当前课程知识点:流体力学 > 第1单元 理想流体动力学 > 1.2 速度势函数 > 速度势函数
这一讲我们学习速度势函数
包括速度势函数存在的前提
速度势函数与速度的关系
和速度势函数的性质三个方面的内容
首先我们来看一下势函数存在的前提
我们知道在无旋流动中
任一流体微团的角速度矢量ω都为零
在直角坐标系中
x方向角速度
ωx=1/2*(∂vz/∂y-∂vy/∂z)
y方向角速度
ωy=1/2*(∂vx/∂z-∂vz/∂x)
z方向角速度
ωz=1/2*(∂vy/∂x-∂vx/∂y)
对于无旋流动角速度各分量为零
我们可以得到如下关系式
即∂vz/∂y=∂vy/∂z
∂vx/∂z=∂vz/∂x
∂vy/∂x=∂vx/∂y
由数学知识可知
这几个速度微分关系式的成立正是
vxdx+vydy+vzdz成为某一函数
Ф(x,y,z,t)全微分的充要条件
即dФ=vxdx+vydy+vzdz
其中x,y,z为坐标位置
t为时间
所以势函数存在的前提是流动无旋
当时间t为参变量时
势函数Ф(x,y,z,t)
他的全微分为
dФ=(∂Ф/∂x)dx+(∂Ф/∂y)dy+(∂Ф/∂z)dz
那么与dФ这个表达式相比
就可得势函数与速度之间的关系如下
vx=∂Ф/∂x
vy=∂Ф/∂y
vz=∂Ф/∂z
这个非常好记
其中Ф就是我们定义的速度势函数
从速度势函数的定义可以看出
一个速度势函数是对应三个速度分量
也就是说求出一个速度势函数
就可以求解出整个速度场
所以引入速度势函数往往可以简化流场的求解
速度势函数还具有一些很好的性质
性质一
势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影
即∂Ф/∂s=vs
其中s为空间曲线上某一点M的切线方向
如图所示
根据多元复合函数求导法则
我们知道
∂Ф/∂s=(∂Ф/∂x)(dx/ds)+
(∂Ф/∂y)(dy/ds)+(∂Ф/∂z)(dz/ds)
根据势函数与速度之间的关系
vx=∂Ф/∂x
vy=∂Ф/∂y
vz=∂Ф/∂z
带入这个表达式,我们可以得到
∂Ф/∂s=vx(dx/ds)+
vy(dy/ds)+vz(dz/ds)
根据如图所示的几何关系
我们就可以得到∂Ф/∂s是这样的一个表达式
这个表达式实际上就等于vs
表明速度势函数沿任意方向的偏导数
等于该方向上的速度分量
这一性质实际上是
势函数与速度关系
从三个坐标方向拓展到任意方向
即势函数沿任意方向的方向导数等于
这个方向的速度分量
势函数性质二
存在势函数的流动一定是无旋流动
设某一流动存在势函数
我们根据势函数和速度之间的关系
用势函数来表示流动的角速度
我们以x方向的角速度为例
ωx=1/2*(∂vz/∂y-∂vy/∂z)
等于后面这个表达式
后面这个表达式呢
就是把势函数和速度之间的关系带入
这样我们很容易得到
ωx=0
同理我们可以得到
ωy和ωz也等于0
也就是说流动无旋
我们知道无旋流动是势函数存在的前提
同时存在势函数的流动一定是无旋流动
所以势函数存在与流动无旋互为充要条件
无旋即有势
有势即无旋
势函数性质三
等势面与流线正交
如图所示
这是流场空间中的任意一个面
在这个面上所有位置处的势函数相等
也就是说这是一个等势面
过等势面上任一点A
并在该面上任取一个过A点的微元矢量
dL=dxi+dyj+dzk
ijk是三个方向的单位坐标向量
我们求他与A点速度矢量
v=vxi+vyj+vzk的标量积
也就是v点dL
根据标量积的定义
我们知道
他等于vxdx+vydy+vzdz
带入速度势函数和速度之间的关系
我们可以得到
他就等于速度势函数的全微分
也就等于dФ
因为dФ是沿dL的势函数的增量
又由于dL在等势面上
故dФ=0
所以v点dL等于0
说明等势面上A点处的速度矢量与
等势面上经过该点的任意方向的矢量垂直
由于速度矢量与流线是平行的
所以等势面与流线正交
势函数性质四
对于不可压缩流体
势函数是调和函数
对于不可压缩流体他的流动满足连续性方程
也就是
vx/∂x+vy/∂y+vz/∂z=0
我们代入势函数和速度之间的关系就可得到
势函数满足这样一个拉普拉斯方程
这个方程说明
任何不可压缩流体无旋流动的势函数
必满足拉普拉斯(Laplace)方程
满足拉普拉斯方程的函数为调和函数
他的解是具有可叠加性的
这是后面势流叠加原理的基础
