2-9 视频在线视频

大家好

我们继续学习

第二知识模块

今天开始学习第九讲

利用系统零极点分布

定性分析系统频率响应特性

也是这一知识模块的最后一讲

在这一讲

我们将了解频率响应函数

系统函数的概念

以及二者的关系

讨论系统函数极点位置

对单位脉冲响应的影响

学会利用系统零极点分布

定性分析

系统频率响应特性

最后

通过例题学习

利用差分方程求解系统函数

及单位脉冲响应的方法

并且学习利用时域卷积定理

求解系统的零状态响应

首先

我们先来了解一下

频率响应函数与系统函数

频率响应函数

指的是单位脉冲响应

h(n)的傅里叶变换

或者称其为传输函数

系统函数指的是h(n)的Z变换

特别要指出的是

如果H(z)的收敛域包括单位圆

那么h(n)在单位圆上的Z变换

就是系统的

频率响应函数或者是传输函数

也就是说

可以通过H(z)

来求解系统的频率响应函数

下面通过这张图

我们来分析一下

系统极点的位置

与单位脉冲响应h(n)波形的关系

这是一个复平面

绿色的这个圆代表单位圆

在图当中

所有的有×的点

表示系统的极点

首先我们来看一下

单位圆内的极点

在单位圆内的极点

所产生的系统的单位脉冲响应

都将是衰减的

在单位圆上

h(n)

将是等幅的

在单位圆外

h(n)

将趋近于无穷大

或者是发散的

这和之前我们所分析的

结果是一样的

下面我们来讨论

利用系统零极点分布

定性的分析系统的

频率响应特性

一般的系统函数

可以表示为

分子分母多项式的形式

进一步将它的分子和分母

进行因式分解

我们就可以将其表示成

公式(4)

其中Cr是系统的零点

dr是系统的极点

A是常数

假如系统是稳定的

那么它的频率响应函数

就是当z等于e^jω的时候的系统函数

特别是

当N等于M时

可以进一步的将其化简

在公式(5)当中我们看到

频率响应函数的分子

是由零点矢量组成

它的分母是由极点矢量组成

并且在公式(5)当中

频率响应函数的幅频特性

可以用公式(6)来表示

在公式(6)当中

它的分子

是由零点矢量的模值相乘

来组成的

它的分母是由极点矢量的

模值相乘来组成的

同样

相频特性

是用公式(7)来描述的

它由两项组成

第一项

是零点矢量的

相位相加

第二项是极点矢量的

相位相加

为了便于大家理解

我们通过图2和图3

来讨论系统的零极点

对系统频率响应函数的影响

在图2当中

有一个零点

和一对共轭极点

其中crB

是零点矢量

drB是极点矢量

我们注意观察到

在这个图当中的零点

是很接近于π的

上面这个极点接近于π/2

下面这个极点接近于3π/2

e^jω是旋转向量

B点将沿着单位圆

进行相应的旋转

那么在B点的移动过程当中

就形成了

H(e^jω)的幅频特性

和它的相频特性

之前我们也讨论过

H(e^jω)具有周期性

它的周期是2π

所以在我们画它的

幅频特性和相频特性的时候

只画了它的一个周期的特性

图3就是针对一个零点

和两个极点的

系统零极点的分布

所画出的幅频特性和相频特性

我们来观察一下它的幅频特性

在幅频特性的图形当中

有两个峰值点

一个谷值点

那么当我们观察它的

峰值的位置的时候

我们发现第一个峰值

几乎位于π/2

第二个峰值几乎位于

3π/2

这说明了什么问题呢

它就说明了

当B点转到极点附近时

极点矢量的长度

是最短的

幅度特性将出现峰值

极点越靠近单位圆

峰值越高越尖锐

但是在实际工程当中

当极点过于靠近单位圆

容易引起系统的不稳定

通过分析它的零极点图

我们也可以发现极点

如果在z等于0处

也就是说在原点处

矢量的长度

始终为1

所以对幅度响应

没有影响

好 下面我们进一步

的来观察一下

零点对幅频特性的影响

我们在图3当中看到

对于π点

出现了一个谷点

那么也就是说

当B点转到零点附近时

零点矢量长度变短

幅度特性将出现谷值

并且零点越靠近单位圆

谷值越接近于0

当零点在单位圆上时

谷值就变为0了

零点可以在单位圆内

也可以在单位圆外

对系统不会造成不稳定的影响

那么同样我们来考虑一下

z等于0的零点

对于系统的频率响应特性

会有影响吗

答案是否定的

因此我们就可以得到这样的结论

极点位置主要影响频率响应的

峰值位置及尖锐程度

零点位置主要影响

频率响应的谷点位置及其形状

在z等于0处的零点和极点

都不影响幅度特性

下面我们来学习一个例题

已知线性因果系统的差分方程

为公式(8)

希望我们求解

(1) 系统函数H(z)

及单位脉冲响应h(n)

写出其频率响应函数

H(e^jω)的表达式

并定性画出其幅频特性曲线

最后

如果系统的输入

x(n)等于e^(jω0n)

求其输出

首先我们来看一下第一个问题

由差分方程

我们可以将其进行Z变换

可以得到公式(9)

通过公式(9)

就可以找到它的系统函数

H(z)等于Y(z)比上X(z)

整理之后

就可以得到公式(10)

那么通过对H(z)的

逆变换

就可以找到系统的

单位脉冲响应h(n)

这是逆变换的结果

h(n)用公式(11)来表示

好 下面我们根据系统函数

和频率响应函数之间的关系

来找到系统的频率响应函数

因为对于这个系统来讲

它只有一个极点

z等于0.9

并且

是在单位圆内

所以H（e^jω)

实际上是当z等于

e^jω的时候的H(z)

所以我们通过

H(z)可以直接得到

系统的频率响应函数

用公式(12)来表示

我们来看一下图4

在图4当中

(a)图

是系统的零极点图

显然在这里面

系统有一个零点

有一个极点

然后我们根据系统的H(e^jω)

画它的幅频特性

就得到了(b)图

从(b)图当中我们可以发现

这个系统随着频率的增高

它的幅频特性是逐渐下降的

所以这个系统

它是一个低通系统

下面我们再来看一下

如果这个系统

它的输入x(n)等于e^(jω0n)

我们来求解一下

系统的零状态响应y(n)

这是之前我们所得到的

系统的单位脉冲响应h(n)

这是我们所得到的系统的

频率响应特性H(e^jω)

求解系统的输出

可以有下面的方法

我们先看一下第一种方法

根据时域的

卷积定理

系统的零状态响应

是系统的单位脉冲响应

和它的输入的卷积积分

所以我们将h(n)和x(n)

进行时域的

线性卷积

就可以得到系统的

零状态响应y(n)

用公式(13)来表示

那么它的第二种方法

也可以通过

系统的频率响应特性H(e^jω)

再乘以系统的输入x(n)的

傅立叶变换X(e^jω)

进行相乘

从而得到系统的

输出的频率响应特性

然后我们再将它进行逆变换

从而同样可以得到系统的输出y(n)

那么我们大家考虑一下

还有没有其他的方法

也可以求出y(n)

实际上

我们也可以通过

H(z)乘以X(z)得到Y(z)

然后再将其进行逆Z变换

同样可以得到y(n)的表达式

今天的学习就到这里

再见