速度势函数在线视频

这一讲我们学习速度势函数

包括速度势函数存在的前提

速度势函数与速度的关系

和速度势函数的性质三个方面的内容

首先我们来看一下势函数存在的前提

我们知道在无旋流动中

任一流体微团的角速度矢量ω都为零

在直角坐标系中

x方向角速度

ωx=1/2*(∂vz/∂y-∂vy/∂z)

y方向角速度

ωy=1/2*(∂vx/∂z-∂vz/∂x)

z方向角速度

ωz=1/2*(∂vy/∂x-∂vx/∂y)

对于无旋流动角速度各分量为零

我们可以得到如下关系式

即∂vz/∂y=∂vy/∂z

∂vx/∂z=∂vz/∂x

∂vy/∂x=∂vx/∂y

由数学知识可知

这几个速度微分关系式的成立正是

vxdx+vydy+vzdz成为某一函数

Ф(x,y,z,t)全微分的充要条件

即dФ=vxdx+vydy+vzdz

其中x，y，z为坐标位置

t为时间

所以势函数存在的前提是流动无旋

当时间t为参变量时

势函数Ф(x,y,z,t)

他的全微分为

dФ=(∂Ф/∂x)dx+(∂Ф/∂y)dy+(∂Ф/∂z)dz

那么与dФ这个表达式相比

就可得势函数与速度之间的关系如下

vx=∂Ф/∂x

vy=∂Ф/∂y

vz=∂Ф/∂z

这个非常好记

其中Ф就是我们定义的速度势函数

从速度势函数的定义可以看出

一个速度势函数是对应三个速度分量

也就是说求出一个速度势函数

就可以求解出整个速度场

所以引入速度势函数往往可以简化流场的求解

速度势函数还具有一些很好的性质

性质一

势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影

即∂Ф/∂s=vs

其中s为空间曲线上某一点M的切线方向

如图所示

根据多元复合函数求导法则

我们知道

∂Ф/∂s=(∂Ф/∂x)(dx/ds)+

(∂Ф/∂y)(dy/ds)+(∂Ф/∂z)(dz/ds)

根据势函数与速度之间的关系

vx=∂Ф/∂x

vy=∂Ф/∂y

vz=∂Ф/∂z

带入这个表达式，我们可以得到

∂Ф/∂s=vx(dx/ds)+

vy(dy/ds)+vz(dz/ds)

根据如图所示的几何关系

我们就可以得到∂Ф/∂s是这样的一个表达式

这个表达式实际上就等于vs

表明速度势函数沿任意方向的偏导数

等于该方向上的速度分量

这一性质实际上是

势函数与速度关系

从三个坐标方向拓展到任意方向

即势函数沿任意方向的方向导数等于

这个方向的速度分量

势函数性质二

存在势函数的流动一定是无旋流动

设某一流动存在势函数

我们根据势函数和速度之间的关系

用势函数来表示流动的角速度

我们以x方向的角速度为例

ωx=1/2*(∂vz/∂y-∂vy/∂z)

等于后面这个表达式

后面这个表达式呢

就是把势函数和速度之间的关系带入

这样我们很容易得到

ωx=0

同理我们可以得到

ωy和ωz也等于0

也就是说流动无旋

我们知道无旋流动是势函数存在的前提

同时存在势函数的流动一定是无旋流动

所以势函数存在与流动无旋互为充要条件

无旋即有势

有势即无旋

势函数性质三

等势面与流线正交

如图所示

这是流场空间中的任意一个面

在这个面上所有位置处的势函数相等

也就是说这是一个等势面

过等势面上任一点A

并在该面上任取一个过A点的微元矢量

dL=dxi+dyj+dzk

ijk是三个方向的单位坐标向量

我们求他与A点速度矢量

v=vxi+vyj+vzk的标量积

也就是v点dL

根据标量积的定义

我们知道

他等于vxdx+vydy+vzdz

带入速度势函数和速度之间的关系

我们可以得到

他就等于速度势函数的全微分

也就等于dФ

因为dФ是沿dL的势函数的增量

又由于dL在等势面上

故dФ=0

所以v点dL等于0

说明等势面上A点处的速度矢量与

等势面上经过该点的任意方向的矢量垂直

由于速度矢量与流线是平行的

所以等势面与流线正交

势函数性质四

对于不可压缩流体

势函数是调和函数

对于不可压缩流体他的流动满足连续性方程

也就是

vx/∂x+vy/∂y+vz/∂z=0

我们代入势函数和速度之间的关系就可得到

势函数满足这样一个拉普拉斯方程

这个方程说明

任何不可压缩流体无旋流动的势函数

必满足拉普拉斯（Laplace）方程

满足拉普拉斯方程的函数为调和函数

他的解是具有可叠加性的

这是后面势流叠加原理的基础

好，我们来看这样一个例子

有一个速度大小为V（定值）

沿x轴方向的均匀流动

求其速度势函数

那么对于这样一个问题来说

实际上就是已知速度场

求势函数

这个已知的速度场

他只有x方向的速度

也就是vx=V

y方向和z方向的速度等于0

那么他的速度势函数是什么呢

注意

我们不能直接来求

我们应该首先判断这样的一个流动

他是否存在速度势函数

那怎么来判断呢

那就要看他是否无旋

也就是要看看他的角速度是否为0

所以呢

我们来看

x方向的角速度

ωx=1/2*(∂vz/∂y-∂vy/∂z)

那么代入的已知的速度

vy和vz都等于0

所以显然它是等于0的

那么y方向的角速度

ωy=1/2*(∂vx/∂z-∂vz/∂x)

那么vx是一个定值

vz是等于0的

显然这个也是等于0的

z方向的角速度

ωz=1/2*(∂vy/∂x-∂vx/∂y)

代入已知流场vy是等于0的

vx是一个定值

所以显然ωz他也是等于0的

所以这个流动

怎么样

他是无旋的

那么流动无旋

因此他是存在势函数Ф

那么下面

我们就可以利用势函数

和速度之间的关系来求势函数

那么我们知道

vx=∂Ф/∂x=V

vy=∂Ф/∂y=0

vz=∂Ф/∂z=0

那么根据第一个表达式

我们对他进行一个积分

就可以得到

Ф=V*x+f(y，z)

这个f(y，z)实际上就是一个积分常数

这个积分常数

我们可以把他带入后边的两个表达式

来进行求解

带入第一个表达式以后

我们知道

这个f(y，z)实际上他就等于f(z)

因为他和f(y)没有关系

然后再带到这个表达式里面

我们最终就可以得到

f(y，z)实际上他就等于C

这个C呢

就是一个常数

所以

我们的势函数

Ф=V*x+C

我们知道势函数和速度之间是求导的关系

所以这个常数对速度场是没有影响的

因此他可以忽略

所以最后呢

我们求得势函数Ф就等于V*x

这个就是这样的一个例子

这是一个非常典型的例子

也就是说

已知流场去求速度势函数

那么我们首先应该判断

已知的流场是否存在势函数

存在的前提下

再去求 如果不存在

那么根本就不需要去求

所以呢

这个要注意

总结一下本节要掌握的知识点

一是势函数存在的前提

流动无旋

即流体的角速度矢量为零

二是势函数与速度的关系

x方向速度vx=∂Ф/∂x

y方向的速度vy=∂Ф/∂y

z方向速度vz=∂Ф/∂z

三是势函数性质

势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影

存在势函数的流动一定是无旋流动

等势面与流线正交

对于不可压缩流体

势函数是调和函数

满足拉普拉斯方程

以上就是本节内容

下一节我们学习平面流动的流函数