势流的叠加在线视频

这一讲我们学习势流的叠加

主要包括

势流叠加原理 点汇和点涡的叠加以及点源和点汇的叠加

首先我们来看势流叠加原理

设有两个平面无旋流动的势流

其速度势分别为Ф1 Ф2

它们线性叠加后的新的速度势为Ф=Ф1+Ф2

由于速度势Ф1 Ф2均满足拉普拉斯方程

而拉普拉斯方程又是线性的

所以叠加后的速度势函数Ф仍然满足拉普拉斯方程

即 Φ的拉普拉斯算等于 Ф1 和Ф2 的拉普拉斯算子之和等于0

同样若存在流函数

则叠加后的流函数ψ仍满足拉普拉斯方程

即 ψ的拉普拉斯算子等于 ψ1和ψ2 的拉普拉斯算子之和等于0

可见两个平面势流叠加后的流动仍为平面势流

根据势函数和速度的关系

叠加后的流场速度vx = ?Φ/?x = (?Φ1)/?x + (?Φ2)/?x =vx1 +vx2

vy = ?Φ/?y = (?Φ1)/?y + (?Φ2)/?y =vy1+vy2

所以叠加后的速度矢量v=v1+v2

也就是说叠加后的流场流速是叠加前流场流速的矢量和

由于势函数和流函数是调和函数的性质

叠加两个或更多的势流时

叠加后的流动仍然是势流

叠加流动的势函数和流函数为分流动势函数和流函数的代数和

叠加流动的速度为分流动流速的矢量和

根据复势的定义

叠加流动的复势为分流动复势的代数和

这就是势流叠加原理

设流场中存在几个势流

它们的复势分别为W1 W2 W3

根据势流叠加原理

叠加流动的复势为W=W1+W2+W3+…

根据复速度的定义

叠加流动的复速度为

V= dW/dz = (dW1)/dz + (dW2)/dz + (dW3)/dz +?=V1 +V2 +V3 +?

势流叠加原理的意义是可以将复杂的势流分解为简单势流的叠加

从而方便的求解复杂的势流流动问题

我们来看看势流叠加原理的应用实例

首先来看基本势流点汇和点涡叠加的流动

根据势流叠加原理

位于坐标原点的点源和点涡叠加后的流动的复势

为点汇复势和点涡复势的代数和

即W(z)=W点汇 +W点涡

分别代入点汇的复势和点涡的复势

就可以得到叠加后流动的复势

同样叠加后流动的势函数 流函数

分别为点汇和点涡势函数 流函数的代数和

即Φ=Φ1+Φ2 ψ=ψ1+ψ2

分别带入点汇和点涡的势函数 流函数

就可以得到叠加后流动的势函数和流函数

我们令势函数等于常数可得叠加后流动的等势线方程

r=C1e^(Γθ /q )

其中C1为常数 Γ为点涡强度 q为点汇强度

画出来是一条螺旋线

如图虚线所示 令流函数等于常数可得等流函数线

即流线方程r= C2 e ^(-qθ /Γ )

