平面流动的流函数在线视频

这一节我们学习平面流动的流函数

需要注意的是这里我们针对的是平面流动

即二维流动

对于三维流动

除轴对称流动外

一般不存在流函数

本节包括流函数存在的前提

流函数与速度的关系

和流函数的性质三个方面的内容

流函数存在的前提是不可压缩平面流动

对于不可压缩平面流动

直角坐标系下连续性方程为

(∂vx)/∂x+(∂vy)/∂y=0

vx和vy分别为x和y方向的速度分量

该式可写成(∂vx)/∂x=-(∂vy)/∂y

在数学上

该式是-vydx+vxdy成为某一函数Ψ(x,y,t)

全微分的充分必要条件

其中x,y为坐标位置

t为时间

即dΨ=-vydx+vxdy

时间t可认为是参变量

函数Ψ(x,y,t)的全微分

可表示为dΨ=(∂Ψ/∂x)dx+(∂Ψ/∂y)dy

将该式与dΨ=-vydx+vxdy

可得流函数和速度之间的关系：∂Ψ/∂x=-vy

∂Ψ/∂y=vx

Ψ(x,y,t)称为不可压缩平面流动的流函数

对于不可压缩平面流动

无论流体有无粘性、流动是否无旋

均存在流函数

流函数性质1：等流函数线是流线

即沿同一条流线

流函数值为常数

如果我们定义两个向量

一个是流线上某一点的速度矢量v

一个是流线上该点的切线方向微元矢量ds

根据流线上任一点速度矢量

沿该点的切线方向的性质

可得v和ds的叉乘 v×ds

这是它的表达式

那么我们很容易得到

它等于(vxdy-vydx)k

那么这个显然就是流函数的全微分

那么它等于0

其中i、j、k为x、y、z三个坐标方向的单位向量

所以dΨ=-vydx+vxdy=0

即在流线上流函数的增量为0

也就是说等流函数线是流线

根据流函数的这一性质我们找到流函数后

可以令其等于常数来表示流场的流线

流函数性质2:两条流线的流函数之差

等于通过这两条流线间单位厚度的流体流量

如图所示

在流函数值为Ψ1、Ψ2的两条流线间

任作曲线AB

ds为AB线上的微元向量

可表示为ds=dxi+dyj

其法向单位向量为n

那么过微元线段处的速度矢量为v=vxi+vyj

则根据流量是速度的法向通量的定义

通过ds的单位厚度的流量我们就可以求出来

dq=v∙n|ds|

那我们把它写开

就是等于dΨ

将上式沿AB线段积分

可得通过AB的流量q就等于dq沿着AB积分

这样我们把它写开就等于ΨB-ΨA

由于B点是位于等流函数线Ψ1上

A点位于等流函数线Ψ2上

所以流量q=Ψ2-Ψ1

即不可压缩平面流动中

通过任意两条流线间单位厚度的流量

等于这两条流线上流函数值之差

这一性质建立了流函数和流量之间的关系

流函数性质3：在有势流动中

流函数是调和函数

这一点容易证明

对于平面有势流动角速度为0

即ωz=1/2((∂vy)/∂x-(∂vx)/∂y)=0

那么所以(∂vy)/∂x=(∂vx)/∂y

那么代入流函数与速度的关系

就很容易得到

流函数Ψ满足这个拉普拉斯方程

即流函数满足拉普拉斯方程

是调和函数

所以对于不可压缩平面有势流动

流函数也是调和函数

它的解具有可叠加性

那么根据流函数的定义

一个流函数对应平面流动的2个速度分量

也就是说求出一个流函数

就可以求解出整个平面流动的速度场

所以引入流函数可以简化流场的求解

我们来看这样的例子

设某一平面流动的流函数

Ψ(x,y)等于负的根号3x加y

试求该流动的速度分量

并求通过点A和点B的连接线的流量qAB

那么这个例子呢

实际上是已知流函数来求速度以及流量

那么我们已知

流函数Ψ(x,y)等于负的根号3x加上y

那么速度分量怎么来求呢

实际上就是利用流函数和速度之间的关系

可以直接求得

那么这里我们知道vx=∂Ψ/∂y

那么代入这个已知的流函数表达式

我们就可以得到

它等于1 单位是m/s

同理

我们可以求得y方向的速度vy=-∂Ψ/∂x

这里代入已知的流函数的表达式

我们可以很容易得到它等于根号3m/s

所以已知流函数

可以直接利用它和速度之间的关系

来求得速度分布

第二个 它问你

通过已知点连线的流量

这个实际上是考你流函数和流量之间的关系

这是流函数非常重要的一个性质

那么这个两点的坐标我们是已知的

一个是A点

它坐标是(1,0)

一个是B点

它的坐标是(2,根号3)

那么根据流函数和流量之间的关系

通过这两点连线的流量

应该等于这两点的流函数值之差

那么这里呢

流函数是已知的

所以呢我们知道

A点的流函数值ΨA

那么实际上就是把A点的坐标

代入这个流函数

那我们可以很容易得到

它等于什么呢

等于负的根号3

单位是秒分之一

同理我们把B点的坐标

代入流函数的表达式

就可以得到B点的流函数ΨB

那等于什么呢

它也等于负的根号3

单位是秒分之一

那么下面我们就可以利用

流函数和流量之间的关系

通过A,B连线的流量qAB呢

它实际上就等于

A点和B点的流函数数值之差

这里呢实际上就等于ΨB-ΨA

由于流量是标量

所以这里我们用绝对值的形式表示它的大小

所以代入已知的这个流函数的值

我们发现它等于什么呢

它等于0 单位是m3/s

所以呢 通过这两点的流量是零

实际上你仔细观察

实际上ΨA和ΨB是相等的

也就是说

A点和B点位于等流函数线上

也就是位于流线上

而我们知道通过流线的流量

当然是零

所以这一题呢

实际上是考你流函数和速度之间的关系

以及流函数和流量之间的关系

这两个知识点

总结一下本节要掌握的知识点

一是流函数存在的前提为不可压缩平面流动

即满足不可压缩平面流动的连续性方程

二是流函数与速度的关系

x方向的速度vx=∂Ψ/∂x

y方向的速度vy=∂Ψ/∂y

z方向速度vz=∂Ψ/∂z

三是流函数的性质：等流函数线是流线

两条流线的流函数之差

等于过这两条流线间单位厚度的流体流量

在有势流动中

流函数是调和函数

以上就是本节内容

下一节我们学习势函数和流函数的关系