圆柱有环量绕流在线视频

这一讲我们学习圆柱有环量绕流

主要内容包括圆柱有环量绕流的

势函数和流函数速度分布

圆柱表面压力分布和圆柱表面所受合力

通过对圆柱无环量绕流的分析求解

我们知道圆柱既不受升力也不受阻力

这显然和实际不符

所以我们在圆柱无环量绕流的基础上

进一步叠加了点涡流动

形成圆柱有环量绕流

因此

圆柱有环量绕流是由均匀流

偶极子流和点涡叠加而成

如图所示

默认情况下

叠加的点涡流动方向为顺时针方向

其强度Γ<0

根据势流叠加原理

圆柱有环量绕流的复势为

W(z)等于均匀流加偶极子流加点涡的复势

那么代入已经求得的这些流动的复势

就可以得到圆柱有环量绕流的复势

其中v∞为均匀来流速度

M为偶极矩

满足M=2πv∞r0^2

其中r0为圆柱半径

Γ为点涡强度

该流动的速度边界条件有两个

一是在无穷远处速度为来流速度v∞

一是在圆柱表面是流线

流函数为常数

这里我们采用极坐标系统

将圆柱有环量绕流的复势实部和虚部分开

可求得势函数为这个表达式

流函数为这个表达式

在圆柱表面即r=r0

这个时候

流函数Ψ=-2π分之Γ*ln的r0为常数

验证了圆柱表面为流线的边界条件

求得势函数和流函数

我们可以根据它们和速度的关系

求流场中任一点的速度分量

利用势函数和速度之间的关系

可得到径向速度

vr=∂Φ/∂r=v∞(1-(r0^2)/r^2)cosθ

周向速度

vθ=∂Φ/(r∂θ)=-v∞(1+(r0^2)/r^2)sinθ+Γ/2πr

当r→∞的时候

那么根据速度的表达式vr=v∞cosθ

vθ=-v∞sinθ

这就是来流的均匀流的速度场

即满足无穷远处的边界条件

在圆柱表面r=r0处

将r=r0代入速度表达式

就可以得到柱面的速度vr=0

vθ=-2v∞sinθ+Γ/(2πr0)

可见在圆柱表面只有沿圆周切线方向的速度

没有径向速度

满足理想流体流动在固体表面的滑移条件。

我们来确定圆柱表面驻点的位置

那么根据驻点的定义

驻点是流场当中速度为零的点

我们令vθ=0

即-2v∞sinθ+Γ/(2πr0)=0

可得驻点位置的θ坐标满足

sinθ驻点=Γ/(4πr0v∞)

