旋涡运动的Stokes定理在线视频

这一节我们学习旋涡运动的Stokes定理

主要包括Stokes定理的内容和Stokes定理的证明

那么Stokes定理描述了速度和涡量场的关系

具体来说是速度环量和涡通量之间的关系

当封闭周线内有涡束时

则沿封闭周线的速度环量等于

该封闭周线内所有的涡通量之和

即Γ=J

根据Stokes定理

我们可以通过速度环量计算涡通量

注意斯托克斯定理是运动学定理

对于理想流体和粘性流体都适用

Stokes定理在数学上已有过证明

这里我们从流体力学的角度来证明

首先证明微元封闭周线的Stokes定理

如图所示

在流场中取微元矩形封闭周线ABCD

其边长分别为dx和dy

我们来求沿ABCD逆时针方向的速度环量

由于封闭周线为矩形

根据速度环量的定义

我们可以分段来求

即dΓ=dΓ(AB)+dΓ(BC)+dΓ(CD)+dΓ(DA)

为了求各段的速度环量需要首先求出速度分布

已知A点的x方向速度为vx

y方向的速度为vy

由于B点离A点很近

距离为dx

可认为速度沿dx线性变化

所以B点x方向的速度为vx+(∂vx/∂x)dx

y方向的速度为vy+(∂vy/∂x)dx

同理可求得C点和D点的速度

那么根据环量的定义式

沿AB直线段的速度环量就等于

dΓ(AB)等于从A到B(vxdx)

由于速度沿dx是线性分布的

我们可以写成1/2{vx+[vx+(∂vx/∂x)dx]}dx

dΓ(AB)等于从A到B(vxdx)的积分

等于1/2{vx+[vx+(∂vx/∂x)dx]}dx

同理可以求得dΓ(BC)

dΓ(CD)和dΓ(DA)的表达式

所以最后沿ABCD的环量dΓ

我们就可以求出来它实际上就等于dJ

即沿微元封闭周线的速度环量等于

通过该周线所包围的面积的涡通量

证明了微元封闭周线的斯托克斯定理

对于有限大封闭周线所包围的单连通区域

Stokes定理是否还成立

我们可以利用

微元封闭周线的斯托克斯定理来证明

将有限大封闭周线所包围的单连通区域

划分为无数个微元矩形

在每个微元矩形上

应用微元封闭周线的斯托克斯定理

可以清楚地看到在封闭周线内部所有线段上

速度环量一正一负刚好抵消

只剩下外周线K上的速度环量

所以各微元矩形的涡通量的总和

就是通过封闭周线K所包围的单连通区域的涡通量

证明了有限大封闭周线所包围的单连通区域的

Stokes定理

那么在复连通区域上Stokes定理同样成立

如图所示

在封闭周线K1内有一固体物

其外边界周线为K2

这一区域为复连通域

将这一区域在AB处切开

可将复连通区域变为单连通区域

应用单连通区域的Stokes定理

可得

Γ(ABK2B'A'K1A)=Γ(AB)+Γ(BK2B')+Γ(B'A')+Γ(A'K1A)

它就等于J(K1-K2)

这个J(K1-K2)就是这个复连通域的涡通量

那么由于AB和B'A'速度环量大小相等

一正一负刚好抵消

同时沿内周线K2的速度环量

Γ(K2)=-Γ(BK2B')

沿外周线K1的速度环量

Γ(K1)=Γ(A'K1A)

所以这个复连通域的速度环量

就等于Γ(K1)-Γ(K2)

就等于它的涡通量

如果在外封闭周线内有多个内周线

则这个式子就可以写成Γ(K1)-∑Γ(K2)

那么就等于这个复连通域的涡通量

这个表达式就是多连通区域内的斯托克斯定理

即通过多连通域内的涡通量

等于沿这个区域的外周线的速度环量

与所有内周线的速度环量总和之差

好

我们来看这样一个例子

这个例子说流体在平面环形区域

a1

而在ra2的区域中流体是静止的

设圆的半径r=a1 r=a2是流线

且r=a1上流体的速度为v

r=a2上流体速度趋于零

让试求涡量Ω的值

好

我们首先呢

根据这个题目的意思

把这个流场给它画出来

实际上这个题目的意思呢

就是有俩 有一个环形区域

这个环形区域也就是位于两个圆周之间

那么内部这个小圆它的半径是a1

外面这个大圆它的半径是a2

那么在它们之间这个区域

这个涡量Ω就等于一个常数

另外呢

还有非常重要的一点

在圆周线的表面它是流线

也就是说圆周线的表面这个速度是沿着周向的

那么在里面r=a1这个小的圆柱上

它的速度我们假设是v

那么在外面这个圆柱的速度它是趋于零的

然后呢

让我们去求这个环形区域里面的这个涡量的值

那么我们知道

涡量有的时候很难直接求得

特别是这里我们不知道速度分布的情况下

但是斯托克斯定理告诉我们

我们可以通过求环量来去求这个涡量

因为速度环量是等于涡通量的

这是斯托克斯定理的内容

所以这里呢

我们实际上就是利用这一点来去求

那么

这个环形区域显然它是一个复连通域

所以我们就采用复连通域的斯托克斯定理

那么假设外面这个圆周线是K1

里面这个圆周线我们假设K2

这是它的这个速度环量的积分的方向

那么根据复连通域的斯托克斯定理我们知道

Γ(K1)-Γ(K2)它等于什么呢

就是等于这个环形区域的它的涡通量

那涡通量定义就是

在这个区域的涡量的法向通量

这个区域的涡量它是等于常数

所以呢这个面积分就非常简单

就实际上就等于Ω乘以这个面积

乘以这个环形的面积

那就是π(a2)^2-π(a1)^2

那么Γ(K1)等于多少呢

Γ(K1)是沿着外圆周线的速度环量

那么在外圆圆周线上呢

它的速度是趋于零的

所以Γ(K1)呢

实际上就等于0

那么Γ(K2)呢

Γ(K2)是沿着里面这个小的内圆周线上的速度环量

我们内圆周线上它的速度的大小是v

所以根据速度环量定义式

K2(v点乘dl)

那么实际上就等于什么呢

等于0到2π(vrdθ)

所以我们直接就可以积分出来

它就等于2πrv

所以

我们代回到复连通域的这个斯托克斯定理

那实际上就是0-2πrv=Ω[π(a2)^2-π(a1)^2]

所以呢

我们就直接可以求出Ω

注意这个r它实际上是内圆柱的半径

那就是2π(a1)v

所以这里我们写出来它

实际上就等于Ω=-2(a1)v/[(a2)^2-(a1)^2]

这样我们就求出了这个环形区域的涡量

所以这个例子实际上就是考的斯托克斯定理的内容

因为斯托克斯定理描述的就是

涡通量和速度环量之间的关系

那么很多时候呢

涡通量不好求

涡量不好求

那我们可以通过求速度环量来进行求解

这就是这个例子

本节学习了Stokes定理

Stokes定理是旋涡运动的基本定理

它描述了涡通量和速度环量之间的关系

流场的涡通量

即旋涡强度往往不好直接定量描述

Stokes定理告诉我们

可以通过速度环量来描述流场的旋涡强度

Stokes定理是运动学定理

对理想流体流动和粘性流体流动均成立

以上是本节内容

下一节我们学习Thomson定理和Helmohotz定理