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大家好

这节课我们学习

离散傅里叶变换的性质

主要内容包括

DFT的线性性质

循环移位性质

循环卷积定理

复共轭序列的离散傅里叶变换

以及离散傅里叶变换的共轭对称性

首先是线性性质

假设序列x1(n)和x2(n)的长度

分别为N1和N2

并且N是大于等于N1和N2中的大值

如果两个序列的离散傅里叶变换

分别是X1(k)和X2(k)

那么线性性质如公式(1)所示

也就是序列的线性组合的

离散傅里叶变换

是序列离散傅里叶变换的线性组合

其中a b是常数

第二个是循环移位性质

我们先来看一下什么是循环移位

长度为M的有限长序列x(n)

它的循环移位序列是y(n)

和x(n)的关系如公式(2)所示

由公式(2)可以得到

循环移位的步骤

先将x(n)以N为周期进行周期延拓

得到周期序列

注意延拓周期

要大于等于序列的长度M

再进行移位

m大于0是进行左移

小于0是进行右移

最后取主值序列

下面我们看一个例子

已知序列x(n)长度是6

N也等于6

求其循环左移一位的序列

首先画出序列x(n)

然后对x(n)进行周期延拓

得到周期序列

对周期序列左移一位

然后取主值

这样就得到了循环左移一位的序列

这个就是序列循环移位的过程

比较序列x(n)和它的移位序列

可以发现

序列从左边移出主值区间的值

又从右边移进来了

所以叫做循环移位

这是N等于6的情况

如果N大于6呢

这时需要先对序列补0到N长

然后再进行循环移位

如果序列在时域进行了循环移位

那么循环移位序列

和原序列的DFT之间的关系

是由时域循环移位定理来描述的

设长度为M的有限长序列为x(n)

它的循环移位序列是y(n)

如果x(n)的离散傅里叶变换是X(k)

那么

y(n)的离散傅里叶变换Y(k)

和X(k)的关系如公式(3)所示

也就是Y(k)

是X(k)乘以一个复指数序列

同样有频域循环移位定理

如果Y(k)是X(k)的循环移位

y(n)和x(n)的关系如公式(4)所示

也就是y(n)

是x(n)乘以一个复指数序列

这就是循环移位定理

第三个是循环卷积定理

我们首先看时域循环卷积定理

假设有限长序列x1(n)

和x2(n)的N点离散傅里叶变换

分别是X1(k)和X2(k)

如果X1(k)和X2(k)相乘等于X(k)

那么X(k)的N点离散傅里叶反变换x(n)

就是序列x1(n)和x2(n)的循环卷积

如公式(5)所示

循环卷积的符号

是用*加一个圈表示

或者用一个数字加一个圈表示

那我们注意

如果频域是两个离散傅里叶变换相乘

时域是两个序列的循环卷积

在模块二中

我们学习过时域卷积定理

就是两个序列在时域是线性卷积

那么它们的傅里叶变换

是相乘的关系

所以 线性卷积

和循环卷积是有区别的

需要满足一定条件才能相等

我们在后面进行介绍

频域循环卷积定理的内容是

如果序列x(n)是两个序列相乘得到的

那么它的离散傅里叶变换

是两个序列离散傅里叶变换的

循环卷积除以N

也就是公式(6)

第四个

是复共轭序列的离散傅里叶变换

假设有限长序列是x(n)

它的离散傅里叶变换是X(k)

那么x(n)的复共轭序列的

离散傅里叶变换是X(N-k)的共轭

如公式(7)所示

并且由于X(k)具有隐含周期性

所以X(N)是等于X(0)

同样X(N-n)的共轭

它的离散傅里叶变换是X(k)的共轭

第五个是离散傅里叶变换的

共轭对称性

首先看有限长序列的共轭对称定义

有限长共轭对称序列

用xep(n)来表示

有限长共轭反对称序列

用xop(n)来表示

它们的定义分别是

公式(9)和公式(10)

需要注意的是

在这里的对称性

是关于n等于N/2的对称

也就是对称轴是N/2

在模块二中

我们学习过共轭对称序列

这种序列它是关于n等于0对称的

这是二者的区别

任何有限长序列x(n)都可以写成

有限长共轭对称分量

和有限长共轭反对称分量之和的形式

也就是公式(11)

把这个式子当中的x(n)的变量n

换成N-n

再取共轭

就可以得到(12)式

利用(11)式和(12)式

可以得到由x(n)

求xep(n)和xop(n)的公式

我们来看一个例子

已知序列x(n)

其中1+j对应着n等于0这一点

所以在它的下面画了一条小横线

利用(11)式和(12)式

可以计算出xep(n)和xop(n)

我们可以看出

对于有限长共轭对称序列

在n等于0这一点

是没有点和它对称的

在n等于1和n等于N-1这两点

是共轭对称的

n等于2和n等于N-2

这两点是共轭对称的

对于xop(n)

它是共轭反对称的

这个对称性都是关于N/2的对称

有了有限长共轭对称的定义

我们来分析

离散傅里叶变换的共轭对称性

如果将序列分为

实部加j乘以虚部的形式

也就是x(n)等于xr(n)加jxi(n)

x(n)的N点离散傅里叶变换是X(k)