可见驻点的位置与无穷远来流v∞

绕流环量Γ和圆柱半径r0有关

当绕流环量Γ=0时

θ=0,π

即圆柱无环量绕流的驻点

位于圆柱的前端和后端

对于圆柱有环量绕流

我们以Γ<0为例

分三种情况讨论驻点的位置

当|Γ|<4πr0v∞的时候

这个时候sinθ驻点

它的取值是在-1~0之间

所以θ驻点有两个解

即圆柱面上

两个驻点左右对称

并落在第三和第四象限

如图所示 当|Γ|=4πr0v∞

即sinθ驻点=-1

此时θ驻点3π/2

只有一个解

即圆柱面上只有一个驻点

位于圆柱的最下端

如图所示

当|Γ|>4πr0v∞的时候

这个时候sinθ驻点的取值是小于-1的

那么显然在圆柱表面是无解的

那么驻点是位于流场内

需要根据流场速度分布

令流场的vθ=0来确定驻点的位置

实际上它位于圆柱面外

负Y轴上的某一点

如图所示

同理可知Γ>0时的驻点的位置

它的分布与Γ<0驻点位置分布关于X轴是对称的

有了速度分布可以求圆柱表面压力分布

那么我们列无穷远处和圆柱面上某一点的伯努利方程

可以得到

圆柱表面的压力分布的表达式

那么代入圆柱表面的速度分布

就可以得到圆柱表面的压力分布

如这个表达式所示

根据所得的压力分布可以发现

圆柱有环量绕流时柱面的压力分布是关于Y轴对称的

它不再关于X轴对称

即圆柱上下表面的压力不同

此时圆柱将受到升力的作用

对顺时针方向环量Γ<0的圆柱绕流

圆柱上半部各点的压强小于下半部各点的压强

圆柱受到向上的升力作用

那么反之

圆柱上半部各点的压强是大于下半部各点的压强的

这个时候

它受到向下的升力作用

这一结果是更加符合实际

那么根据圆柱表面压力分布结果

积分可求得圆柱表面所受的力

在单位长的圆柱体上取一微元线段ds

如图所示

其上的作用力为dF=-pnds

这个n为圆柱表面外法线方向

如图所示

则dF沿X和Y轴的分量为dFx=-pdscosθ

dFy=-pdssinθ

那么根据几何关系ds=r0dθ

代入并沿整个圆柱表面积分

就可以得到阻力D=Fx

升力L=Fy

那么将所求得的圆柱表面的压力分布代入积分

我们就可以得到阻力D=0

升力L=-ρv∞Γ

L=-ρv∞Γ就是著名的

库塔-儒可夫斯基(Kutta-Zhoukowski)升力公式

可以推广到任意形状物体的绕流

在后面的叶栅理论部分有重要应用

升力的方向由前方来流速度矢量

v∞沿反环流的方向旋转90°来确定

如图所示

好我们来看这样一个例子

这个例子说

已知一个半径r=0.5m的无限长圆柱体

在密度ρ等于1000kg/m3的水中

以v=1.5m/s的速度自左向右作水平运动

同时加载圆柱体上有逆时针的环量Γ=47.1平方米每秒

让我们来求

(1)单位长度圆柱体所受到的流体作用力

(2)当Γ保持不变

增加圆柱运动速度时

驻点向何处移动

那么这个例子呢

显然要研究的流动

就是一个圆柱有环量绕流

那么

对于圆柱有环量绕流

圆柱体是受到流体的作用力的

对吧

它是受到升力的

所以呢第一个问

让你去求这个圆柱体所受到的流体作用力

我们直接根据升力公式就可以得到

第一个问

它所受到的流体作用力就是升力L

等于什么呢

等于-ρv∞Γ

这里呢我们画一下这个图

那么这是我们的圆柱体

这是我们的坐标系

那么坐标原点就是在圆柱的中心点

那么

圆柱以一定的速度自左向右作水平运动

这里呢

我们其实可以把圆柱看成静止的

这样来流呢

就是自右向左流动

对吧这时我们的来流v∞

它应该等于-v

所以呢

它是这样的一个圆柱绕流

另外呢

在圆柱表面叠加一个逆时针方向的速度环量Γ

所以呢

就是这样的一个圆柱有环量绕流流动

那么根据升力公式

我们把相关的已知量带进来

它等于什么呢

负的ρ是已知的

1000千克(每)立方米

v∞ 这里是-v

v是1.5

也就是-1.5m/s

Γ呢

是47.1平方米每秒

那么算出来

实际上就是等于70650牛顿

这就是这个圆柱所受到的这个流体作用力

我们知道它是升力

那么它的方向是怎样的呢

方向很容易判断对吧

我们知道来流是从右向左

我们看这个图

那么叠加一个逆时针方向的环量

那么导致的结果圆柱的上半部分叠加的环量

和来流的方向是一致的

所以上半部分的速度

就大于下半部分的速度

根据伯努力方程

那么上半部分的压力就会小于下半圆柱的压力

所以它所受到的这个作用力

这个升力

是沿着Y轴正方向的

所以呢这个升力

它是沿Y轴正向

这是第一个问

第二个问说当Γ保持不变的时候

增加圆柱运动速度

也就是增加这个v∞

那么驻点是怎么来移动

那么我们讲过

对于圆柱有环量绕流来说

它驻点的位置sinθ驻点

这个θ驻点就是驻点的这个角度

对吧它等于什么呢

等于Γ/(4πr0v∞)

r0就是圆柱的这个半径

我们把已知的这些量带进来

它实际上等于什么呢

等于-4.997

那么显然这个值是小于-1的

也就是说

在圆柱表面sinθ驻<-1肯定是没有解的

所以

驻点它位于(不在圆柱表面)Y轴的负半轴上

那么如果增加圆柱的运动速度

也就是增加我们的v∞

对吧

那么驻点怎么移动呢也就是说

现在Γ不变

我们增大这个v∞

则根据这个表达式呢

Γ不变增大v∞

我们知道sinθ驻它的绝对值是减小的

那么当它减小到1时

这个时候呢

实际上就是sinθ驻=-1

那么我们知道驻点

这个时候驻点是位于圆柱的最底端

在这个图上的这个位置

这个位置实际上就是sinθ驻等于-1

这个时候它只有一个驻点

所以这个时候它的驻点实际上是位于θ等于多少呢

θ=3π/2

那么这个时候如果继续

v∞增大这时候呢

则我们的|sinθ驻|<1

这个时候是会怎么样

那么它是有两个解的

对吧在圆柱表面是有两个解的

也就是说

有两个驻点

在圆柱表面

有两个驻点分别位于第三象限和第四象限

所以这个时候呢

这个地方驻点就是会向两侧移动

这就是当Γ保持不变

增加圆柱运动速度时

驻点的这样一个运动轨迹

它从Y轴的负半轴

向上运动

然后呢再向两边移动

所以呢这个例子

实际上所考的知识点就是圆柱有环量绕流的流动特点

以及升力公式

还有驻点的位置

好这就是这个例子

对于圆柱有环量绕流应掌握

流场的求解

包括复势、流函数、势函数和速度分布

圆柱有环量绕流是由均匀流、偶极子流和点涡叠加的流动

为了满足边界条件

偶极子流偶极矩

均匀流和圆柱半径应满足一定条件

在圆柱表面只有周向速度

没有径向速度

即vr=0

vθ=-2v∞sinθ+Γ/(2πr0)

根据驻点的定义

令vθ=0可以获得驻点的位置

它是由点涡强度Γ除以4πr0v∞sinθ的大小决定

根据伯努利方程可求得

圆柱表面的压力分布它不再关于X轴对称

因此圆柱受到升力的作用

得到了著名的升力公式L=-ρv∞Γ

对于不可压缩平面有势流动

该公式可以推广到任意绕流物体形状

与圆柱无环量绕流相同

应掌握圆柱有环量绕流的求解过程

而不是简单记忆解的结果

以上是本节内容

下一节我们学习描述旋涡运动的基本概念