以看到

当循环卷积的点数

小于线性卷积的点数的时候

二者是不相等的

而当循环卷积的点数

大于等于线性卷积的点数的时候

线性卷积和循环卷积是相等的

这就是循环卷积和线性卷积的关系

由于离散傅里叶变换有快速算法

所以在频域计算的时候速度更快

因此当循环卷积的点数

大于等于线性卷积的点数的时候

就可以用快速算法来计算线性卷积

这也是我们计算线性卷积的

一种常用的方法

对两个序列进行补0

补0到L点

然后分别进行L点的离散傅里叶变换

得到X(k)和H(k)

相乘以后进行L点的IDFT

就得到了两个序列的线性卷积

也是两个序列的循环卷积

注意 一定要满足这个条件的时候

二者才会是相等的

才能够用这个FFT算法来计算线性卷积

利用Matlab来实现这种算法

我们在前面已经介绍了

在这里DFT IDFT都是用快速算法来实现

这节课我们学习了

线性卷积和循环卷积的关系

循环卷积是线性卷积的

周期延拓的主值序列

当循环卷积的点数大于等于

线性卷积的点数的时候

二者是相等的

这时就可以利用快速算法

来进行线性卷积

也就是用快速算法

来计算LTI系统的输出

因此利用DFT计算线性卷积

是DFT的一个重要应用

这节课的内容

我们就学习到这里 再见