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大家好

我们继续学习第二知识模块

今天学习第五讲

序列的Z变换及其逆变换

主要内容有

序列Z变换的定义

序列特性对收敛域的影响

序列的逆Z变换

常用序列的Z变换

大家都知道

在模拟信号和系统中

用傅里叶变换进行频谱分析

拉普拉斯变换

作为傅里叶变换的推广

对信号进行复频域分析

在时域离散信号和系统中

用序列的傅里叶变换进行频谱分析

Z变换则是其推广

用以对序列进行复频域分析

因此Z变换在数字信号处理中

同样起着重要的作用

首先我们来看一下

序列Z变换的定义

序列的Z变换是用公式(1)来定义的

它的收敛域是一个环状域

在这里Rx-可以小到0

Rx+可以大到无穷大

那么序列的Z变换

它存在的条件是什么呢

序列Z变换存在的条件

就是x(n)z^(-n)要绝对可和

同样我们也有

序列的逆Z变换用公式(2)来表示

它是围线积分的形式

当然公式(1)所给我们的定义

是序列的双边Z变换

我们也可以有单边Z变换

用公式(3)来描述

这里Σ的下标取值是n等于0

好

在这一知识模块里

第一节我们讨论了序列的傅里叶变换

那在这一节当中

我们又学习了序列的Z变换

它们之间的关系是什么呢

我们来比较一下公式(1)

序列的Z变换

我们再看一下公式(4)

序列的傅里叶变换

通过比较

我们就可以看到

当z等于e^(jω)的时候

这里面所说的z等于e^(jω)

是在Z平面上r等于1的圆

我们称其为单位圆

所以单位圆上的Z变换

就是序列的傅里叶变换

当然Z变换的收敛域

一定要包括单位圆

由于序列有不同的种类

那么序列的特性

对于它的收敛域有什么影响呢

首先我们看一下有限长序列

我们的结论是有限长序列

它的收敛域是整个Z平面

现在我们来看一下x(n)

x(n)是一个有限长序列

它的有值范围是n大于等于n1

小于等于n2

那么对于这样的一个有限长序列

如果我们把它代到

序列的Z变换的定义式当中

就可以得到公式(5)

这个时候

它的下标是n1

它的上标是n2

显然公式(5)呢

是一个有限项的求和

所以说它应该是z可以取任意值的

但是我们也注意

0点和无穷大这点

是否能够保证它的收敛

是由n1和n2的取值来决定的

我们来讨论一下n1 n2的取值

比如说第一种情况

左序列n1小于0

n2也是小于等于0的

那么这个时候

我们就说z是可以取值0点的

它是一个左序列

那对于双边序列来讲

n1小于0

n2是大于0的

那这个时候

对于求解x(n)的Z变换

z的取值范围

既不能取0点

也不能取无穷大点

当然对于右边序列

n1是大于等于0的

n2也是大于0的

那这个时候

我们说z的取值

它大于0

小于等于无穷大

它是个右边序列

那么对于z取无穷大来讲呢

仍然保证X(z)是存在的

所以说我们对于有限长序列来讲

这个序列的所在位置

对它的收敛域也是有影响的

好

根据前面的讨论

因果序列是n大于等于0才有值的序列

那对于因果序列来讲

我们之前所讨论的

z的绝对值应该是大于Rx-

它是一个圆外域

但是这个时候是可以包括无穷大的

非因果序列

我们要注意了非因果序列

我们所定义的

非因果序列的第一个取值点是-1点

所以非因果序列的收敛域

是z的绝对值小于Rx+

它是圆内域

并且是可以包括0的

我们再看一下双边序列

那么第一种情况我们讨论的

有限长序列也有双边序列的情况

但是这个时候

我们所讨论的双边序列

我们可以说x(n)

它是一种无限长的

那在这种情况下

显然双边序列的收敛域

它是一个环状域

那么在形成的这样一个环状域当中

一定要有

如果Rx-小于Rx+

它的收敛域才能形成一个

实质有效的环状

z的绝对值大于Rx-

小于Rx+

否则的话

这两个收敛域

它没有公共的区域

那收敛域也就不存在了

所以双边序列有可能会出现

收敛域不存在的情况

有关收敛域的内容

我们做一个简单的总结

一 收敛域当中没有极点

收敛域总是以极点为界的

同一个Z变换函数收敛域不同

对应的序列也是不同的

第三 就是右序列的收敛域

必在某个圆之外

左序列的收敛域必在某个圆之内

下面我们讨论第三个问题

序列的逆Z变换

根据前面我们所给的定义

就是这个公式(2)

