当前课程知识点：数字信号处理 > 二 时域离散信号和系统的频域分析 > 2-7 利用Z变换求解差分方程 > 2-7 视频
大家好
我们继续学习第二知识模块
今天学习第七讲
利用Z变换求解差分方程
差分方程可以用经典法求解
也就是在时域通过求解
齐次解 特解
从而得到完全解
当然也可以利用Z变换
来求解差分方程
特别是利用Z变换的移位性质
可以直接得到
离散系统的零输入响应
零状态响应
以及完全响应
在实际的工程当中
一般的N阶线性常系数的差分方程
可以用公式(1)来描述
但是在数字信号处理当中
我们一般只研究系统的稳态响应
也就是系统
在加入激励信号之前处于零状态
系统的任何部分都没有预先赋予初值
这样就无需考虑它的初始状态
这是大多数系统的实际工作情况
但是如果系统有初始状态
那在这种情况下
我们就必须要考虑
由它的非零初始状态
对系统造成的响应
下面我们来看一下
如何利用Z变换
来求解系统的零状态响应
假如公式(1)是系统的差分方程
利用Z变换的方法
我们要先将公式(1)进行Z变换
这是它左侧的Z变换
这是它右侧的Z变换
由于我们假定的系统是在
零状态的情况下
所以移位特性就没有产生项数的增加
将公式(2)进行整理
我们就得到了相应的公式(3)
那在这里面我们看到
由于系统是在零状态的情况下
所以我们所得到的这个Y(z）
实际上的它应该是Yzs
也就是说
我们这里边的得到的应该是
系统的零状态响应
那么结合我们在前面所给大家讲的
时域的卷积和定理
显然我们打了方框的这一部分
它所代表的应该是系统函数H(z)
当对公式(3)取逆变换的时候
我们就得到了
系统的时域零状态响应Yzs(n)
我们下面再来看一下
如何利用Z变来求解零输入响应
以及它的完全响应
假如系统的差分方程
还是用公式(1)来表示
假设系统的输入是因果序列
并且我们已知系统的初始状态
y(-1) y(-2)
然后这里边我们来看一下
当我们求解移位序列的
单边Z变换的时候
一定要考虑它的y(-1) y(-2)
那么由于考虑了y(-1)和y(-2)
所以对于公式(1)所求解的Z变换
就多了这样的一项 第二项
完全是由系统的初始状态
所引出来的这样的相关项
这是原来的
在系统的状态为0的时候
它是第一项
我们就重新得到了公式(5)
我们再来分析一下公式(5)
公式(5)由两项组成
其中第一项
零状态解
这是系统在零状态的情况下
由外加输入所产生的响应
我们看一下它的第二项
这是零输入解
这一项和系统的输入无关
只和系统的初始状态有关
好了
那么Y由两项组成
其中的一项是零状态解
另外一项是零输入解
所以整个合起来
我们所看到的就是系统的完全响应
因此通过Z变换
我们可以代初始状态的Z变换
直接就可以得到
系统的零状态解 零输入解
那当然 这两项的合成
就是系统的完全响应
下面我们通过一个例题
把我们所给的
利用Z变换求解差分方程的方法
做一下巩固
假如一个LTI的离散系统
它的差分方程是y(n)减
y(n-1)减2y(n-2)等于f(n)
这里的f(n)是系统的输入
并且我们已知系统的初始状态
是y(-1)等于-1
y(-2)等于1/4
并且所外加的输入
是一个单位阶跃系列
好
下面我们来看一下
用Z变换的方法来求解
系统的零输入响应
零状态响应
以及完全响应
首先
我们对系统的差分方程进行Z变换
然后我们得到了公式(7)
在这里
大家一定要注意了
由于系统的初始状态不是0
所以我们要将y(-1)和y(-2)
代到这样的一个系统当中
我们将公式(7)进行整理
就可以得到公式(8)
那在这个公式(8)当中
其中第二个式子
我们看到了
和系统的输入信号有关
而它的第一项和系统的初态有关
所以这两项分别代表了系统的
零输入响应和零状态响应
将所给定的系统的初始状态
还有系统的输入变成相应的Z变换
由于我们所给的系统的输入是u(n)
所以它的Z变换是z/z-1
都代到公式(8)里面
整理后
我们就可以得到了
对于所给定的系统来讲
它的零输入响应
它的零状态响应的表达式
然后我们对它进行相应的逆Z变换
就分别的可以得到
系统的时域的零输入响应
还有它的零状态响应
所以说
利用Z变换求解差分方程
最关键的步骤
是要对差分方程取Z变换
特别是要考虑到
在利用移位特性的时候
系统是处于零状态的
还是处于非零状态的
当然利用Z变换求解差分方程的方法
我们也可以通过MATLAB软件进行求解
下面我们大家看到的这两个图形
就是我们通过MATLAB软件
仿真得到的结果
其中这个范例1
它的输入是单位脉冲序列
而初始条件是分别在
不同的初始条件下
我们得到的系统的响应
图2也就是这个范例2
所输入的是单位阶跃序列
然后它的初始条件
也是在不同的情况下
我们得到的系统的相应的响应
有关通过MATLAB软件
进行系统的差分方程的求解
可以通过实践的练习
我们把这部分的内容呢
能够掌握
今天的学习就到这里
再见
-课程简介
-1-0 内容简介
--1-0 视频
