圆柱无环量绕流在线视频

这一节我们学习圆柱无环量绕流

主要包括

圆柱无环量绕流的势函数和流函数 速度分布

圆柱表面压力分布和圆柱表面所受的合力

假设流动为理想不可压缩流体的平面定常无旋流动

均匀流绕圆柱流动是最基本的流动问题之一

其结论可推广到任意物体形状的绕流流动

圆柱无环量绕流

如图所示

来流为均匀流速度为v∞ 方向沿x轴正方向

圆柱半径为r0

是一个平面二维流动

该流动有两个边界条件

一是无穷远处的速度为v∞

二是圆柱表面为流线

流函数为常数

可认为是零

势流叠加流场应满足这两个边界条件

首先求势函数和流函数

简单分析可知

圆柱体无环量绕流可能是由均匀流和偶极子流叠加而成

如图所示

下面我们通过边界条件来验证

若均匀流速度为v∞

沿x轴正方向

偶极子流的偶极矩M

根据势流叠加原理

二者叠加后的复势为均匀流和偶极子流复势的代数和

即W(z)=W均匀流+W偶极子

代入均匀流和偶极子流的复势

等于v∞z+M/2πz

其中z为复数

将z=r(cosθ+isinθ)=re^iθ代入复势的表达式

并将实部和虚部分开

可得势函数Φ=(v∞+M/(2πr^2))rcosθ

流函数Ψ=(v∞-M/(2πr^2))rsinθ

这是极坐标下的形式

可以通过坐标变换转换为直角坐标的形式

令流函数Ψ=0

可得零流线方程

θ=0,π或r=根号下M除以2πv∞

可见零流线是一个以坐标原点为圆心

半径为根号下M除以2πv∞的圆周和x轴

因此当圆柱半径r0

均匀来流v∞和偶极矩M满足r0=根号下M除以2πv∞时

就可保证圆柱表面是流线的边界条件

那么根据r0=根号下M除以2πv∞

我们可以得到偶极矩M=2πv∞r0平方

代入到前面求得的势函数和流函数中

可得无环量圆柱绕流的势函数和流函数分别为

Φ=v∞(1+(r0^2)/r^2)rcosθ

Ψ=v∞(1-(r0^2)/r^2)rsinθ

那么根据复势的定义可得圆柱无环量绕流的复势

这样我们就确定了圆柱无环量绕流的势函数 流函数以及复势

那么根据速度与势函数的关系

我们可以求出流场中任一点的速度

比如x方向的速度vx=?Φ/?x

那么代入所求得的势函数可以得到速度的表达式

y方向的速度vy=?Φ/?y

那么同样代入势函数的表达式就可以求得y方向的速度

那么当r→∞的时候

也就是说x→∞,y→∞的时候

那么根据这个速度的表达式

我们就知道vx=v∞ vy=0

表明流体在无穷远处变为均匀流

满足了无穷远处的边界条件

那么至此

我们验证了均匀流和偶极子流的叠加

满足圆柱无环量绕流的两个边界条件

因此用均匀流和偶极子流叠加的流场来描述圆柱无环量流动是合理的

我们再来求圆柱表面的速度

在圆柱表面r是等于r0的

那么代入求出的x方向速度和y方向速度的表达式

即可得到圆柱表面的速度分布

极坐标下圆柱表面速度分布为vr=0 vθ=-2v∞sinθ

直角坐标下圆柱表面速度分布为vx=v∞(1-cos2θ) vy=-v∞sin2θ

那么根据极坐标下圆柱表面速度分布可以看出

在圆柱表面只有圆周方向的速度分量

径向速度为0

即在圆柱表面流体只有圆柱切线方向的速度

此为理想流体的无滑移边界条件

根据柱面速度分布

如图所示

在θ=0的B点和θ=180°的A点处vθ是等于0的

那么这两点称为驻点

即速度为零的点

那么在圆柱面上下端点处θ=±90°

速度达到最大值

它的大小是2v∞ 已知柱面速度分布

我们可以根据伯努利方程求出圆柱表面的压力分布

那么列无穷远处和圆柱表面某点的伯努利方程

可以得到圆柱表面的压力分布

将柱面速度分布代入可得

柱面的压力分布为这个表达式

那么定义压力系数Cp=(p-p∞)/(1/2ρv∞^2)