其中C2为常数 画出来也是螺旋线

如图实线所示 等势线与流线正交

该叠加后的流动称为螺旋流

如图所示

我们再来看看基本势流点源和点汇叠加的流动

如图所示

在点A(-a,0)处有一强度为q的点源

在点B(a,0)处有一强度为q的点汇

a为常数AB的距离为2倍的a

根据势流叠加原理

叠加后的流动的复势

W(z)= 点源的复势加上点汇的复势

根据点源和点汇的定义

如果源和汇无限接近

即它们之间的距离2a 趋于0

若强度q不变

则点汇将点源中流出的流体全部吸掉而不产生任何流动

我们考虑另一种情况

如果在源和汇距离2a逐渐缩小的时候

它们的强度q 逐渐增大

当2a减小到零时 q 增大到无穷大

并且满足2a q的极限等于M

M是有限值 定义为偶极矩

它是向量方向是从点源指向点汇

这种流动就称为偶极子流

如图所示 其流线和等势线均为圆周线

下面我们来求偶极子流动的复势

即在满足2a q极限等于M 条件下

点源和点汇的叠加

所以我们把点源和点汇叠加的复势W取极限

带入这个极限的条件

我们就可以得到 W= M /2πz

代入z=re^(iθ)我们就可以得到W的表达式

把它的实部和虚部分开

我们就可以得到偶极子流的势函数Φ= M /2πr乘以cosθ

流函数ψ=- (M /2πr)sinθ

令势函数和流函数等于常数

可得偶极子流的等势线方程和等流函数线方程

即流线方程

可见等势线是圆心在x轴上的一系列圆

流线是圆心在y轴上的一系列与等势线正交的圆

如图所示

好我们来看这个例子

这个例子已知某流动的复势W(z)

,然后呢让我们来求该流动由哪几种基本流动组成

并且去求流动的流函数和势函数

好

我们来看一下

这个流动的复势是已知的

它等于ln (z /z-2.5)

那么

我们可以把它写成lnz-ln (z-2.5),那么我们令W1(z)=lnz

把它写成(q1/2π) lnz 的形式

那么根据我们所学的点源的复势

我们知道

这个复势呢

它就是一个强度q1 =2π

并且源点就在(0,0)点的点源

同理

我们令W2 (z)=-ln (z-2.5),那么我们写成- (q2 /2π) ln (z-2.5)

那么根据我们所学的点汇的复势形式

我们知道这是一个强度q2 =2π 的汇点

在(2.5,0)这一点的点汇

所以这个流动的复势W(z)就是由点源和点汇叠加而来的

好下面呢我们再来求这个流动的流函数和势函数

那么要求流函数 势函数

我们就要把复势的实部和虚部分开

因为根据复势的定义呢

它的实部就是势函数

虚部就是流函数

所以呢我们这里来看一下

我们首先把W1 (z )=lnz

我们带入复数z的一个表达式lnre ^iθ ,带入这种形式呢

我们就可以写成lnr+iθ

这样我们就很方便地把它的实部和虚部区分开

只不过这里的呢

其中r= 根号下(x^2+y ^2)

θ=arctan y /x

那么这是第一部分

那么第二部分呢

我们可以令z' =z-2.5

那么它等于呢r'e^(i θ' )

这里的r' 呢就等于什么呢

就等于根号下((x-2.5 )^2+y^2)

θ' =arctan y /(x-2.5)

那么经过这样一个转换以后呢

我们的W2 (z )我们就可以写成-ln z'

它就等于-ln r'e^(i θ' )

那就等于- (ln r' +i θ')

这样我们也很方便地就把它的实部和虚部分开了

这样我们再带回

把它们俩叠加带回到原来的复势当中

所以W(z)它就等于什么呢

就等于W1(z )+ W2(z)

那就等于呢这个加上这个

所以它的实部就是lnr-ln r'

虚部呢就是i(θ- θ')

所以它的实部就是我们的势函数

所以势函数Φ=lnr-ln r'

那么流函数ψ=θ- θ'

那么其中的r就是这个

r' 呢就是这个 θ 就是这个 θ' 就是这个

这样呢我们就求出了这个流动的流函数和势函数

那么这个例子主要涉及的知识点就是我们所学的基本流动的

它的复势的一个表达以及复势的定义和势流叠加原理

好

以上就是这个例子

这一节需掌握以下3个知识点

一是势流叠加原理

对于不可压缩平面有势流动

由于流函数和势函数均为调和函数

其线性叠加后的流动仍然为不可压缩平面有势流动

利用势流叠加原理可以将复杂的流动分解为简单的流动进行求解

二是掌握螺旋流和偶极子流的流动特点以及复势的求解过程

螺旋流是由点汇和点涡叠加的流动

如图所示

其流线为对数螺旋线

等势线为与流线正交的对数螺旋线

复势是点汇和点涡复势的代数和

流速为点汇和点涡流速的矢量和

偶极子流是由点源和点汇在满足一定条件下叠加而来

如图所示

其流线为圆周线

等势线为与流线正交的圆周线

其强度为偶极矩

方向由点源指向点汇

以上是本节内容

下一节我们学习圆柱无环量绕流