-1-1 时域离散信号的表示与运算
--1-1 视频
-1-2 LTI时域离散系统
--1-2 视频
-1-3 系统初始状态对输出的影响
--1-3视频
-1-4 模拟信号数字处理方法
--1-4 视频
-第一模块测试题
--第一模块测试-作业
-2-0 内容简介
--2-0 视频
-2-1 序列的傅里叶变换
--2-1视频
-2-2 序列傅里叶变换的性质
--2-2 视频-1
--2-2 视频-2
-2-3 周期序列离散傅里叶级数与傅里叶变换的表示
--2-3 视频
-2-4 时域离散信号FT与模拟信号FT之间的关系
--2-4视频
-2-5 序列的Z变换及其逆变换
--2-5视频
-2-6 序列Z变换的性质
--2-6 视频
-2-7 利用Z变换求解差分方程
--2-7 视频
-2-8 利用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性
--2-8 视频
-2-9 利用Z变换定性分析系统特性
--2-9 视频
-第二模块测试题
--第二模块测试题-作业
-3-0 内容简介
--3-0 视频
-3-1 序列的离散傅里叶变换
--3-1 视频
-3-2 DFT与Z变换、傅里叶变换的关系
--3-2视频
-3-3 离散傅里叶变换的隐含周期性
--3-3 视频
-3-4 离散傅里叶变换的性质
--3-4 视频
-3-5 循环卷积计算
--3-5 视频
-3-6 频率域采样
--3-6 视频
-3-7 利用DFT计算线性卷积
--3-7 视频
-3-8 利用DFT对信号进行谱分析
--3-8 视频
-第三模块测试题
--第三模块测试-作业
-4-0 内容简介
--4-0 视频
-4-1 采用快速傅里叶变换的原因
--4-1 视频
-4-2 减少DFT运算量的途径
--4-2 视频
-4-3 时域抽取法基2FFT
--4-3视频
-4-4 频域抽取法基2FFT
--4-4 视频
-4-5 基2FFT算法运算量及运算规律
--4-5视频
-4-6 进一步减少运算量的措施
--4-6 视频
-第四模块测试题
--第四模块测试-作业
-5-0 内容简介
--5.0视频
-5-1 数字滤波器介绍
--5.1视频
-5-2 滤波器技术指标
--5.2视频
-5-3 巴特沃斯模拟低通滤波器
--5.3视频
-5-4 切比雪夫模拟低通滤波器
--5.4视频
-5-5 脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器
--5.5视频
-5-6 双线性变换法设计IIR数字低通滤波器
--5.6视频
-5-7 数字各型滤波器的设计
--5.7视频
-5-8 由信号流图求网络系统函数
--5.8视频
-5-9 IIR系统基本网络结构
--5.9视频
-5-10 IIR数字滤波器的工程应用
--5.10视频
-5-11 IIR数字滤波器的量化误差
--5.11视频
-第五模块测试题
--第五模块测试-作业
-6-0 引言
--6-0 视频
-6-1 线性相位FIR滤波器的条件与特点
--6-1 视频
-6-2 线性相位FIR滤波器的零点分布
--6-2 视频
-6-3 FIR数字滤波器的基本实现结构
--6-3 视频
-6-4 FIR数字滤波器的频率采样结构
--6-4 视频
-6-5 格型网络结构
--6-5视频
-6-6 窗函数法设计线性相位FIR滤波器的原理
--6-6 视频
-6-7 典型窗函数及其特性
--6-7 视频
-6-8 窗函数法设计线性相位FIR数字滤波器步骤
--6-8 视频
-6-9 频率采样法设计线性相位FIR滤波器
--6-9 视频
-6-10 频率采样法的逼近误差及其改进措施
--6-10 视频
-6-11 等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器
--6-11 视频
-6-12 FIR数字滤波器的工程应用
--6-12 视频
-6-13 FIR滤波器和IIR滤波器比较
--6-13 视频
-第六模块测试题
--第六模块测试-作业
-实验一
--实验一 视频
--实验一指导书
-实验二
--实验二 视频
--实验二指导书
-实验三
--实验三指导书
--实验三视频
-实验四
--实验四指导
-模拟信号数字处理 学案
-DFT应用 学案
--DFT应用 学案
-课程拓展讨论
--模块一 讨论1
--模块一 讨论2
--模块二讨论1
--模块二讨论2
--模块三讨论1
--模块三讨论2
--模块四讨论1
--模块四讨论2
--模块五讨论1
--模块五讨论2
--模块五讨论3
--模块五讨论4
--模块六讨论1
--模块六讨论2
--模块六讨论3
--模块六讨论4
--模块六讨论5
-微课
--DFT
--梳状滤波器
-课后拓展内容
--采样与混叠实例
--离散时间调制
--FFT应用
--反馈实例
--吉布斯效应
