边界层方程组及其边界条件在线视频

这一讲我们学习边界层方程组

及其边界条件

由边界层的定义我们知道

边界层内流动符合N-S方程

这一节我们将基于边界层内的流动特点

以平板二维边界层为例

采用量级分析方法对N-S方程进行简化

得到边界层方程组

并分析边界层应满足的边界条件

给出边界层方程的定解条件

考虑如图所示的大雷诺数二维平板绕流问题

来流沿x轴正方向

大小为v∞

在平板表面存在几何厚度为δ的边界层

M为边界层中任意一点

其x方向的速度为vx

y方向的速度为vy

对于定常不可压缩流动

M点的速度

满足二维不可压缩定常流动的N-S方程

如下

根据边界层的流动特点

边界层几何厚度δ远小于宏观尺度x

设x的量级为1

则边界层几何厚度δ的量级为远小于1的ε

边界层中的x方向速度vx与来流v∞同量级

来流v∞的量级为1

则边界层中x方向的速度vx的量级也为1

同理∂vx/∂x相当于vx除以x的量级

vx和x的量级为1

所以∂vx/∂x的量级也为1

(∂vx)^2/∂(x^2)相当于(vx/x)^2

量级也为1

根据连续性方程可知∂vx/∂x=-∂vy/∂y

即∂vy/∂y的量级与∂vx/∂x的量级相同

为1

在边界层中y坐标与边界层的厚度δ同量级

为ε

所以vy的量级也为ε

同理可确定

上述二维不可压缩定常流动N-S方程中

各项的量级如下

将各项的量级代入到上述

不可压缩定常流动的N-S方程中

忽略量级为ε的小量

并注意方程两边的量级应相同

简化后得到的边界层方程组如下

其中（3）式表明边界层内压力的法向梯度为零

压力只是x的函数

即压力穿过边界层保持不变

等于边界层外边界处的主流压强

该压强可由理想流体流动理论进行求解

考虑到边界层外主流区的速度

只有x方向的分量

即vx=v∞

根据主流区流动

满足的理想流体动力学的欧拉方程

对于定常流动有如下关系式

代入上述边界层方程组

可得到普朗特边界层微分方程组

通常情况下

边界层有2个边界条件

一个是在静止的平板表面

即y=0处

由于粘性流体的粘附性

速度vx和vy均为0

另一个在边界层的上边界

即y趋于无穷处

速度vx等于来流速度v∞

虽然边界层方程组

相对于N-S方程简化了很多

但仍然难以求得精确解

与N-S方程一样

运用边界层方程组进行求解时

需根据具体的流动进行简化或进行近似求解

好

我们来看一个例子

这个例子说

如图所示长平板放置于来流为v0的流场当中

这个v0呢

只是x的函数

设平板上的层流边界层中

平板表面的速度梯度为k

这是已知的

也就是在壁面处∂vx/∂y y等于0

它是等于k

边界层流场中

x方向的速度vx与x坐标无关

也就是在边界层当中

∂vx/∂x=0

然后让我们来求平板边界层中速度v的

分布表达式

那么既然是一个边界层的流动

那么显然

我们要用边界层的方程来进行求解

所以呢

我们首先把边界层的方程列出来

一个是连续性方程

∂vx/∂x+∂vy/∂y=0

另外一个动量方程对吧

动量方程呢

就是vx(∂vx/∂x)+vy(∂vx/∂y)

=v∞(dv∞/dx)+υ[(∂vx)^2/∂(y^2)]

这是我们的边界层的方程组

那么下面呢

我们根据已知条件对这个方程进行简化

首先它说

边界层流场中

x方向速度vx与x坐标无关

也就是∂vx/∂x=0

所以这个呢就没有了

那么连续性方程就变成什么呢？

变成∂vy/∂y=0

那么∂vy/∂y=0意味着什么呢？

也就是vy沿着y是不变的

那我们结合y=0处vy=0这个条件

我们就知道在边界层中

vy就是等于零的

这个大家能不能理解？

因为在壁面处对吧

由于粘性流体粘附作用

我们知道vy是肯定等于零的

那么我们又知道

∂vy/∂y=0

也就是vy沿着y方向

它又是不变的

那y=0处vy=0

那么沿着y方向不变

所以整个的这个y上面的vy都是相等的

就等于壁面处的等于0

所以呢

这两个条件结合

那么就意味着在整个边界层中

y方向的速度

vy是等于0的

这点要会分析

好

我们再来看x方向的动量方程

可以简化成什么样的？

那么首先呢

∂vx/∂x=0

所以这一项就没有了

那vy又等于0

所以这一项也没有了

那么v∞呢

是等于v0

它只和x有关系

所以这项是有的

然后呢粘性力

这一项也是有的

所以最后呢？

x方向方程我们就简化成什么呢？

就是v∞就是v0了

v0(dv0/dx)+υ[(∂vx)^2/∂(y^2)]=0

这里呢

我们把它简单整理一下

那就是

由于vx只是y的函数了

它跟x没有关系

所以呢

偏导可以写成这个直接求导

那就是

(dvx)^2/d(y^2)=-(v0/υ)*(dv0/dx)

那这样的话呢

我们就可以积分求出vx的表达式

那么积分得vx

注意这里是两次积分

vx等于什么呢？

-[v0/(2υ)]*(dv0/dx)*(y^2)+C1*y+C2

这里的C1 C2是积分常数

那么我们可以根据边界条件来确定C1和C2

那我们看看这里的边界条件

首先在壁面处

也就是y=0处

那我们知道vx是等于0的

根据这个边界条件

我们一下子就可以知道C2是等于0的

那么还有个边界条件

就是y=0处

我们的∂vx/∂y(y=0)

它是等于k的

这个呢我们代进去可以确定C1它就等于k

好

确定出这个积分常数

我们再代回到速度的表达式

我们就可以得到

所以vx=-[v0/(2υ)]*(dv0/dx)*(y^2)+ky

这是边界层当中x方向速度的表达式

前面我们已经分析出了

vy呢是等于0的

在边界层当中

这样我们就完整地获得了

这个边界层中速度v的表达式

所以呢这个例子呢实际上

所涉及的知识点

就是要掌握边界层方程组

以及利用边界层方程组

来进行具体的边界层流动的求解

好

以上是这个例子

这一节我们学习了

边界层方程组的推导及其边界条件

同学们应掌握

边界层方程组的推导过程

实际上还是基于

N-S方程求解流动的思路和步骤

首先分析边界层的流动特点

根据流动特点对N-S方程进行简化

即可得到边界层方程组

还应掌握边界层方程组的边界条件

能够利用边界层方程组

进行简单边界层流动的求解

以上是本节内容

下一节我们学习

边界层的一种近似的求解方法

边界层动量积分关系式