序列的逆Z变换

它是一个围线积分

C是X的收敛域当中

一条逆时针的闭合曲线

这是它的逆Z变换的定义公式

那么我们实际在进行求解的时候

如何去求解一个序列的逆Z变换呢

有三种方法

第一种方法

留数法也叫残数法

是围线C内所有的极点留数之和

有关的内容

在高等数学当中学习过

这里就不再详细的解释了

第二种方法

部分分式展开法

要注意

在进行部分分式展开的时候

是针对X(z)/z进行部分分式展开

有关部分分式展开法的

内容可以参考我们课程组

在学堂在线开设的另一门慕课

信号与线性系统

第三种方法是长除法

长除法是根据Z变换的定义

总结出来的一种简单易行的方法

下面通过一个例题

给大家介绍这种方法

如果已知X(z)是z除以z方减2z加1

并且告诉我们

它的收敛域是z的绝对值大于1

从它的收敛域我们可以知道

X(z)所对应的序列

一定是一个右边序列

所以我们在用这种长除法的时候

它的商一定是按照降幂排列的

好 我们来看一下

长除法的这个公式

它的分子是z

分母是z的平方减2z再加1

为了消除它的这个最高项

或者是呢

我们逐渐的向降幂的方向排列

所以

第一个商要商z^(-1)

然后这个z^(-1)

和它的分母项进行相乘

z^(-1)乘以z的平方就变成了z

依此类推

这一项变成减2

而这一项变成加z^(-1)

然后用两个式子进行相减

我们就得到了2减去Z^(-1)

然后我们继续降幂

所以说下一项

就该商

2倍的z的负二次方

还是用这个

二倍的z负二次方

和z方减2z加1进行相乘

我们就得到了2减去4倍的z^(-1)

加上2倍的z^(-2)

然后相减之后呢

又得到了下面这一项

依此类推

我们逐渐的进行降幂

最终我们就可以求出来x(n)

它是等于0 1 2 3 4

当然我们还可以继续向下求

那在这里面

大家一定要知道

对于序列来讲

我们一定要知道呢

它n等于0的点是在哪

那对于我们现在所给的

这样的一个序列

由于它没有常数项

所以n等于0所对应的点的值一定是0的

好了

这就是我们所给的长除法的基本方法

那这里边我们大家做一个思考

现在所给我们的X(z)

我们说z的绝对值是大于1的

如果我们说z的绝对值是小于1

它所对应的x(n)

将变成一个非因果序列

我们在进行长除的时候

是需要用升幂的方式进行长除的

用这种长除法

同样可以找到x(n)的具体取值

下面我们来看一下

常见序列的Z变换

首先是δ(n)的Z变换

δ(n)的Z变换是1

它的收敛域是整个Z平面

通过Z变换的定义

很容易能得到这样的一个结果

还有单位阶跃序列u(n)

它的收敛域是z的绝对值大于1

指数序列a的n次方

当然在这里面

我们给大家的是因果序列

矩形脉冲序列RN

非因果序列负的a^nu(-n-1)

它的收敛域我们也看到了

这是z的绝对值小于a

同样还有

n倍的a^nu(n)

那这样一个序列

实际上在序列的Z变换的性质里面

也可以用序列左乘n

来求出它相应的结果

还有复指数序列e^(jω0n)

在求的时候

复指数序列

我们可以把e^(jω0)等同于a来处理

同样根据欧拉公式

我们也可以求出sin(ω0n) cos(ω0n)

它所对应的相应的Z变换

下面对这节的内容

做一个简单的小结

在这节课当中

首先我们介绍了

序列的Z变换的定义

同时我们对序列的Z变换

还有序列的傅里叶变换

做了相应的比较

也就是说

单位圆上的Z变换

就是序列的傅里叶变换

根据序列的特性

对于Z变换的收敛域

我们也做了相应的讨论

有限长序列

因果序列

非因果序列

双边序列

根据它们各自的特性

分别有着Z平面

圆外域

圆内域

还有 环状域

同时对于序列的逆Z变换

我们也做了相应的分析

因为有些内容在高等数学

或者在信号与线性系统的课程当中

大家已经学习过了

所以我们对序列的逆Z变换

做了简单的介绍

只是通过长除法给出了大家

一个求逆Z变换的例子

最后

我们对于常用序列的Z变换

做了一个简单的说明

今天的学习就到这里

再见