好,我们来看这样一个例子
有一个速度大小为V(定值)
沿x轴方向的均匀流动
求其速度势函数
那么对于这样一个问题来说
实际上就是已知速度场
求势函数
这个已知的速度场
他只有x方向的速度
也就是vx=V
y方向和z方向的速度等于0
那么他的速度势函数是什么呢
注意
我们不能直接来求
我们应该首先判断这样的一个流动
他是否存在速度势函数
那怎么来判断呢
那就要看他是否无旋
也就是要看看他的角速度是否为0
所以呢
我们来看
x方向的角速度
ωx=1/2*(∂vz/∂y-∂vy/∂z)
那么代入的已知的速度
vy和vz都等于0
所以显然它是等于0的
那么y方向的角速度
ωy=1/2*(∂vx/∂z-∂vz/∂x)
那么vx是一个定值
vz是等于0的
显然这个也是等于0的
z方向的角速度
ωz=1/2*(∂vy/∂x-∂vx/∂y)
代入已知流场vy是等于0的
vx是一个定值
所以显然ωz他也是等于0的
所以这个流动
怎么样
他是无旋的
那么流动无旋
因此他是存在势函数Ф
那么下面
我们就可以利用势函数
和速度之间的关系来求势函数
那么我们知道
vx=∂Ф/∂x=V
vy=∂Ф/∂y=0
vz=∂Ф/∂z=0
那么根据第一个表达式
我们对他进行一个积分
就可以得到
Ф=V*x+f(y,z)
这个f(y,z)实际上就是一个积分常数
这个积分常数
我们可以把他带入后边的两个表达式
来进行求解
带入第一个表达式以后
我们知道
这个f(y,z)实际上他就等于f(z)
因为他和f(y)没有关系
然后再带到这个表达式里面
我们最终就可以得到
f(y,z)实际上他就等于C
这个C呢
就是一个常数
所以
我们的势函数
Ф=V*x+C
我们知道势函数和速度之间是求导的关系
所以这个常数对速度场是没有影响的
因此他可以忽略
所以最后呢
我们求得势函数Ф就等于V*x
这个就是这样的一个例子
这是一个非常典型的例子
也就是说
已知流场去求速度势函数
那么我们首先应该判断
已知的流场是否存在势函数
存在的前提下
再去求 如果不存在
那么根本就不需要去求
所以呢
这个要注意
总结一下本节要掌握的知识点
一是势函数存在的前提
流动无旋
即流体的角速度矢量为零
二是势函数与速度的关系
x方向速度vx=∂Ф/∂x
y方向的速度vy=∂Ф/∂y
z方向速度vz=∂Ф/∂z
三是势函数性质
势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影
存在势函数的流动一定是无旋流动
等势面与流线正交
对于不可压缩流体
势函数是调和函数
满足拉普拉斯方程
以上就是本节内容
下一节我们学习平面流动的流函数
-1.1 课程导论
--流体力学发展历程
-1.2 速度势函数
--速度势函数
-1.3 平面流动的流函数
--平面流动的流函数
-1.4 势函数与流函数的关系
-1.5 复势与复速度
--复势与复速度
-1.6 几种基本的平面势流
-1.7 势流的叠加
--势流的叠加
-1.8 圆柱无环量绕流
--圆柱无环量绕流
-1.9 圆柱有环量绕流
--圆柱有环量绕流
-1.10 描述旋涡运动的基本概念
--旋涡和涡量
-1.11 旋涡运动的Stokes定理
-1.12 Thomson定理、Helmholtz定理
-1.13 旋涡诱导速度
--旋涡诱导速度
-第1单元习题
-2.1 应力形式的动量方程
-2.2 Navier-Stokes方程
-2.3 库埃特流动精确解
--库埃特流动精确解
--边界条件问题
-2.4 简单流动的精确解
--简单流动的精确解
-2.5 边界层概念及其流动特点
--边界层的意义
-2.6 边界层方程组及其边界条件
-2.7 平板层流边界层的相似解
-2.8 边界层动量积分关系式
-2.9 平板湍流边界层和混合边界层的近似解
-2.10 边界层分离及减阻
--边界层分离及减阻
-2.11 湍流概述
--湍流概述
--层流与湍流
-第2单元习题
-3.1 机翼与翼型概述
--机翼与翼型概述
-3.2 叶栅概述
--叶栅概述
-3.3 保角变换法
--保角变换法
-3.4 儒可夫斯基变换
--儒可夫斯基变换
-3.5 儒可夫斯基翼型绕流
-3.6 保角变换法求解平面叶栅流动
-3.7 奇点分布法
--奇点分布法
-3.8 奇点分布法求解有限翼展绕流
-3.9 奇点分布法求解平面叶栅流动
-3.10 问题回答
--问题回答