写成有限长共轭对称分量

和有限长共轭反对称分量之和的形式

分别对x(n)的实部和j乘以虚部

进行离散傅里叶变换

得到的就是X(k)的

有限长共轭对称分量

和有限长共轭反对称分量

如果把序列分成

有限长共轭对称分量

和有限长共轭反对称分量的形式

也就是x(n)等于xep(n)加上xop(n)

那么

有限长共轭对称分量

和共轭反对称分量的

离散傅里叶变换

分别是x(n)的离散傅里叶变换

X(k)的实部和j乘以虚部

我们总结一下

如果序列在时域

写成实部加j乘以虚部的形式

那么

实部和j乘以虚部的

离散傅里叶变换

分别是x(n)离散傅里叶变换的

有限长共轭对称部分

和有限长共轭反对称部分

如果序列在时域

分成有限长共轭对称部分

和有限长共轭反对称部分

分别对它们进行离散傅里叶变换

就是x(n)的离散傅里叶变换的

实部和j乘以虚部

如果序列是实序列

长度为N

序列的离散傅里叶变换是X(k)

那么X(k)是共轭对称的

如果序列是实序列

并且关于N/2偶对称

那么它的离散傅里叶变换

也是实偶序列

如果序列是实序列

并且关于N/2奇对称

那么它的离散傅里叶变换

是纯虚的奇对称序列

例如序列x1(n)和x2(n)

它们都是实偶序列

所以对它们进行离散傅里叶变换

得到的结果也应该是实偶对称的

我们看X1(k)

k等于0这一点

没有点和它对称

其余的值是两两偶对称的

X2(k)也是一样的

注意

x3(n)是实序列

但它不是关于N/2的偶对称

所以它的离散傅里叶变换

不应该是实偶对称的

我们看它的结果

是不满足我们刚才说的这个性质的

但是因为它是实序列

所以它的离散傅里叶变换

是共轭对称的

序列x4(n)和x5(n)

都是实奇对称序列

在n等于0这一点

因为没有点和它对称

所以这一点的值必须是等于0的

那么这两个序列的

离散傅里叶变换X4(k)和X5(k)

都是纯虚的奇对称序列

对于x5(n)

因为N等于4

n等于2这一点也没有点和它对称

因此这一点的值也必须是0

也就是说

如果序列对N/2成奇对称

并且N是偶数

那么N/2这点的值是0

同样需要注意的是

x6(n)是实序列

但是它不是关于N/2的奇对称序列

所以它的离散傅里叶变换

也仅仅是共轭对称的

但不是纯虚的奇对称序列

和前面的x4(n) x5(n)的

离散傅里叶变换是有区别的

离散傅里叶变换的共轭对称性质

可以用于减少

实序列离散傅里叶变换的运算量

第一种应用

就是对一个实序列进行

离散傅里叶变换

利用共轭对称性减少运算量

提高运算效率

只需要计算出前半部分的值

后半部分的值

利用实序列离散傅里叶变换

是共轭对称的这个性质

就可以减少近一半的工作量

例如 假设序列x(n)是6点的序列

它的离散傅里叶变换是X(k)

已知X(1)和X(2)

求X(k)的其它几点值

因为k等于0以及N/2的时候

是没有点和它对应的

所以我们要计算

k等于0以及k等于3的时候的值

当k等于0的时候

利用离散傅里叶变换的定义式

可以得到

X(0)是等于序列的所有值之和

也就是28

当k等于3的时候

X(3)等于x(n)乘以-1的n次方求和

也就是序列的值加一项 减一项

就是2减5 加7减4 加3减7

等于-4

那么其余的两点值

就可以利用

实序列的离散傅里叶变换

是共轭对称的这个性质

来进行计算

X(4)等于X(2)的共轭

等于 -5-j5.196

X(5)等于X(1)的共轭

等于 -1+j1.732

所以后一半的值

就可以利用这个公式进行计算

这样后一半的值

是利用对称性得到的

而不用再去进行这种求和运算

第二种应用

就是利用共轭对称性质

通过计算一次N点离散傅里叶变换

得到两个不同实序列的

N点离散傅里叶变换

两个实序列分别进行离散傅里叶变换

是需要两次DFT的

那么如何用一次DFT实现呢

因为两个序列都是实序列

所以可以由它们组成一个复序列x(n)

一个作为实部

另外一个作为虚部

对x(n)进行一次

离散傅里叶变换得到X(k)

根据共轭对称性质

序列实部的离散傅里叶变换X1(k)

它是X(k)的

有限长共轭对称分量Xep(k)

虚部乘以j的离散傅里叶变换是jX2(k)

它的离散傅里叶变换

它是X(k)的

有限长共轭反对称分量Xop(k)

对于这个式子

两边同时除以一个j

就可以得到X2(k)

Xep(k)和Xop(k)都可以由X(k)求出来

这样就利用了一次离散傅里叶变换

计算了两个实序列的DFT

从而减少运算量

这节课我们学习了

离散傅里叶变换的线性性质

序列的循环移位

以及时域和频域循环移位性质

时域 频域循环卷积定理

复共轭序列的离散傅里叶变换

以及DFT的共轭对称性

这节课的内容

我们就学习到这里 再见