就可以得到圆柱表面的压力系数Cp等于1减4倍的sin平方θ

可见圆柱表面压力分布是关于正弦函数的偶函数

如图所示的理论值反映到直角坐标系中

压力关于X轴和Y轴对称所以圆柱表面所受的合力是零

这一结果也可以通过直接积分柱面压力分布得到

也就是说圆柱无环量绕流圆柱不受流体力的作用

绕流问题中我们一般定义绕流物体受到与来流方向平行的力称为阻力D

与来流方向垂直的力为升力L

可见圆柱无环量绕流

圆柱既不受升力也不受阻力

这显然与真实流动矛盾

好 我们来看这个例子

这个例子如图所示

它是有一个半径r0等于1m的圆柱

置于水流当中

那么它的中心是位于坐标原点

那么在无穷远处

有一个平行于X轴的均匀流

它的方向是沿X轴正方向

大小是等于3m/s

然后让你求(-2,1.5)这个点的

这个位置处的速度分量

那我们知道这就是一个圆柱的无环量绕流

那么这个圆柱的无环量绕流

我们已知的是圆柱的半径r0等于1m

然后来流v∞是等于3m/s

那么让我们来求某一个确定点的速度分量

那实际上就是考你这个速度分布的一个求解

那么实际上前面我们已经详细地

去求解了这个圆柱的无环量绕流

已经得到了这个速度分布

这里这个过程我们就不再累述

这里我们直接把速度分布的结果拿过来用

那么这里求到的速度结果

如果按照这个柱坐标系的这个结果

那么径向速度vr它是等于v∞(1-(r0^2)/r^2)*cosθ

vθ它是等于-v∞(1+(r0^2)/r^2)*sinθ

或者你也可以用X Y坐标

直角坐标系下的这个结果

直角坐标系下的结果

我们也求出来了

那么vx它是等于v∞(1-(r0^2)/r^2*cos2θ)

vy是等于-v∞(r0^2)/r^2*sin2θ

这里面其中r θ为具体的点的坐标

径向坐标和这个圆周方向的坐标

对吧

所以这里呢

我们可以直接利用这个速度的结果

这里我们要求的是

(-2,1.5)这个点的速度

速度分量

那么(-2,1.5)这个点我们知道

这一点的r坐标它等于什么呢？等于根号下(-2)^2+1.5^2

这里呢我们很容易算出来

它就是等于什么 2.5

那么它的角度θ 又等于什么呢？实际上就等于arctan(y/x)

那么代入这点的坐标 arctan y是1.5 x是-2

算出来这个角度是143.13°

这样

我们把这一点的r坐标和θ坐标代到这个速度表达式里面去

并且代入已知的圆柱的半径r0

以及v∞

就可以得到这一点的速度分量

我们代进去以后

我们发现vr算出来它就是-2.02m/s vθ呢是等于-2.09m/s

或者呢直角坐标系下速度

X方向速度vx它是等于2.87m/s y方向速度vy呢它是等于0.46m/s

这样我们就求出了这一点的速度的分量

所以这个例子呢

实际上考了这么几个知识点

一个呢就是圆柱无环量绕流的这个速度分布

那么这个速度分布你可以直接用

对吧

但是如果你不记得了

那么你只需要掌握圆柱的无环量绕流的求解

方法和求解思路 求解过程

那么这个速度呢

分布你也可以自己利用势流叠加原理把它求出来

所以这就是这个例子

对于圆柱无环量绕流应掌握流场的求解

包括复势流函数 势函数和速度分布

圆柱无环量绕流是由均匀流与偶极子流叠加的流动

为了满足边界条件偶极子流偶极矩

均匀流和圆柱半径应满足一定条件

在圆柱表面只有周向速度 没有径向速度

即vr=0 vθ=-2v∞sinθ

根据伯努利方程可求得圆柱表面的压力分布是关于X轴和Y轴对称的

因此圆柱所受的流体作用力为0

需要注意的是应掌握圆柱无环量绕流的求解过程

而不是简单的记忆求解的结果

下一节我们将解决这一矛盾